讲稿《第一章矢量分析》

1、第一章第一章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波本章内容本章内容1.1 矢量代数矢量代数1.2 三种常用的正交坐标系三种常用的正交坐标系1.3 标量场的梯度标量场的梯度1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度1.5 矢量场的环流和旋度矢量场的环流和旋度1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场1.7 拉普拉斯运算与格林定理拉普拉斯运算与格林定理1.8 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理第一章第一章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波1. 1. 标量和矢量标量和矢量矢量的大小或模矢量的大小或模：AA矢量的单位矢量矢量的单位矢量：标

2、量标量：一个只用大小描述的物理量。一个只用大小描述的物理量。AAeA矢量的代数表示矢量的代数表示：AeAeAAA1.1 矢量代数矢量代数矢量矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。母或带箭头的字母表示。 矢量的几何表示矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示一个矢量可用一条有方向的线段来表示 注意注意：单位矢量不一定是常矢量。单位矢量不一定是常矢量。 (见习题见习题1.20) A矢量的几何表示矢量的几何表示常矢量常矢量：大小和方向均不变的矢量。大小和方向均不变的矢量。 第一章第一章 矢量分析矢量分析电磁场与

3、电磁波电磁场与电磁波zzyyxxAeAeAeAAAAAAAxyzcoscoscos)coscoscos(zyxeeeAA矢量用坐标分量表示矢量用坐标分量表示coscoscoszyxAeeeezAxAAyAzxyO第一章第一章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波（1）矢量的加减法）矢量的加减法)()()(zzzyyyxxxBAeBAeBAeBA 两矢量的加减在几何上是以这两矢量为两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线邻边的平行四边形的对角线, ,如图所示。如图所示。矢量的加减符合交换律和结合律矢量的加减符合交换律和结合律2. 矢量的代数运算矢量的代数运算 矢量的加法

4、矢量的加法BAAB矢量的减法矢量的减法BAABB 在直角坐标系中两矢量的加法和减法：在直角坐标系中两矢量的加法和减法：结合律结合律()()ABCABCABBA交换律交换律第一章第一章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波（2 2）标量乘矢量标量乘矢量（3）矢量的标积矢量的标积（点积）（点积）zzyyxxkAekAekAeAkzzyyxxBABABAABBAcos A BB A矢量的标积符合交换律矢量的标积符合交换律1zzyyxxeeeeee0 xzzyyxeeeeeeAB矢量矢量 与与 的夹角的夹角ABA B A B 0BA/ A BAB第一章第一章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁

5、场与电磁波（4）矢量的矢积矢量的矢积（叉积）（叉积）sinABeBAn)()()(xyyxzzxxzyyzzyxBABAeBABAeBABAeBAzyxzyxzyxBBBAAAeeeBAABBAsinABBABA矢量矢量 与与 的叉积的叉积AB用坐标分量表示为用坐标分量表示为写成行列式形式为写成行列式形式为BAABBA若若 ，则，则BA/0BA若若 ，则，则第一章第一章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波（5 5）矢量的混合运算）矢量的混合运算CBCACBA)(CBCACBA)()()()(BACACBCBACBABCACBA)()()( 分配律分配律 分配律分配律 标量三重积标量三

6、重积 矢量三重积矢量三重积第一章第一章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波1.2 三种常用的正交曲线坐标系三种常用的正交曲线坐标系 在电磁场与波理论中，在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：三种常用的正交曲线坐标系为：(1)(1)直直角角坐标系、坐标系、(2)(2)圆柱坐标系和圆柱坐标系和(3)(3)球坐标系球坐标系。 点点P(x0,y0,z0)0yy（平面）（平面） o x y z0 xx（平面）（平面）0zz（平面（平面）P 直角坐标系直角坐标系 xezeye第一章第一章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波zeyexerzyx位置矢量位置矢量坐标单位坐标单位矢

7、量矢量zyxeee,点点P(x0,y0,z0)0yy（平面）（平面） o x y z0 xx（平面）（平面）0zz（平面（平面）P 直角坐标系直角坐标系 xezeye坐标变量坐标变量, ,x y zz,zeee,zeerz, reeer,rerr第一章第一章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波线元矢量线元矢量zeyexelzyxddddzeeelzdddddddsin drle re re r x yz直角坐标系的长度元、面积元、体积元直角坐标系的长度元、面积元、体积元 odzd ydxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyyddd坐标面元矢量坐标面元矢量zyelleSxzy

8、xxdddddyxelleSzyxzzdddddzxelleSyzxyyddddddddddddddddddddzzzzzelleSzelleSzelleSddsinddd2relleSrrrddsindddrrelleSzrdddddrrelleSr体积元体积元zyxVddddzVdddddddsind2rrV 第一章第一章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波xeyezeeezecossin0cossin0001直角坐标直角坐标与与圆柱坐标系圆柱坐标系eezereeesin0cossincos0001圆柱坐标圆柱坐标与与球坐标系球坐标系直角坐标直角坐标与与球坐标系球坐标系zeree

