第七章量子力学的矩阵形式与表象变换

1、 1925年年7月初，海森伯终于完成了题为月初，海森伯终于完成了题为“从量子理论重新从量子理论重新解释运动学和力学关系解释运动学和力学关系”的论文。建立了的论文。建立了矩阵力学矩阵力学。 1926年，苏黎世大学的奥地利科学家欧文年，苏黎世大学的奥地利科学家欧文薛定谔发展了薛定谔发展了另一种形式的量子力学另一种形式的量子力学波动力学波动力学。 薛定谔的波动力学和海森伯的矩阵力学的出发点不同，而薛定谔的波动力学和海森伯的矩阵力学的出发点不同，而且是通过不同的思维过程发展而来的，但是用这两种理论处理且是通过不同的思维过程发展而来的，但是用这两种理论处理同一问题时，却得到了相同的结果。包括薛定谔本人在

2、内的许同一问题时，却得到了相同的结果。包括薛定谔本人在内的许多人已经证明了量子力学的这两种形式彼此完全等价。海森伯多人已经证明了量子力学的这两种形式彼此完全等价。海森伯的理论比薛定谔提出的早一些，可是科学家们在接受薛定谔的的理论比薛定谔提出的早一些，可是科学家们在接受薛定谔的波动力学时却显得迅速得多。波动力学时却显得迅速得多。 历史回顾：历史回顾： 量子力学的建立量子力学的建立-矩阵力学和波动力学的提出矩阵力学和波动力学的提出第七章第七章 量子力学的矩阵形式与表象变换量子力学的矩阵形式与表象变换NMNNMMAAAAAAAAAA212222111211 矩阵MN 矩阵元nmA, 2 , 1NnM

3、m, 2 , 1方阵：行数与列数相等的矩阵。矩阵简介矩阵简介 1、定义、定义BA nmnmBABACnmnmnmBAC2、两矩阵相等、两矩阵相等（行列数相等）3、两矩阵相加、两矩阵相加（行列数相等）4、两矩阵相乘、两矩阵相乘（ 一个n列的矩阵A与一个n行的矩阵B相乘）23222113121123222113121122211211CCCCCCBBBBBBAAAA232213212222122121221121231213112212121121121111BABABABABABABABABABABABA BAAB BAAB (1)称A、B矩阵相互不对易称A、B矩阵相互对易（2）)()(BCAC

4、ABABC()AB CABBC(3)(4)ABAC，但B=C不一定成立(5) AB=0，但A=0，B=0不一定成立(6) A2=0，但A=0不一定成立5、对角矩阵、对角矩阵:除对角元外其余为零4321000000000000AAAAA6、单位矩阵、单位矩阵1000010000100001I单位矩阵与任何矩阵A的乘积仍为A：IA=A并且与任何矩阵都是可对易的：IA=AI 把矩阵A的行和列互相调换，所得出的新矩阵称为A的转置矩阵。 A7、转置矩阵、转置矩阵：232221131211AAAAAAA231322122111AAAAAAA*23*13*22*12*21*11AAAAAAA共轭矩阵：8、厄

5、密矩阵、厄密矩阵：如果一个矩阵A和它的共轭矩阵相等 则称A矩阵为厄密矩阵AA 00iiA*0)(0iiA00iiAABAB)(ABCDABCD)(表象理论表象理论根据量子力学的基本原理，微观粒子的量子态用波函数描述，根据量子力学的基本原理，微观粒子的量子态用波函数描述，力学量用线性厄密算符描述。前面所使用的波函数及力学量力学量用线性厄密算符描述。前面所使用的波函数及力学量算符均以坐标为变量而写出其具体表达形式的。是否有其它算符均以坐标为变量而写出其具体表达形式的。是否有其它描述方法？（即以其它力学量的本征值谱为变量）描述方法？（即以其它力学量的本征值谱为变量） 回答是：不仅有，而且非常必要！因

6、为恰当选择描述体系回答是：不仅有，而且非常必要！因为恰当选择描述体系的具体形式（自变量）可给运算带来很多方便。的具体形式（自变量）可给运算带来很多方便。量子力学中状态和力学量的具体表示方式量子力学中状态和力学量的具体表示方式表象表象常用表象：坐标表象，动量表象，能量表象，角动量表象等常用表象：坐标表象，动量表象，能量表象，角动量表象等。一个定义：一个定义：表象的定义表象的定义 二个表示：二个表示：态（波函数）在任意表象中的表示态（波函数）在任意表象中的表示 力学量（算符）在任意表象中的表示力学量（算符）在任意表象中的表示三个公式：三个公式：平均值公式平均值公式 本征值方程本征值方程 薛定谔方程

