电磁场理论：习题1

1、1-1. (1) 叙述库仑定律，并写出数学表达式。 (2)电荷之间的作用力满足牛顿第三定律吗？请给出证明。解：（1）库仑定律内容为： 真空中两个静止的点电荷之间的相互作用力的大小，与它们的电量和的乘积成q q正比，与它们之间距离的平方成反比。作用力的方向沿两者连线的方向。两点电荷同号R时为斥力，异号时为吸力。即：，是的矢径，是的矢径，是对RRqqkFqq3 rrRrq r qqqF q的力。q222zzyyxxrrRR：比例系数，在 MKSA 单位制中，k041k所以： )(420NRRqqFqq（2）电荷之间的作用力不满足牛顿第三定律，请看下面的例证： 以速度运1q1v动，q以速度运动。22

2、v如图 1-2 所示。此时，在处产生有电场和磁场。而在处也产生电场2q1q2E2H1q2q和磁场。但因在处产生的磁场方向与平行。故由洛仑兹公式知，q 所受1E1H2q1q1v1的力为)(2120112121NEqHvqEqF只有电场力。但 q 对 q的作用力为：12 (N)10221112HvqEqF既有电场力，又有磁场力，所以两者不相等。1-2 （1） 洛仑磁力表达式中，哪部分做功，哪部分不做功，为什么？ (2) 洛仑兹力满足迭加原理吗？为什么? 解： (1) 洛仑磁力公式为 （N）HvqEqF0洛仑兹力做的功为 ,其中csdFWdtvsd 所以有： csdFW =tdtvF =tdtvHv

3、qEq)(0 =ttdtvHvqdtvEq)(0 = (J)tdtvEq其中使用了矢量恒等式BACCBA所以，洛仑兹力作的功为 tdtvEqW = )(JsdEqC所以，洛仑兹力中，因为与电荷的做功无关。而部分总是与电荷的运EqHvq0动方向垂直，故部分做功，而部分不做功。EqHvq0（2）因为电荷受力与和间都是线性关系，所以，洛仑兹力满足迭加原理。EH1-3 两个点电荷， ，分别放在原点和（0，0，3）处。求Cq11Cq22(1)空间各处的电场。 rE（1）画出沿 z 轴的电场大小分布曲线。（2）这条曲线是连续的吗？请解释原因。解：设系统坐标系如图所示： 根据在自由空间点电荷场公式与场的迭加

4、原理，则由=1C 和=2CsrsirQE4201q2q两点电荷产生的电场为：当只求沿 z 轴的电场时，x=y=0.330|3-|32|4, 0 , 0zzzzizEz总这条曲线在(z=0,z=3)点处是不连续的,因为在这两点分别为场的电荷点。1-4 某材料含有个电子/米3及同等数目的正离子。电子以米/秒的平均速度朝一个方向2010310运动，正离子以 10 米/秒的平均速度朝相反的方向运动，求电荷密度及电流密度。J解：因为材料中含有的电子和正离子是同数目的，所以，电荷密度=0 库仑/米3因为电流方向被定义为正电荷运动方向，所以电流密度=J21JJ电子库仑秒米米电子电子电子/106 . 1/10

5、/101933201qvJ）总mVzyxzzyxzizyxyzyxyizyxxzyxxiEEEzyx/(332323241232222322223222232222322223222021 =秒米电子电子库仑22319/10/106 . 1 =34/106 . 1米安 319320/160/106 . 1/10/10米安电子库仑秒米米正离子正离子正离子qvJa321/16160米安JJJ1-5 直径为 1mm 的铜导线上有 10A 的恒定电流通过。若电子密度为，试估计电子328/10米个的速度平均值。解: aIvJ/eN 秒米）（/1096. 7105 . 0106 . 110/10/3231

6、023eNaIv1-6 一个电子以米/秒的速度平行于 Z 轴的正方向运动。若平行于 X 轴正方向加有一均匀磁场，610强度为。问:如果要使电子保持原来的运动状态。需再加一个什么样的电场？MA/104解： 依题意有：)/(106SMivz )/(104MAiHx若使电子保持原来的运动状态，应使电子所受的外力洛仑兹力为零。即：00HvqEqF洛所以 )/(10430MViHvEy所以，为使电子保持原来的运动状态，应加一个电场：)/(1043MViEy1-7 已知曲线方程为yzxy12画出该曲线的图形并计算由点（0，0，1）沿曲线走到点（2，4，）时，电场3)/(322MVxzixyixyiEzyx