9、ecossincossincoscos0 xeyesinsinsincoscossinoxy单位圆单位圆 直角坐标系与柱坐标系之间直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系xeyeeeoz单位圆单位圆 柱坐标系与求坐标系之间柱坐标系与求坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系zeeree第一章第一章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波1.3 标量场的梯度标量场的梯度q 如果物理量是标量，称该场为如果物理量是标量，称该场为标量场标量场。 例如例如：温度场、电位场、高度场等。：温度场、电位场、高度场等。q 如果物理量是矢量，称该场为如果物理量是矢量，称该场为矢量场

10、矢量场。 例如例如：流速场、重力场、电场、磁场等。：流速场、重力场、电场、磁场等。q 如果场与时间无关，称为如果场与时间无关，称为静态场静态场，反之为，反之为时变场时变场。时变标量场和矢量场可分别表示为：时变标量场和矢量场可分别表示为： 、),(tzyxu),(tzyxF 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个该区域上定义了一个场场。从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：标量场和矢量场标量场和矢量场、),(zyxu),(zyxF静态标量场和矢量场可分别表示为：静态标量场和矢

11、量场可分别表示为：第一章第一章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波方向导数方向导数: :标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向上的变化率。（高度场）一方向上的变化率。（高度场） l0ul u(M)沿沿 方向增加；方向增加； l0ul u(M)沿沿 方向减小；方向减小； l0ul u(M)沿沿 方向无变化。方向无变化。 M0lMl方向导数的概念方向导数的概念 l特点特点：方向导数既与点：方向导数既与点M0有关，也与有关，也与 方向有关方向有关。问题问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？：在什么方向上变化率最大、其最大的变

12、化率为多少？第一章第一章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波 梯度梯度: :标量场在某点梯度的大小等于该点的标量场在某点梯度的大小等于该点的最大最大方向导数，方向导数，梯度的方向为该点具有梯度的方向为该点具有最大最大方向导数的方向。可见，方向导数的方向。可见，梯度是一梯度是一个矢量个矢量。（举例：高度场）。（举例：高度场）标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）gradyzxyz xeee在在直角坐标系中，标量场直角坐标系中，标量场 的梯度可表示为：的梯度可表示为：式中式中grad grad 是英文字母是英文字母 gradientg

13、radient的缩写，也可用算符的缩写，也可用算符 表示。表示。梯度运算的基本公式梯度运算的基本公式：uufufuvvuuvvuvuuCCuC)()()()()(0第一章第一章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波16 解解 (1)由梯度计算公式，可求得由梯度计算公式，可求得P点的梯度为点的梯度为PzyxPzyxzeyexe)(22zyxzyxeeeeyexe22)22()1 , 1 , 1( 例例1.2.1 设一标量函数设一标量函数 (x,y,z) = x2y2z 描述了空间标量描述了空间标量场。试求：场。试求： (1) 该函数该函数 在点在点P(1,1,1)处的梯度，以及表示该梯度

14、方向的处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量。单位矢量。 (2) 求该函数求该函数 沿单位矢量沿单位矢量方向的方向导数，并以点方向的方向导数，并以点P(1,1,1)处的方向导数值与该点的梯度处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。值作以比较，得出相应结论。ooo60cos45cos60coszyxleeee第一章第一章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波17表征其方向的单位矢量表征其方向的单位矢量 222(1,1,1)22221333(2 )(2 )( 1)xyzlxyzPPexeyeeeeexy (2) 由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿由方向导数与梯度之间的关系式可

15、知，沿el方向的方向方向的方向导数为导数为对于给定的对于给定的P P点，上述方向导数在该点取值为点，上述方向导数在该点取值为(1,1,1)1221222Pxyl)212221()22(zyxzyxleeeeyexeel212 yx第一章第一章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波18而该点的梯度值为而该点的梯度值为 222(1,1,1)(2 )(2 )( 1)3Pxy 显然，梯度显然，梯度 描述了描述了P P点处标量函数点处标量函数 的最大变化率，的最大变化率，即最大的方向导数，故即最大的方向导数，故 恒成立。恒成立。PPPl 第一章第一章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波

16、191. 矢量场的通量矢量场的通量 dddnSSFSF eS通量的概念通量的概念ddnSe S其中：其中：面积元矢量；面积元矢量；ne面积元的法向单位矢量；面积元的法向单位矢量；dSddnF e S穿过面积元穿过面积元 的通量。的通量。 如果曲面如果曲面 S 是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是),(zyxFSdne面积元矢量面积元矢量SnSSeFSFdd1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 第一章第一章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波200通过闭合曲面有通过闭

17、合曲面有净的矢量线穿出净的矢量线穿出0有净的矢有净的矢量线进入量线进入0进入与穿出闭合曲进入与穿出闭合曲面的矢量线相等面的矢量线相等矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果 闭合曲面的通量从闭合曲面的通量从宏观上宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。量与曲面内产生矢量场的源的关系。通量的物理意义通量的物理意义第一章第一章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波213. 矢量场的散度矢量场的散度定义：流出单位体积元封闭面的通量定义：流出单位体积元封闭面的通量0( , , ) d ( , , )limSV

18、F x y zSdiv F x y zV 直角坐标系中散度可表示为直角坐标系中散度可表示为 divyxzFFFFxyz div FF 因此散度可用算符因此散度可用算符表示为表示为第一章第一章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波22圆柱坐标系圆柱坐标系)(sin1)(sinsin1)(122FrFrFrrrFrzFFFFz)(球坐标系球坐标系zFyFxFFzyx直角坐标系直角坐标系散度的表达式散度的表达式：散度的有关公式散度的有关公式：GFGFfFFfFfkFkFkfCfCCCC)()(为常量)()()()为常矢量(0第一章第一章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波234.

