抛物线及其标准方程(录播室优质课)

1、喷泉喷泉拱桥拱桥24yx24yx 问题：问题：怎么样的曲线是抛物线呢？怎么样的曲线是抛物线呢？二次函数二次函数 和和 的图象的图象24yx24yx .-2.xyO1.2.xyO1并且在初中的时候我们学过一元二次函数，我们知道二次函数的图像是抛物线，例如1.知识与技能知识与技能 掌握抛物线的定义；会推导抛物线的标准方程；能够利用给定条件求抛物线的标准方程2.过程与方法过程与方法 通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力，使学生学会数学思考与推理，并进一步感受数形结合的思想以及发现数学美。3.情感态度与价值观情感态度与价值观 激发学生积极

2、主动地参与数学学习活动，养成良好的学习习惯；同时通过欣赏生活中的一些抛物线，不但加强了学生对抛物线的感性认识，而且使学生受到美的享受，陶冶了情操。 抛物线的定义及标准方程抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导F lMHP 这是一条曲线？这是一条曲线？问题探究问题探究点点M随着随着H运动的过程中运动的过程中, ,始终始终| |MF|=|=|MH| |，当当|MF|=|MH|时，时，点点M的轨迹是什么？的轨迹是什么？我们把这样的曲线叫做我们把这样的曲线叫做抛物线抛物线. .这是一条抛物线？这是一条抛物线？ 在平面内与一个定点在平面内与一个定点F和一条定直线和一条定直线 l (l不过点不过点F)

3、的的距离相等距离相等的点的轨迹叫的点的轨迹叫抛物线抛物线.点点F叫抛物线的叫抛物线的焦点焦点MFlH准线准线焦焦点点直线直线l 叫抛物线的叫抛物线的准线准线lF 思考：当直线思考：当直线 l 过点过点F 时，则点时，则点M的轨迹是什的轨迹是什么？（一条与么？（一条与l垂直的直垂直的直线线） 问题：问题：动点动点M的轨迹方程是什么，即抛物线的方程是什么的轨迹方程是什么，即抛物线的方程是什么呢？呢？步骤步骤： （1）建系 （2）设点 （3）“限”(满足的限制条件) （4）代 （5）化简.xyOl 探讨建立平面直角坐标系的方案探讨建立平面直角坐标系的方案.M.xyOFl.M.xyOFl.MxyFl方

4、案方案(1)(1)方案方案(2)(2)方案方案(3)(3)问题：问题：哪种方案的方程更简单呢？哪种方案的方程更简单呢？222ypxp222ypxp22ypx作作 于点于点H.（方案二）以过（方案二）以过F且垂直于且垂直于 l 的直的直线为线为x轴轴, ,垂足为垂足为K. .以线段以线段FK的中的中点点O为坐标原点建立直角坐标系为坐标原点建立直角坐标系xOy.设点设点 为抛物线上的任意一为抛物线上的任意一点，点， ，( (其中其中KFKF的长指得是焦点的长指得是焦点F F到准线到准线l的距离，所以的距离，所以P0.)P0.)( , )M x y= (0)FKp p 则焦点则焦点 ，准线，准线(,

5、0)2pF:2pl x MHl.M（x,y）xyOFlKH两边平方，整理得两边平方，整理得由抛物线的定义得由抛物线的定义得22(0)ypx p 这就是所求这就是所求M点的轨迹方程点的轨迹方程.MFMH22()2pMFxyMH 22()22ppxyx因为因为所以所以2px.M（x,y）xyOFlKH 把方程把方程 y2 = 2 2px (p0)叫做抛物线的叫做抛物线的标准方程标准方程. 其中其中 p 为正常数，表示焦点在为正常数，表示焦点在 x 轴正半轴上轴正半轴上. p的几何意义是的几何意义是: :焦点坐标是焦点坐标是(,0)2p2px 准线方程为准线方程为: :焦点到准线的距离焦点到准线的距

6、离开口.M（x,y）xyOFlKHxyOFxOyF 220ypxp焦点坐标是焦点坐标是(,0)2p2px 准线方程为准线方程为: :焦点坐标（0，）准线方程： 220ypxpP的意义的意义:抛物线的焦点到准线的距离抛物线的焦点到准线的距离例例1、先判断下列抛物线的开口方向，再求出他们、先判断下列抛物线的开口方向，再求出他们的焦点坐标和准线方程。的焦点坐标和准线方程。(1)焦点位置在焦点位置在x轴正半轴，开口向右，轴正半轴，开口向右，F(3/2,0)，准线方程，准线方程x=-3/2(2)标准方程为标准方程为 ,焦点在焦点在y轴负半轴，开口向下，轴负半轴，开口向下，F(0,-1/8)，y=1/8(

7、3) 焦点在焦点在y轴正半轴，开口向上，轴正半轴，开口向上，F(0,5/2)，y=-5/2(4) 焦点在焦点在x轴负半轴，开口向左，轴负半轴，开口向左，F(-1/16,0)，准线方，准线方程程x=1/16(5) 焦点在焦点在y轴上，轴上，F(0,1/(4a)，y=-1/(4a) 26yx（1）240 xy（4）22yx 210 xy24xy 2yxa210 xy26yx（1）26yx（1）26yx（1）2(0)yaxa（5）26yx（1）例例2、分别求满足下列条件的抛物线的标准方程。、分别求满足下列条件的抛物线的标准方程。 （1）焦点坐标为（）焦点坐标为（-2,0） （2）焦点到准线距离为）焦

8、点到准线距离为8。（焦点在。（焦点在x轴上）轴上） 1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是）焦点是F（3，0）；）；（2）准线方程）准线方程 是是x = ；14 （3）焦点到准线的距离是）焦点到准线的距离是2（焦点在（焦点在x轴上）轴上）.y2 =12xy2 =xy2 =4x 或或 y2 = -4x 小结2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)y2 = 20 x (2)2y2 +5x =0 （5，0）x=- -58x= 5（- - ，0）581.1.抛物线的定义；抛物线的定义；2.2.抛物线的标准方程；抛物线的标准方程；3.3.p p的几何意义是的几何意义是: :焦点到准线的距离；焦点到准线的距离；4.4.标准方程中标准方程中p