7、对 q=1C 的点电荷所做的功。解：电场对电荷 q 所做的功为:21PPsdEqW将电量 q 和电场代入，并考虑到在直角坐标系中，则有EdzidyidxisdzyxzxdxdyxyxydxsdxzixyixyiWPPPPzyx2121223232将曲线方程代入，即有：2xy xdxdy2 211xyzxdxdz2所以, dxxxxxdxdxxdxxW2123225203dxxdxxdxxdxx4262032262)(25.94)52327621(205374Jxxxx所以，电场做的功为 W= -94.25 焦耳。1-8 已知总量为 Q 的电荷均匀分布在内半径为 a，外半径为 b 的空心球上，求

8、空间各处的电场强度。 rE解：这是一个已知源的分布，求场的问题因为电荷在空心球上均匀分布，所以，空心球上的电荷密度为由积分形式的电场高斯定律： )/(34222MCabQVSdvadE0取一个半径为的球面，当时，有srars00Vdv有球对称性知，)(11sSrrrEiEs 04sin1022020010 VsrsssrSdvrErdrrEadEsr )/(01MVrEsrs)/(01MVE 当时 brasVSdvadE20图 18)(34333333CQabararvdvdvctssVV由球对称性知： sSrrrEiEs11 QabarrErrddrrEadEssrssssrSsr33332

9、202220200204sin QabarrrEsssrs333320241 )/(413333202MVQabarriEssrs当时brs QdvadEVS30由球对称性知：)(33sSrrrEiEs QrrEssrs20341 )/41203MVQriEsrs（于是，空间的电场分布为： )()()0()/(4)(4)(02332033brbraarMVrQiabrQariEssssrssrss1-9画处 8 题中沿的分布曲线。曲线连续嘛？与 3 题中的曲线比较，从中可以得到什么| Esr结论?解：1-8 题中的)()()0()/(4)(4)(02332033brbraarMVrQiabrQ

10、ariEssssrssrss的分布曲线如下沿sEr|由图可以看出，曲线是连续的，与题 3 中的曲线比较，可以得出这样的结论，即源不存在突变时，场也保持连续。1-10 环形线电荷，半径为 a，线电荷密度为（C/M）,求该环轴线上的电场。请讨论当轴上的点时，电场的近似表达式，此结论说明了什么？az 解：zazartan,22200202014141adrrqEd根据电荷的对称分布，电场迭加后只有 z 分量。)/(21cos412322002000MVzaazadEz当时za )/(42121lim202002323000MVzQzazazazEzaz其中： (C)02aQ 结论：当时，此电场强度等

11、效于放置在环心处电荷电量为的点电荷在 z 处所产生za a2的电场。1-11 电量分别为-1C 和 2C 的点电荷分别置于（0，0，-1）和（0，0，1）求 z 轴上有几个电场为零的点。这样的点在 z 轴上有几个？在空间有多少？解：根据电场迭加原理，在 z 轴上的合电场为330211z| 1|1| 1|24zzziEEEz合经过验证：只有当时，223z=0，除 z 轴外，在空间中没有这样的点满足要求。合E1-12 证明理想无限长密绕圆柱线圈通有恒定电流时，其内部磁场均匀，外部磁场为零。 证：设电流面密度为，根据系统对称性，场量与无关，只与有关，利用场积分定律。Kz,crCSadJsdH在区，电

12、流为零11111CSadJsdH021crH 01crH在区，静电流为零022crH 02crH做圆柱面 1 和 2 如图所示利用高斯定理 SadH0101SadH 0)()(2)(2120111111llccrSSccrccczcccSzdzdrrHdzdrrHdrrrHdrrrHcc下侧上 01crrHc同理可证 02crrHc， czrHiH11 czrHiH22做如图所示的闭合环路 4，则利用场积分定律 02122dzrHrHllczcz 2122czczrHrH考虑到场在时，cr02H 0)(22221czczczrHrHrH做如图所示的闭合线路 3，根据积分场定律，则， lKdzr

13、Hllcz21 KrHcz1)/()()0(0mAarariKHccz1-13 两条平行的无限长电流丝，其上恒定电流均为 I,但电流方向相反。求空间处的磁场。 rH解：根据公式（1-92） ，由 I0产生的磁场应为：cossin22122yxiiyxIH其中： 2122sinyxx2122cosyxyyxi yi xyxIH22201同理: cossin2212202yxiiayxIH其中：2122sinayxx2122cosayxayyxyxyxiyxayyxyiazxxyxxIiayi xayxIi yi xyxIHHH.222222222220220220211-14 已知平面 z=a

14、和 z=-a 上有面电荷分布，电荷密度分别为和，这里是常数。求：00-0空间各处电场强度。 （提示：用迭加原理） rE解：由迭加原理知，该系统可等效于图 1-(a)和 1-(b)两系统的迭加，对系统和系统，由对称性知，系统只有 z 分量。系统和系统均为无穷大带电平板。我们知道，位于 z=0 处的无穷大带电平板在空间产生的场为：)0()0()/(220000zzMViiEzz对系统，其在空间产生的电场为：)()()/(2200001azazMViiEzz对系统，在空间产生的电场为：)()()/(2200002azazMViiEzz根据迭加原理，将迭加，便可求得原系统在空间产生的场为21EE和)(