19、散度定理散度定理ddSVFSF V 体积的剖分体积的剖分VS1S2en2en1S 通量与散度的关系：通量与散度的关系：第一章第一章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波241.5 矢量场的环流和旋度矢量场的环流和旋度 1. 矢量场的环流与旋涡源矢量场的环流与旋涡源 第一章第一章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波25SCSzyxJIlzyxBd),(d),(00磁场的环流与电流的关系：磁场的环流与电流的关系： 磁感应线要磁感应线要么穿过曲面么穿过曲面磁感应线要么同时磁感应线要么同时穿入和穿出曲面穿入和穿出曲面磁感应线磁感应线ClzyxFd),(环流的定义：环流的定义：第一章第

20、一章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波26SCMFn2. 矢量场的旋度矢量场的旋度（ ） F （1）环流面密度）环流面密度CSnlFSFd1limrot0称为矢量场在点称为矢量场在点M 处沿方向处沿方向 的的环流面密度环流面密度。n 单位面元边界闭合曲线的环流：单位面元边界闭合曲线的环流：特点特点：其值与点其值与点M 处的方向有关。处的方向有关。n第一章第一章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波27SCMFnerot (coscoscos ) (rotrotrot)nnyyxzxxyzzFe rotFeeeeFeFeF任一取向面元的环流面密度，是该点最大环流面密度在该取向

21、任一取向面元的环流面密度，是该点最大环流面密度在该取向面元上的投影：面元上的投影：nrotF第一章第一章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波28而而 推导推导 的示意图如图所示的示意图如图所示。rotxFoyz yCMzx1234计算计算 的示意图的示意图 rotxF 直角坐标系中直角坐标系中 、 、 的表达式的表达式rotxFrotyFrotzF41321dddddllllClFlFlFlFlF)()(4321zFyFzFyFzyzy2)(2yyFMFFMzzz2)(3zzFMFFMyyy2)(1zzFMFFMyyy2)(4yyFMFFMzzz第一章第一章 矢量分析矢量分析电磁场与

22、电磁波电磁场与电磁波29于是于是 同理可得同理可得故得故得zyzFyFlFyzC)(dzFyFSlFFyzCSxdlimrot0rot FF xFzFFzxyrotyFxFFxyzrot yyxxzzxyzxyzxyzFFFFFFrot FeeeyzzxxyeeexyzFFF第一章第一章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波30zyxzyxxyzzxyyzxFFFzyxeeeyFxFexFzFezFyFeF旋度的计算公式旋度的计算公式: :zzFFFzeeeF1FrrFFrerererFrrsinsinsin12 直角坐标系直角坐标系 圆柱坐标系圆柱坐标系 球坐标系球坐标系第一章第一章

23、 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波31旋度的有关公式旋度的有关公式：矢量场的旋度矢量场的旋度的散度恒为零的散度恒为零标量场的梯度标量场的梯度的旋度恒为零的旋度恒为零FfFfFf)(CfCf)(0CGFGF)(GFFGGF)(0)(F0)(u第一章第一章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波32ddCSFlFS3. 斯托克斯定理斯托克斯定理曲面的曲面的剖分剖分方向相反大小方向相反大小相等结果抵消相等结果抵消 环流与旋度的关系：环流与旋度的关系：第一章第一章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波334. 散度和旋度的区别散度和旋度的区别 0,0FF0.0FF0,0FF0

24、,0FF第一章第一章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波351. 矢量场的源矢量场的源散度源散度源旋度源旋度源1.6 矢量场的分类与分析方法矢量场的分类与分析方法2. 矢量场按源的分类矢量场按源的分类（1）无旋场）无旋场0dClF性质性质： ，线积分与路径无关，是保守场。，线积分与路径无关，是保守场。仅有散度源而无旋度源的矢量场，仅有散度源而无旋度源的矢量场，0F无旋场无旋场可以用标量场的梯度表示为可以用标量场的梯度表示为例如：静电场例如：静电场0EEuF()0Fu 第一章第一章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波36（2）无散场）无散场 仅有旋度源而无散度源的矢量场仅有旋度源而无散度源的矢量场，即，即性质性质：0dSSF0 F无散场可以表示为另一个矢量场的旋度无散场可以表示为另一个矢量场的旋度例如，恒定磁场例如，恒定磁场AB0BAF0)(AF第一章第一章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