7、薛定谔方程 在任意表象中的表示在任意表象中的表示表象理论中采用的数学工具主要是矩阵表象理论中采用的数学工具主要是矩阵 矩阵力学矩阵力学（海森堡（海森堡 Heisenberg ）7.1 量子态的不同表象量子态的不同表象F讨论分立谱的情况讨论分立谱的情况的本征值为：的本征值为： F1, F 2, ., F n,.，相应本征函数：相应本征函数： 构成正交归一完备系构成正交归一完备系 在坐标表象中在坐标表象中设设力学量算符力学量算符 若体系状态用归一化波函数若体系状态用归一化波函数 (x,t) 描述，有：描述，有：1)(),(22nntadxtx,),(),(),(21xxxn nnnxtatx)()

8、(),( dxtxxtann),()()(* 说明说明：给出量子态在给出量子态在t时刻测量粒子坐标为时刻测量粒子坐标为x 的概率密度的概率密度2),(tx（1）| an (t) | 2 表示在表示在 (x,t)所描述的状态中测量所描述的状态中测量F得得Fn的的概率密度概率密度二者从不同角度对同一量子态给予描述二者从不同角度对同一量子态给予描述, 物理意义是等物理意义是等价的价的,数学上也是等价的数学上也是等价的. （2） an (t)一般不再是坐标一般不再是坐标 x的函数而是力学量的函数而是力学量F的本征值的本征值Fn的函数，即量子数的函数，即量子数n的函数，随的函数，随 n的不同取不同复数值

9、的不同取不同复数值 .)(),(tatxn 结论：结论：an(t)与与 (x,t)描述体系的同一个态，描述体系的同一个态， (x,t)是这一是这一状态在坐标表象中的表示，而数列状态在坐标表象中的表示，而数列an(t)是这同一状态在是这同一状态在F表象中的表示。我们可以把数列表象中的表示。我们可以把数列an(t)写成列矩阵的形式，写成列矩阵的形式，用用 F标记：标记：12( )( )( )Fna ta ta t把矩阵把矩阵 F称为称为 (x,t)所描写的状态在所描写的状态在F表表象中的波函数象中的波函数 F的共轭矩阵是一个行矩阵，用的共轭矩阵是一个行矩阵，用 +F标记标记*12( )( )( )

10、Fna ta ta t若用矩阵表示归一化，有：若用矩阵表示归一化，有： FF )()()()()()(21*2*1tatatatatatann*( )( )nnna t a t1综上所述，量子力学中体系的同一状态可以用不同力学量表象综上所述，量子力学中体系的同一状态可以用不同力学量表象中的波函数来描写。所取表象不同，波函数的形式也不同。我中的波函数来描写。所取表象不同，波函数的形式也不同。我们可以根据处理问题的需要选用适当的表象以方便求解。们可以根据处理问题的需要选用适当的表象以方便求解。 例例:若给出：若给出： 中心力场能量表象为：中心力场能量表象为：02100212110121211210

11、200100tEitEiEeeaaaaatEitEiee21102111002121tEitEieYReYRtr2110112100102121),(Hilbert（希耳伯特）空间希耳伯特）空间：态矢量所在的无限维空间：态矢量所在的无限维空间 量子力学中，态的表象这一概念与几何学中选取不同的坐标系量子力学中，态的表象这一概念与几何学中选取不同的坐标系来表示同一矢量的概念十分相似。在量子力学中，我们可以建来表示同一矢量的概念十分相似。在量子力学中，我们可以建立一个立一个n维（维（n可以是无穷大）空间，把波函数可以是无穷大）空间，把波函数 看成是这个空看成是这个空间中的一个矢量，称为间中的一个矢量

12、，称为态矢量态矢量。选取一个特定力学量。选取一个特定力学量F表象，表象，相当于选取特定的坐标系。该坐标系是以力学量相当于选取特定的坐标系。该坐标系是以力学量F的本征函数的本征函数系系,),(),(),(21xxxn 为基矢，态矢量在各基矢上的分量为基矢，态矢量在各基矢上的分量则为展开系数则为展开系数),(,),(),(21tatatan可用这组分量来表示。可用这组分量来表示。，在，在F表象中态矢量表象中态矢量 F表象的基矢有无限多个，所以态矢量所在的空间是一个表象的基矢有无限多个，所以态矢量所在的空间是一个无限维的抽象的函数空间，称为无限维的抽象的函数空间，称为Hilbert空间。空间。 nn