15、)()()/(0000azazaazMViEz1-15 已知半径长为 a 无限长圆柱体上，带有均匀分布，电荷密度为的体电荷。在其外有一内0半径为 b，外半径为 c,与圆柱体同轴的空心圆柱体，其上带有均匀分布，密度为的体电荷。0这里。求空间各处的电场强度。 rE解：根据迭加原理可将系统分为两部分：系统：半径为 a 无限长圆柱，带有均匀电荷分布，电荷密度为，如图 1-15-2 所示。0系统：内半径为 b，外半径为 c 的无限长空心圆柱体，带有均匀电荷分布，电密度为。如0图 1-15-3 所示。由积分形式电场高斯定律：VSdvadE0取一个高为 d,半径为的圆柱面，且设柱面上底为，下底为，侧面为，则

16、闭合曲面cr上S下S侧S为，当时侧下上SSSSarc0，VSdvadE20)(200CdrdvdvctcVV由柱对称性知： crrrEiEcc22adEadEadEadESSSS侧下上20202020因为上底面的法向为，下底面的法向为-，均与垂直，故有：zizi2E dErdzdrrEadEadEccrcccrdzSS 202020020202侧00002222cccrrdrdrEc)0()/(2002arMVriEccrc当时，arcVSCdadvadE)(2010由柱对称性知： crrrEiEcc11 dErdzdrrEadEadEadEadEadEccrcccrdzSSSSS 10102

17、0010101010102侧侧下上ccrradrdaEc020020122)()/(20201arMVraiEccrcc系统的解为：)/()()0(2202000MVararrairiEcccrcrcc系统由积分场定律知VSdvadE0取一个高为 d,半径为圆柱面，且设柱面上底，下底为，侧面为，则闭合曲面为cr上S下S侧S侧下上SSSS当时，brc00Vdv由柱对称性知： crrrEiEcc22 0220202002020202020 drErdzdrrEadEadEadEadEadEcrcccrdzSSSSScc侧侧下上0)(2crrEc )/(02MVE )0(brc当时, crbcVSd

18、vadE20)()(2202200CdrbdbrdvdvctccVV由柱对称性知： crrrEiEcc22 drErdzdrrEadEadEcrcccrdzSScc )(220202002020侧ccccrrrbdrdrbEc0220002222)(2)()()/(2)(02202crbMVrrbiEcccrc当时，crcVSCdcbdvadE)()(22010由柱对称性知： crrrEiEcc11 drErdzdrrEadEadEadEadEadEcrcccrdzSSSSScc )(210102001010101010侧侧下上cccrrcbdrdcbrEc0220022012)(2)()()

19、()/(2)(02201crMVrcbiEccrc 系统的场为：)()()0()/(2)(2)(002200220crcrbbrMVrcbirrbiEccccrccrcc将系统和系统的场迭加，最后可以得到总场：)()r(b)r(a)0()/(2)(2)(22cc022200222002000crcbarMVrcbairrbairairiEcccrccrcrcrcccc1-16 已知半径为 a 的无限长导体圆柱，其中有一个半径为 c 的圆柱空洞。圆柱轴与空洞轴相距为，导体上带有沿轴向流动的均匀分布在导体界面上的恒定电流，电流强度为)(cbabI0。求：空间的磁场强度。 （提示 ：用迭加原理）)(

20、rH解：对于该系统，在不失一般性的情况下，为方便起见，我们建立如下的坐标系：以半径为 a 的圆柱的轴线为 z 轴，且取 x 轴过圆柱及空洞轴。如图 1-16-1所示。用迭加原理求解：首先求出在具有空洞的圆柱上的体电流。J然后在空洞处补充一体电流密度为和的电流圆柱。JJ于是，可将原系统等效为如图 1-16-2 和 1-16-3 所示的系统 I和系统 II。（注意，本题不能补充的电流柱。因为这样做不可能将0I原系统分解成可用积分场定律求解的分系统） 。依题意有： )/()(2220MAcaIiJz0JiJz下面我们分别求系统 I 和系统 II 的场系统 I：由积分形式场定律:可得adJsdHsc取

21、一个半径为的环路 c，它所围的平面面积为 s。cr当时，arc0csadJsdH2为常矢，JscrJadJ20由对称性知：)(22crHiH ccccdrirHisdH)(22)(22)(22002carIrJrHccc)0()/()(22202arMAcarIiHcc当时 arcscadJsdH1)/()(22_200MAcaIJ20aJadJs由对称性知 )(11crHiH)(2)(111ccccccrHrdrirHisdH)/()(222220021MAcaraIJraHcc)/()(222201MAcaraIiHc写成直角坐标变量的形式，可得：系统 I 的场为)()(2)()(2)0(

