第九章常微分方程-2

1、11.2 一阶微分方程一阶微分方程 一、可分离变量的微分方程时，时，当当0)( yg)()(ygxfdxdy 称称为为可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程. .5422yxdxdy 例例如如,2254dxxdyy 解法解法 dxxfdyyg)()(1两两端端积积分分设函数设函数)(yG和和)(xF是依次为是依次为)(yg和和)(xf的原函的原函数数,CxFyG )()(为微分方程的解为微分方程的解.分离变量法分离变量法（1）dxxfdyyg)()(1 分分离离变变量量：也也是是原原方方程程的的一一个个解解。则则使使得得若若有有 yyygy,0)(,)2(合合并并后后的的解解。和和原原方方程

2、程的的解解为为)2()1()()(ygxfdxdy 例例1 1 求解微分方程求解微分方程.2的通解的通解xydxdy 解解分离变量分离变量,2xdxydy 两端积分两端积分,2 xdxydy12|lnCxy ).0(2 CCeyx二、典型例题时时，当当0 y)(.2为为任任意意常常数数为为所所求求通通解解CCeyx .0是是原原方方程程的的一一个个解解又又 y例例2 求解微分方程求解微分方程的的特特解解。0|,02 xyxyey解解得得由由,2yxey dxedyexy2 两端积分两端积分 dxedyexy2ceexy 221得得由由00 xy21 c于是原方程的特解为：于是原方程的特解为：)

3、1(21ln2 xey解解,dtdM衰变速度衰变速度由题设条件由题设条件)0(衰衰变变系系数数 MdtdMdtMdM , dtMdM00MMt 代代入入,lnlnCtM ,tCeM 即即00CeM 得得,C teMM 0衰变规律衰变规律解解例例4 4 某车间体积为某车间体积为12000立方米立方米, 开始时空气中开始时空气中含有含有 的的 , 为了降低车间内空气中为了降低车间内空气中 的含量的含量, 用一台风量为每秒用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机立方米的鼓风机通入含通入含 的的 的新鲜空气的新鲜空气, 同时以同样的同时以同样的风量将混合均匀的空气排出风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机

4、开动问鼓风机开动6分分钟后钟后, 车间内车间内 的百分比降低到多少的百分比降低到多少?2CO%1 . 02CO2CO2CO%03. 0设鼓风机开动后设鼓风机开动后 时刻时刻 的含量为的含量为2CO)%(txt,dttt 在在 内内,2CO的通入量的通入量2CO的排出量的排出量,03. 02000 dt),(2000txdt 2CO的通入量的通入量2CO的排出量的排出量2CO的改变量的改变量 03. 0200012000 dtdx),(2000txdt ),03. 0(61 xdtdx,03. 061tCex , 1 . 0|0 tx,07. 0 C,07. 003. 061tex ,056.

5、007. 003. 0|16 ext6分钟后分钟后, 车间内车间内 的百分比降低到的百分比降低到%.056. 02CO二、齐次方程)(xyfdxdy 形如形如的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程. .2.解法解法,xyu 作变量代换作变量代换,xuy 即即代入原式有代入原式有,dxduxudxdy ),(ufdxduxu .)(xuufdxdu 即即可分离变量的方程可分离变量的方程1.1.定义定义齐次方程齐次方程可分离变量方程可分离变量方程变量代换变量代换,0)(时时当当 uuf,ln)(1xCuufdu 得得,)(uCex 即即 ）（uufduu)()( ,代入代入将将xyu ,)(

6、xyCex 得通解得通解,0u 当当, 0)(00 uuf使使,0是是新新方方程程的的解解则则uu ,代回原方程代回原方程.0 xuy 得齐次方程的解得齐次方程的解.)(xuufdxdu 例例 1 1 求解微分方程求解微分方程. 0cos)cos( dyxyxdxxyyx，令令xyu ，则则udxxdudy , 0)(cos)cos( xduudxuxdxuuxx,cosxdxudu ,lnsinCxu .lnsinCxxy 微分方程的解为微分方程的解为解解2222yxyxxyydxdy ,1222 xyxyxyxy,xyu 令令,1222uuuuuxu .2222xyydyyxyxdx 例例

7、 2 2 求解微分方程求解微分方程解解,dxduxudxdy 则则,lnlnln21)2ln(23)1ln(Cxuuu .)2(123Cxuuu 微分方程的解为微分方程的解为.)2()(32xyCyxy ,1122)121(21xdxduuuuu 例例 3 3 求解微分方程求解微分方程22yxxyy 解解以以x为未知函数为未知函数uyx 令令.dyduyudydxyux ，则则代入上式得：代入上式得：dyuydu12 ydyudu 12即即.ln1ln2cyuu 积积分分得得)2(2cxcyyxu 代代入入上上式式整整理理得得：把把)()(xQyxPdxdy 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的

8、标准形式的标准形式:, 0)( xQ当当上方程称为上方程称为齐次的齐次的.上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的., 0)( xQ当当三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx , 32 xyyy, 1cos yy线性的线性的;非线性的非线性的. 0)( yxPdxdy,)(dxxPydy ,)( dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)( dxxPCey1. 线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法(使用分离变量法使用分离变量法)2. 线性非齐次方程线性非齐次方程).()(xQyx

9、Pdxdy 讨论讨论,)()(dxxPyxQydy 两边积分两边积分,)()(ln dxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ为为设设 ,)()(ln dxxPxvy.)()( dxxPxveey即即非齐次方程通解形式非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比与齐次方程通解相比:)(xuC .)( dxxPCey常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. .实质实质: : 未知函数的变量代换未知函数的变量代换.),()(xyxu原原未未知知函函数数新新未未知知函函数数作变换作变换 dxxPexuy)()(,)()()()()( dxx

