随机事件及其概率

1、随机事件及其概率随机事件及其概率第一章第一章 n 随机事件随机事件n 随机事件的概率随机事件的概率n 随机事件的公理化定义及其性质随机事件的公理化定义及其性质u确定性现象确定性现象 Certainty phenomenan 在在101325a的大气压下，将纯净水加热到的大气压下，将纯净水加热到 100时必然沸腾时必然沸腾n 垂直上抛一重物，该重物会垂直下落垂直上抛一重物，该重物会垂直下落 u随机现象随机现象 Random phenomenan掷一颗骰子，可能出现掷一颗骰子，可能出现1，2，3，4，5，6点点n抛掷一枚均匀的硬币，会出现正面向上、反面向上抛掷一枚均匀的硬币，会出现正面向上、反面向

2、上 两种不同的结果两种不同的结果什么是概率论什么是概率论概率论就是研究概率论就是研究随机随机现象的统计规律性的数学学科现象的统计规律性的数学学科随机试验随机试验 random Experimentsu 试验在相同的条件下可重复进行试验在相同的条件下可重复进行u 每次试验的结果具有多种可能性，而且在试验之前可每次试验的结果具有多种可能性，而且在试验之前可 以确定试验的所有可能结果以确定试验的所有可能结果u 每次试验前不能准确预言试验后会出现哪一种结果每次试验前不能准确预言试验后会出现哪一种结果 上抛一枚硬币上抛一枚硬币在一条生产线上，检测产品的等级情况在一条生产线上，检测产品的等级情况 向一目标

3、射击向一目标射击实例n 在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件随机事件(random Events )，简称，简称事件事件（Events) n 随机事件通常用大写英文字母、等表示随机事件通常用大写英文字母、等表示例如： 在抛掷一枚均匀硬币的试验中，在抛掷一枚均匀硬币的试验中，“正面向上正面向上”是是一一 个随机事件，可用个随机事件，可用正面向上正面向上表示表示 掷骰子，掷骰子，“出现偶数点出现偶数点”是一个随机事件，试验是一个随机事件，试验结果为结果为2，4或或6点，都

4、导致点，都导致“出现偶数点出现偶数点”发生。发生。 随机事件随机事件 random Events 基本事件与样本空间基本事件与样本空间仅含一个样本点的随机事件称为仅含一个样本点的随机事件称为基本事件基本事件 n样本点样本点 Sample Pointn 样本空间样本空间 Sample Spacen 基本事件基本事件 随机试验中的每一个可能出现的试验结果称为这随机试验中的每一个可能出现的试验结果称为这个试验的一个个试验的一个 样本点样本点 ，记作，记作 i 全体样本点组成的集合称为这个试验的全体样本点组成的集合称为这个试验的样本空间样本空间，记作记作即即12,n 含有多个样本点的随机事件称为含有多

5、个样本点的随机事件称为复合事件复合事件 =| 0 T E4: 在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命E2: 射手向一目标射击，直到击中目标为止射手向一目标射击，直到击中目标为止E3: 从四张扑克牌从四张扑克牌J,Q,K,A任意抽取两张任意抽取两张。E1: 掷一颗匀质骰子，观察骰子出现的点数掷一颗匀质骰子，观察骰子出现的点数=1,2,=(J,Q),(Q,A)=1，2，3，4，5，6n 写出下列试验的样本空间写出下列试验的样本空间点数：一维离散型随机变量点数：一维离散型随机变量射击次数：一维离散型随机变量射击次数：一维离散型随机变量寿命：一维连续型随机变量寿命

6、：一维连续型随机变量二维离散型随机变量二维离散型随机变量 在随机试验中，在随机试验中，随机事件随机事件一般是由若干个基本事一般是由若干个基本事件组成的件组成的 A =出现奇数点是由三个基本事件出现奇数点是由三个基本事件 “出现出现1点点”、“出现出现3点点” 、 “出现出现5 点点” 组合而成的组合而成的随随机事件机事件 A 样本空间样本空间的任一子集的任一子集A A称为称为随机事件随机事件 随机事件随机事件（Random Events)Random Events) 例如，抛掷一颗骰子，观察出现的点数，那么例如，抛掷一颗骰子，观察出现的点数，那么“出现出现1点点”、“出现出现2点点”、.、“出

7、现出现6 点点”为该为该试验试验的的基本事件基本事件 属于事件属于事件A的样本点出现，则称的样本点出现，则称事件事件A发生发生。特例特例必然事件必然事件Certainty Eventsn 必然事件必然事件样本空间样本空间也是其自身的一个子集也是其自身的一个子集也是一个也是一个“随机随机”事件事件每次试验中必定有每次试验中必定有中的一个样本点出现中的一个样本点出现必然发生必然发生 “抛掷一颗骰子，出现的点数不超过抛掷一颗骰子，出现的点数不超过6”为为 必然事件。必然事件。n 例例记作记作特例特例不可能事件不可能事件Impossible Event空集空集也是样本空间的一个子集也是样本空间的一个子

8、集不包含任何样本点不包含任何样本点 n 不可能事件不可能事件也是一个特殊的也是一个特殊的“随机随机”事件事件不可能发生不可能发生 “抛掷一颗骰子，出现的点数大于抛掷一颗骰子，出现的点数大于6”是是 不可能事件不可能事件n 例例记作记作随机试验：抛掷硬币随机试验：抛掷硬币Tossing a coin 掷一枚均匀的硬币，观察它出现正面或反面的情况掷一枚均匀的硬币，观察它出现正面或反面的情况n 试验的样本点和基本事件试验的样本点和基本事件n 随机试验随机试验n 样本空间样本空间 H：“正面向上正面向上” T ：“反面向上反面向上”=H，T 试验：掷一枚硬币三次，观察它出现正面或反面的情况试验：掷一枚