13、nxtatx)()(),( 7.2 力学量力学量(算符算符)的矩阵表示的矩阵表示力学量算符的具体形式应该与波函数的具体形式相对应，力学量算符的具体形式应该与波函数的具体形式相对应，以保证对波函数的作用有意义。以保证对波函数的作用有意义。F表象中的算符表示（表象中的算符表示（分立谱的情况）分立谱的情况） ：设量子态设量子态 经过算符经过算符运算后变成另一个态运算后变成另一个态 ：LL在以力学量完全集在以力学量完全集F的本征态的本征态 k为基矢的表象（为基矢的表象（F表象表象）中，）中，上式变成：上式变成：kkkkkkba L*( )jx*( ) (1)jxdx式以以左乘上式两边并对左乘上式两边并

14、对x积分，积分范围是积分，积分范围是x变化的变化的整个区域得整个区域得(,)jkjkLL表成矩阵的形式则为：表成矩阵的形式则为：1111211221222212mmnnnnmnbLLLabLLLabLLLa kkkjkkkjjaLadxLb)(* jkLL 在在F表象中的矩阵表示，而矩阵表象中的矩阵表示，而矩阵左边的一列矩阵和右边的一列矩阵分别是波函数左边的一列矩阵和右边的一列矩阵分别是波函数 和波函数和波函数中中的表示。的表示。即算符即算符FL则有：则有： 用用表示这个矩阵表示这个矩阵FFFL1111211221222212mmnnnnmnbLLLabLLLabLLLa在在F表象表象L的性质

15、的性质讨论：讨论： F表象中力学量算符表象中力学量算符1、算符在自身表象中是一对角矩阵，对角元素就是算符在自身表象中是一对角矩阵，对角元素就是 算符的本征值。算符的本征值。120000nFFFFnmmmnmmmnmnnmFdxFdxFdxFF *证明证明:2、力学量算符用厄密矩阵表示、力学量算符用厄密矩阵表示即即L矩阵的第矩阵的第m列第列第n行的矩阵元等于第行的矩阵元等于第n列第列第m行行矩阵元的复共轭，这就是矩阵元的复共轭，这就是厄密矩阵厄密矩阵。用用L+表示矩阵表示矩阵L的共轭矩阵，则有：的共轭矩阵，则有：LL其对角矩阵元为实数其对角矩阵元为实数*nmmnLL 证明证明:*)(mnnmmn

16、mnnmLdxLdxLdxLL 一一 维无限深势阱能量的本征函数基矢为维无限深势阱能量的本征函数基矢为:x 求一维求一维无限深势阱中粒子的坐标无限深势阱中粒子的坐标算符算符 H及哈密顿算符及哈密顿算符在能量表象中的矩阵表示。在能量表象中的矩阵表示。 解：解：能级能级n=1,2,3,.2sinnn xaa22222 anEn例例:当当 时，非对角元为时，非对角元为:当当m=n时时,对角元为对角元为:nm aaxnmnmaaxnmnma0222222)(cos)()(cos)( 2222222)(41)1()(1)(11)1( nmamnnmnmanmnm dxxanmxanmxaa0)(cos)

17、(cos1amndxaxnxaxmax0)(sin)(sin2annadxaxnxax022sin2坐标算符坐标算符 x 哈密顿算符哈密顿算符 H对角元：对角元：22222 anEn7.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示一、一、Schrdinger方程方程iHt ( )kkkta在在F表象中，表象中， (t)按力学量算符按力学量算符F的本征函数展开的本征函数展开,表示为表示为kkkkkkiaHat左乘左乘 j*对对x整个空间积分（取标积）整个空间积分（取标积） jjkkkiaH atF表象中的表象中的Schrdinger方程方程( (表示为矩阵形式表示为矩阵形式 ): ): 11

18、1121221222aHHaiaHHaFFFHti 二、平均值公式二、平均值公式在量子态在量子态 下，力学量下，力学量L的平均值为的平均值为:( ,)LL(,)kkjjkjaLa*(,)kkjjkjaLa*kkjjkja L a11121*1221222LLaaaLLaF表象中力学表象中力学量量L的平均值的平均值的矩阵形式的矩阵形式 FFFLL _LF特例：特例：若若，则，则 (,)jkjkLL(,)jkkL(,)kjkL kkjL（对角矩阵）（对角矩阵）则则 ，*kkjjkjLa L a*kkkjjkja La2kkkaL假定假定 已归一化，即已归一化，即 21kka2ka则则表示在表示在