22、)(2)()(22220222220220220arcaaIyxxiyicaraIiarcaIxiyicarIiHcyxccyxc对于系统 II。只需将坐标系平移：。并将电流体密度换为-zzyybxx,，便可用与系统 I 相同的求解方法求得：)/(20MAJiz系统总磁场)()(2)()()(2)0()(2)()(22220222220220220crcacIybxbxiyicarcIicrcaIbxiyicarIiHcyxccyxc为： 柱外洞外柱内洞内)(2)()()(2)()/()(2)()()(2)()(2)()(2)(222022222022222022220220220cacIyb

23、xbxiyicaaIyxxiyiMAcacIybxbxiyicaIxiyicaIbxiyicaIxiyiHyxyxyxyxyxyx即：柱外洞外柱内洞内)()()()(2)()()()(2)(2222222220222220220cybxbxiyiyxxiyicaaIcybxbxiyixiyicaIcabIiHyxyxyxyxy1-17 已知一个半径为 R 的无限长圆柱面，表面沿轴向有强度为的均匀面电流。求：空间的磁0K场分布。)(rH解：由于系统中所以修正的安培定律为, 0EscadJsdH)/(0MAKiKz由于对称性知：是与有关，与无无关。Hcrz,)(crHiH取一个半径为的圆为积分回路

24、 c，它所围的平面面积为 s。cr当时，Rrc00sadJ0)(2)(22022scccccadJrHrdrrHsdH)0()/(02RrMAHc当时，Rrc020002RKRdiKidsiKadJzzccs012 RKadJsdHsccccrRKrRKrH00122)(0)(2crH)()/(01RrMArRKiHcc)()0()/(00RrRrMArRKiHccc空间的磁场为1-18已知在和之间的区域中，分布有均匀的、密度为的体电荷，求：空间各0 xax 0点的电场分布。)(rE解：由电场高斯定律知首先将坐标系沿 x 方向平移至中，平移前后坐svdavadE,02a标系间的关系为zzyya

25、xx,2在坐标系中，选高斯面为一个柱面，柱面的上下底与平面平行，且距),(zyx0 x平面距离相等。为柱上下底面积大小均为 S。0 xx当VSdvadEax202时，有)(20CxsdvV由对称性知 且)(22xEiExx)()(22xExESxEadEdaiixEdaiixEadExSSxxxSxxxS)(2)()()(2020202020侧下上0000222)(xSSxxEx)/()0()0(00002MVxxxixiExx当VSdvadEax102时，有)(0csadvV由对称性知：且)(11xEiExx)()(11xExESxEadEdaixEdaixEadExSSxSxc)(2)()

26、()(1010101010侧下上)/()2()2(2222)(0000100001MVaxaxaiaiEassaxExxx所以，总场为)/()2()02()20()2(2200000000MVaxxaaxaxaixixiaiExxxx将坐标轴平移 xxii2axx)/()0()0()(2)2(2000000MVxaxaxaiaxiaiExxx1-19 已知一个半径为 a 的无限长圆柱体。在其上有沿轴向流动密度为的均匀体电流。求它0J在空间各点产生的磁场强度。)(rH解：无限长圆柱体内的电流密度为)/(20MAJiJz由积分形式场定律知ScadJsdH取一个半径为的环路 c,所围的平面面积为 s

27、。cr当时， arc0scadJsdH2为常矢J。)(200ArJdaJadJcss由对称性知)(1carHiH)(2)(111ccccccrHrdrirHisdH22)(0021ccccrJrJrrH)/(2001MArJiH)0(arc当时，arcscadJsdH1)(20AaJadJs由对称性知：)(11crHiHsdH1)/(222)()(2)(2012020112011MAraJiHraJraJrHrHrdrirHisdHccccccccc系统在空间产生的磁场为)/()()0(222000MAararraJirJiHcccc1-20 已知在空间分布的体电荷密度为)/()()1 (22

28、20MCrauarss其中是常数，函数求：空间各处的电磁场分布0)0()0(01)(xxxu)(rE解：依题意，系统的一个半径为的带电球。球内电荷体密度为)/()1 (2220MCars如图 1-21 所示由电场高斯定律知：VsdvadE0当arc0)()531(40534sin)1 ()1 (2230253020222000220CarrrarrdddrrardvardvssssssssrrVsVss此时只是的函数，故由球对称性知：sr)(2srrarEiEss22021010)(4sin)(ssrssrsrrsrrEddrirEiadEssss)531()531(44)(22002220302arrarrrrEssssssrs)/()531(2200