9、硬币三次，观察它出现正面或反面的情况u 随机事件随机事件=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTTA=“正面出现两次正面出现两次” =HHT,HTH,THHB=“反面出现三次反面出现三次” =TTTC=“正反次数相等正反次数相等”= D=“正反次数不等正反次数不等” =随机试验：抛掷两颗骰子随机试验：抛掷两颗骰子 Rolling two die抛掷两颗骰子，观察出现的点数抛掷两颗骰子，观察出现的点数n 随机试验随机试验n 试验的样本点和基本事件试验的样本点和基本事件 样本空间样本空间 （1，1），（），（1，2）,（1，3），（），（1，4），），（1，5），（），（1，

10、6），），.，（，（6，1），（），（6，2），），.，（，（6，6）u 随机事件随机事件试验：抛掷两颗骰子，观察出现的点数试验：抛掷两颗骰子，观察出现的点数A=“点数之和等于点数之和等于3”=（1 1，2 2），（），（2 2，1 1） B=“B=“点数之和大于点数之和大于11”11” =6=6，66C=“C=“点数之和不小于点数之和不小于2”2”D=“D=“点数之和大于点数之和大于12”12” = = =事件的关系与运算事件的关系与运算 给定一个随机试验，设给定一个随机试验，设为其样本空间，事件为其样本空间，事件，A Ak k ( k =1 , 2 , 3 , . ) ( k =1 , 2

11、 , 3 , . ) 都是都是的的子集子集事件事件事件之间的关系与事件的运算事件之间的关系与事件的运算集合集合集合之间的关系与集合的运算集合之间的关系与集合的运算u 事件发生必然导致事件发生事件发生必然导致事件发生 子事件子事件 (事件的包含事件的包含Contain ）ABBABAu 事件的样本点都是事件的样本点事件的样本点都是事件的样本点例如例如抛掷两颗骰子，观察出现的点数抛掷两颗骰子，观察出现的点数A=A=出现出现1 1点点 B=B=出现奇数点出现奇数点 事件是事件的事件是事件的子事件子事件 记作记作AB相等事件（相等事件（Equal）BAAB且A=BBA事件事件A与事件与事件B含有相同的

12、样本点含有相同的样本点 例如：在投掷一颗骰子的试验中，事件例如：在投掷一颗骰子的试验中，事件“出现偶数点出现偶数点” 与事件与事件“出现出现2，4或或6点点”是相等事件。是相等事件。u 事件事件A A与事件与事件B B至少有一个发生至少有一个发生ABAB和事件和事件 Union121nniiAAAA=121niiAAAA=u 由事件由事件A A与事件与事件B B所有样本点组成所有样本点组成u 多个事件的和多个事件的和和事件和事件ABAB发生发生A发生或发生或B发生发生 积事件积事件IntersectionBAn1iin21AAAA1iin21AAAAu 多个事件的积多个事件的积u 由事件和事件

13、的公共样本点组成由事件和事件的公共样本点组成 积事件积事件ABAB发生发生 事件和事件同时发生事件和事件同时发生互斥事件互斥事件 (互不相容事件互不相容事件) ExclusiveABu 事件事件A A与事件与事件B B不能同时发生不能同时发生u 事件事件A A与事件与事件B B没有公共的样本没有公共的样本点点事件事件A与事件与事件B互斥互斥 AB= AAA ( )AAAA AA对立事件对立事件 Contraryu 事件事件A A不发生不发生u 是由所有不属于是由所有不属于A的样本点组成的样本点组成u 性质性质cA记作记作 差事件差事件 DifferenceABu 由属于事件由属于事件A A但不

14、属于事件但不属于事件B B的样本点组成的样本点组成,BABA差事件差事件A-BA-B发生发生 事件事件A A发生且事件发生且事件B B不发生不发生性质性质 ABAAB完备事件组完备事件组121,nA AA（ ）互不相容122nAAA （ ）12,nA AA完备事件组完备事件组 1A2A3A4A概率论概率论 集合论集合论样本空间（必然事件）样本空间（必然事件） 全集全集不可能事件不可能事件 空集空集子事件子事件 ABB 子集子集ABB和事件和事件 ABB 并集并集ABB积事件积事件 ABB 交集交集ABB 差事件差事件 A-B-B 差集差集A-B-B 对立事件对立事件 补集补集 AAVenn图演

15、示集合的关系与运算事件之间的运算律事件之间的运算律u 交换律交换律 ABBAABBAu 结合律结合律 ()()A BC AB Cu 分配律分配律 ()()()A BCABAC)CA)(BA()BC(Au 摩根律摩根律 BAABBABA某射手向目标射击三次，用某射手向目标射击三次，用 表示第表示第 次次击中目标击中目标iAi试用试用 及其运算符表示下列事件及其运算符表示下列事件：1,2,3,i iA（1 1） 三次都击中目标：三次都击中目标： 123A A A（2 2） 至少有一次击中目标至少有一次击中目标： 123AAA（3 3） 恰好有两次击中目标：恰好有两次击中目标： 123123123A A AA A AA A A（4 4） 最多击中一次：最多击中一次： 121323A AA AA A（5 5）至少有一次没有击中目标：至少有一次没有击中目标： 123123AAAA A A（6 6）三次都没有击中目标：三次都没有击中目标： 123123A A AAAA例：复合事件的表示例：复合事件的表示A,B,CA,B,C为同一样本空间的随机事件，为同