19、态下测量态下测量L得到得到Lk值的概率。值的概率。三、本征值方程三、本征值方程LL在在F表象中，表象中， (t)按力学量算符按力学量算符F的本征函数展开的本征函数展开,表示为表示为:( )kkktakkkkkkLaLa左乘左乘 j*对对x整个空间积分（取标积）整个空间积分（取标积） jkkjkaLaL L的本征方程在的本征方程在F表象中的矩阵形式表象中的矩阵形式: :11121212220LLLaLLLa 它是它是ak（k=0,1,2,）满足的线性齐次方程组，有满足的线性齐次方程组，有非平庸解的条件为（非平庸解的条件为（此方程组有非零解的条件此方程组有非零解的条件)其系其系数行列式等于零，即数

20、行列式等于零，即FFFLL 即：即：1112132122233132330LLLLLLLLLLLL称为久期方程称为久期方程L*()jkkjLLjL( ) jka设表象空间维数为设表象空间维数为N，则上式是的则上式是的N次幂代数方程。次幂代数方程。对于可观测量，对于可观测量，Ljk为厄米矩阵为厄米矩阵，可以证明，可以证明，上列方程必有上列方程必有N个实根，记为，个实根，记为，(j=0,1,2,N)。可求出相应的解可求出相应的解(k=0,1,2,N)，表成列矢表成列矢( )1( )2( )jjjNaaajL相应的本征态在相应的本征态在F表象中的表示表象中的表示 与本征值与本征值给定算符如何求本征值

21、与本征函数给定算符如何求本征值与本征函数 （1）先求用矩阵表示的本征方程；）先求用矩阵表示的本征方程；（2）代入久期方程求得本征值的解；）代入久期方程求得本征值的解；（3）本征值代入本征方程求本征函数。）本征值代入本征方程求本征函数。 （1） 在在A 表象中，算符表象中，算符A , ,B 的矩阵表示。的矩阵表示。（2） 在在A 表象中，算符表象中，算符B 的本征值和本征函数。的本征值和本征函数。例例1 1、设设Hermite 算符算符AB，满足满足122 BA，且且AB + + BA = = 0 ，求求: :解题思路：由解题思路：由A 的本征函数的定义，很容易的本征函数的定义，很容易求出在求出

22、在A 表象中表象中A 的本征函数及矩阵，利用的本征函数及矩阵，利用A, B 之间的反对易关系和幺正性，即可给出之间的反对易关系和幺正性，即可给出B 的的矩阵，本征函数和本征值矩阵，本征函数和本征值. .由由, 12A解：解：（1）在A 的自身表象中若无简并，A 的矩阵为1001A1 有本征值为有本征值为由由 AB + + BA = = 0 ，0200210011001 dadcbadcbadcbadcba所以：所以：*0cbda, 12B因为：因为：有：有： bc=1 bc=1 即：即：11 cb， 0110B所以，在所以，在A 表象下，表象下，（2）设在A 表象中，B 的本征函数与本征值为久

23、期方程为：1011 21210110bbbb 同理，当同理，当= -= -1 时本征函数为：时本征函数为：结合归一化条件，当= 1时本征函数为， 11211 11212 B例例2 2、已知体系的哈密顿算符已知体系的哈密顿算符与某一力学量算符与某一力学量算符在能量表象中的矩阵形式为：在能量表象中的矩阵形式为：100010001H010100002bB(1)、H和和B是否是厄密矩阵；是否是厄密矩阵；其中其中 和和b为实常数，问为实常数，问(3)、算符、算符B的本征值及相应的本征函数；的本征值及相应的本征函数；(2)、H和和B是否对易；是否对易；解：（解：（1）HH 100010001 200001

24、010BbB 所以所以H和和B是厄密矩阵。是厄密矩阵。（2）BHbHB 010100002 所以所以H和和B对易。对易。（3）设）设B的本征值为的本征值为 代入久期方程有：代入久期方程有：0)(2(00000222 bbbbb bbb 3212 00122221322311 aaaaaa，则则本本征征方方程程为为：的的本本征征函函数数为为设设 321112aaab 3213212010100002aaabaaab 2121022 的本征函数为的本征函数为b 2121033 的本征函数为的本征函数为b例题例题3 在正交归一化基矢在正交归一化基矢所张的三维矢量空间中，所张的三维矢量空间中，t=0