10、PdxxPexPxuexuy代代入入原原方方程程得得和和将将yy ,)()()(CdxexQxudxxP ),()()(xQexudxxP 积分得积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为: dxxPdxxPeCdxexQy)()()(dxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解).()(xQyxPdxdy .sin1的的通通解解求求方方程程xxyxy ,1)(xxP ,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin Cdxexxexxlnlnsin Cxdxxsin1 .cos1Cx

11、x 解解(一一) 直接利用公式直接利用公式例例1 1dxexQeCeydxxPdxxPdxxP )()()()(.sin1的的通通解解求求方方程程xxyxy 解解(二二) 常数变易法常数变易法10 先求对应的齐次方程的解先求对应的齐次方程的解得得，由由01 yxy.xdxydy 两边积分得两边积分得cxylnlnln 即即)(1为为任任意意实实数数cxcy 20 常数变易常数变易xxuy1)( 令令代代入入原原方方程程并并化化简简得得和和将将yy xxusin)( cxxu cos)()(cos1cxxy 从从而而原原方方程程的的通通解解为为：例例2 2 如图所示，平行于如图所示，平行于 轴的

12、动直线被曲轴的动直线被曲 线线 与与 截下的线段截下的线段PQ之之长数值上等于阴影部分的面积长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线求曲线 .y)(xfy )0(3 xxy)(xf,)()(230yxdxxfx xyxydx03,两边求导得两边求导得,32xyy 解解解此微分方程解此微分方程xyoxPQ3xy )(xfy dxexCeydxdx23, 6632 xxCex, 0|0 xy由由, 6 C得得所求曲线为所求曲线为).222(32 xxeyx23xyy 同学们自己用常数变易法做做同学们自己用常数变易法做做四、可化为一阶微分方程的特殊类型的微分方程的微分方程形如形如)(111cybxacb

13、yaxfdxdy 可化为为齐次方程或变量分离方程可化为为齐次方程或变量分离方程，令令kYyhXx ,（其中（其中h和和k是待定的常数）是待定的常数）dYdydXdx ,)(11111ckbhaYbXacbkahbYaXfdXdY 2.解法解法1.1.类型类型1 1 , 0, 0111ckbhacbkah, 0)1(11 baba有唯一一组解有唯一一组解h,k.使得上式成立。使得上式成立。)(11YbXabYaXfdXdY 由由得通解代回得通解代回 ，kyYhxX,未必有解未必有解, 上述方法不能用上述方法不能用.,011时时当当 b.1中必至少有一个为零中必至少有一个为零与与ba, 0)2(1

14、1 baba ,11 bbaa令令),)(1cbyaxcbyaxfdxdy 方方程程可可化化为为,byaxz 令令，则则dxdybadxdz ).()(11czczfadxdzb , 0 b若若可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程., 0, 01 ab若若),(1adxdzbdxdy )()(11cczfadxdzb 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.,021时时当当 b,byaxz 令令可分离变量可分离变量.)(111cybxacbyaxfdxdy , 011 baba .314的通解的通解求求例例 yxyxdxdy解解, 021111 , 0301khkh方程组方程组, 2,

15、1 kh. 2, 1 YyXx令令,YXYXdXdY 代入原方程得代入原方程得，令令XYu , 0, 0111ckbhacbkah,11uudXduXu 分离变量法得分离变量法得,)12(22CuuX ,222CXXYY 即即代回，代回，将将2, 1 yYxX得原方程的通解得原方程的通解,)1()2)(1(2)2(22Cxyxy .622122Cyxyxyx 或或方程变为方程变为例例5 5 求解微分方程求解微分方程0cos)3sin42()3sin2( ydyyxdxyx解解0)(sin)3sin42()3sin2( ydyxdxyx令令zy sin,34232 zxzxdxdz再令再令uzx

16、 2,236udxdu 两边积分后得两边积分后得,632Cxuu 变量还原得变量还原得.6)sin2()sin2(32Cxyxyx 伯努利伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程的标准形式nyxQyxPdxdy)()( )1 , 0( n方程为方程为线性微分方程线性微分方程. 方程为方程为非线性微分方程非线性微分方程.类型2 伯努利方程时时，当当1 , 0 n时时，当当1 , 0 n解法解法: : 需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程.,1 nyz 令令，则则dxdyyndxdzn )1(),()(1xQyxPdxdyynn ),()1()()1(xQnzxPnd

17、xdz 求出通解后，将求出通解后，将 代入即得代入即得nyz 1，得，得两端除以两端除以ny代入上式有代入上式有. )1)()()1()()1(1 CdxenxQezydxxPndxxPnn即即具体如下：具体如下：nyxQyxPdxdy)()( 一阶线性一阶线性微分方程微分方程也是原方程的解。也是原方程的解。则则注：若注：若0, 0 yn.42的的通通解解求求方方程程yxyxdxdy ,412xyxdxdyy ,yz 令令,422xzxdxdz ,22 Cxxz解得解得.224 Cxxy即即解解，得，得两端除以两端除以y例例 3例例4 4 用用适当的变量代换适当的变量代换解下列微分方程解下列微分方程: :;22. 122xxexyyy 解解,2112 yxexyyx,2)1(1yyz 令令,2dxdyydxdz 则则,22xxexzdxdz 222Cdxexeezxdxxxdx 所求通解为所求通解为).2(222Cxeyx ;)(sin1. 22xy