25、时的态矢时的态矢而物理体系的能量算符而物理体系的能量算符H和另外两个物理量算符和另外两个物理量算符A与与B的矩阵形式为的矩阵形式为:)(),(),(321xuxuxu321212121)(uuux 2000200010 H 010100002,aA态中算符态中算符A 、B的的 ba,0均为实数，求：均为实数，求：（1）所采用的是什么表象？基矢是什么？）所采用的是什么表象？基矢是什么？（2）表象中波函数（态矢）的表示；表象中波函数（态矢）的表示；（3）态的能量可能值及相应概率、态的能量可能值及相应概率、（4）3 , 2, 1iu)(x)(x?2HH、可能值、相应概率及平均值。可能值、相应概率及平

26、均值。解：（解：（1）因为矩阵）因为矩阵H为对角矩阵为对角矩阵.所以是能量表象；所以是能量表象；此表象此表象为为H的本征态，基矢在能量表象中为的本征态，基矢在能量表象中为)(),(),(321xuxuxu001)(1Eu010)(2Eu100)(3Eu)()()()(21)(21)(21)(332211321xuaxuaxuaxuxuxux（2）3 , 2, 1iu表象中波函数的表示为表象中波函数的表示为x表象表象有：有：21,21,21321aaa故能量表象中态矢为故能量表象中态矢为:2/12/12/1E（3）由对角矩阵可知，能量取值只能是）由对角矩阵可知，能量取值只能是0002 ,2 ,且

27、且是两度简并的，取是两度简并的，取和和的概率分别是的概率分别是:故故020022121a212322 aa00023)2(21)(21H或或00232/12/12/1200020001212121HH202222022)(252/12/12/1200020001212121)( HH（4）却不是却不是A的本征函数集。令的本征函数集。令A在能量表象中的在能量表象中的本征态为本征态为:是是H的本征函数集，的本征函数集，则本征方程为，则本征方程为本征值为本征值为)(),(),(321xuxuxu 321ccc 3213210000002ccccccaaa 000002321 cccaaa 故故 故故

28、 故故 000002aaa解久期方程解久期方程得得aaa,2时时当当a20, 1321ccc0011当当当当a21, 0321ccc时时时时110212110213a21,21, 0321ccc)(),(),(321xuxuxu332211aaa321,)(xE可见，由于能量表象不是可见，由于能量表象不是的自身表象，故的自身表象，故的矩阵形式不同于的矩阵形式不同于321,要求要求A的可能值的可能值(2a,a,-a) 在在态中（即态中（即态中）态中）的概率分的概率分 布，就要把布，就要把 )(x按按A的本征态展开的本征态展开2121212100111Ea212121212121022Ea0212

29、1212121033Ea02121A21,21最后得最后得A表象中态矢表达式表象中态矢表达式:所以所以A取值为取值为(2a,a)的概率分别为的概率分别为:aaaA2321221 量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律。这种抽象的描述方法是由状态和运动规律。这种抽象的描述方法是由Dirac首先引用的，所以该方法所使用的符号称首先引用的，所以该方法所使用的符号称为为Dirac符号。符号。4 Dirac符号符号1、右矢空间、右矢空间( (ket)ket) 量子体系的一切可能状态构成一个量子体系的一切可能状态构成一个Hilbert空间。空间空间。空间

30、中的一个矢量（方向）一般为复量，用以标记一个量子态。中的一个矢量（方向）一般为复量，用以标记一个量子态。在抽象表象中在抽象表象中Dirac用右矢空间的一个矢量用右矢空间的一个矢量 | 与量子状态与量子状态相对应，该矢量称为右矢。若要标志某个特殊的态，则在相对应，该矢量称为右矢。若要标志某个特殊的态，则在右矢内标上某种记号。右矢内标上某种记号。 因为力学量本征态构成完备系，所以本征函数所对应因为力学量本征态构成完备系，所以本征函数所对应的右矢空间中的右矢也组成该空间的完备右矢（或基组），的右矢空间中的右矢也组成该空间的完备右矢（或基组），即右矢空间中的完备的基本矢量（简称基矢）。右矢空间即右矢空间中的完备的基本矢量（简称基矢）。右矢空间的任一矢量的任一矢量 | 可按该空间的某一完备基矢展开。可按该空间的某一完备基矢展开。 例如：例如： nna n 右矢空间中的每一个右矢量在左矢空间都有一个右矢空间中的每一个右矢量在左矢空间都有一个相对应的左矢量，记为相对应的左矢量，记为 |。2、左矢空间、左矢空间(bra)左矢左矢相应的一个抽象态矢。相应的一个抽象态矢