高三数学小题立体几何练习上课讲义

1、考点五立体几何 选择题:1、棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该2、如图，已知平面I平面 =1 ,.A B是直线1上的两点，C、D是平面 内的两点，且DA1 , DA 4, AB 6 , CB 8 . P 是平面上的一动点，且有APD BPC ,则四棱锥P ABCD体积的最大值是（48(B) 16(C) 2473(D) 1443、如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图,则在该几何体中，最长的棱的长度是（A. 4V2B. 2V5C.4、从点P出发的三条射线 PA,PB,P（M两成三点，若，则球的体积为（）6D. 4m60 °

2、;角，且分别与球O相切于A,B,CA.一32B.34C.38D.35、已知正四面体A-BCD,动点P在 ABC内，且点P到平面BCD的距离与点P到点A的距离相等，则动点P的轨迹为A.椭圆的一部分 B.双曲线的一部分C.抛物线的一部分D. 一条线段6、已知正方体 ABCD A'B'C'D',记过点A与三条直线 AB, AD, AA'所成角都相等的直线条数 为m,过点A与三个平面AB',AC,AD'所成角都相等的直线的条数为 n,则下面结论正确的是A. m 1,n 1 B. m 4,n 1 C. m 3,n 4D. m 4,n 47、将边长为

3、2的正方形ABCD沿对角线BD折起，则三棱锥 C ABD的外接球表面积为A. 16B. 12C. 8D. 48、已知三棱锥 O ABC中，A、B、C三点在以O为球心的球面上，若AB BC 1,ABC 120°,三棱锥O ABC的体积为,则球。的表面积为()432A. 3B. 64C.16D. 5449、已知三棱锥 A BCD中，平面ABD平面BCD,BCCD , BC CD 4, AB AD 23,则三棱锥A BCD的外接球的大圆面积为A. 9B. 27C. 12D. 3610、如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为A. 48B. 32C.

4、1632D.3二、填空题:11、若三棱锥P-ABC的最长的棱PA且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积12、如图，在三棱锥 D-ABC中，已知uur uurAB=2, AC BD 3,设 AD=a2cBC=b, CD=g则的取小值为ab 19 313、已知P,A,B,C是球O球面上的四点，ABC是正二角形，二棱锥 P ABC的体积为 下，且 APO BPO CPO 30，则球O的表面积为14、已知平面截一球面得圆 M，过圆心M且与 成30二面角的平面截该球面得圆N .若 该球面的半径为 5,圆M的面积为9 ，则圆N的面积为.15、在正三棱锥 S ABC中，AB= J2, M是SC的中点

5、，AMLSB,则正三棱锥 S ABC 外接球的球心到平面 ABC的距离为 .16、一个空心球玩具里面设计一个棱长为4的内接正四面体，过正四面体上某一个顶点所在的三条棱的中点作球的截面，则该截面圆的面积是参考答案BADCA DCBAD 11、412、213、1614、1315、 16、二363兀12.（原创版右图所示棱长为1的正方体4a。）-44却。中.。是平面/smk的点卜一点.满足QX15面/6片4.记曲线t ;. fl建匚殳加嫉r TH.、两点.则以线段M.V的中点力尊心.伍1为半带的球面1,汽 C ）公文点.直角三角形在空间做符合以下条件的自由运动:A. 0 B. 1 C. 2 d 忒上

6、情况均仔可腌如图，直线1，平面值，垂足为O,已知在直角三角形 ABC中，BC=1, AC=2, AB = Jg .该（1）且4 , （2） C三位.则B、。两点间的最6、已知底面为正方形的四棱锥 O ABCD ,各侧棱长都为2石，底面面积为16,以O为球心，2为半径作一个球，则这个球与四棱锥O ABCD相交部分的体积是（）28164 JA .B. - C.D . 一 答案C99931、a, b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a, b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：当直线 AB与a成60°角时，AB与b成30°角；当直

7、线 AB与a成60°角时，AB与b成60 °角；直线AB与a所成角的最小值为 45°直线AB与a所成角的最小值为60°.其中正确的是 .（填写所有正确结论的编号）【答案】【解析】试题分析：由题意，AB是以AC为轴，BC为底面半径的圆锥的母线，由AC a, AC b,又AC,圆锥底面，在底面内可以过点B,彳BD Pa ,交底面圆C于点D,如图所示，连结 DE,则DE± BD,DEPb,连结AD,等腰9BD中，AB AD 72，当直线AB与a成60°角时，ABD 600,故 BD 72,又在 Rt BDE 中，BE 2, DE 72,过点

8、B作BF/ DE,交圆C于点F,连结AF,由圆的对称性可知 BF DE J2 , ABF为等边三角形，ABF 60°,即AB与b成60°角，正确，错误.由最小角定理可知正确；很明显，可以满足平面 ABC,直线a,直线AB与a所成的最大角为90。，错误.正确的说法为.1 .如图，在长方体 ABCD ABC1D1中， AB mAD J3AA J3,点P为线段AC上 的动点（包含线段端点），则下列结论正确的 .uuiruur uuirurnr 当AC 3AP时，DP/平面BDC1 ；当AC 5AP时， A1C 平面DAP ； APD1的最大值为90°AP PD1的最小值

9、为痣.2 .如图所示，在四边形aRCD中一 S=8二LRD=、旦RD 8，将四边形:D沿对角线氏口折成四面体/一WCD ,使平面J8Z) _L平面5c0 ,则下列结论正确的（1）4C_L&D； 9C = 90,(3)ci与平面力如所成的角为3。.；(4)四面体工一£8的体积为63 .如图所示，在确定的四面体 ABCD中，截面EFGH平行于对棱 AB和CD .(1)若AB，CD ,则截面EFGH与侧面ABC垂直；(2)当截面四边形EFGH面积取得最大值时， E为AD中点；(3)截面四边形EFGH的周长有最小值；(4)若AB，CD , AC BD ,则在四面体内存在一点 P到四面

10、体ABCD六条棱的中点的距 离相等.上述说法正确的是.4 .如图，在透明塑料制成的长方体 ABCD A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边 BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法:丸n水的部分始终呈棱柱状；水面四边形EFGH的面积不改变；棱AiDi始终与水面 EFGH平行；当 E AA时，AE BF是定值.其中正确说法是5 .如图所示，直平行六面体 ？?？?？中，？为?如任意一点，？妁底面？（除？?外）上一点，已知？在底面？?？的射影为？?，若再增加一个条件， 就能得到？?！?现给出以下条件：？?L ?；？在？上；？?？平面？?？直线？摘？游平面？勺射影为同

11、一条直线.其中一定能成为增加条件的是 .（把你认为正确的都填上）6 .如图所示，在正方体ABCD ABCiDi中，M、N分别是棱AB、CC1的中点，VMBP的顶点P在CCi与CiDi上运动.有以下四个命题:平面MBiP NDi；平面MBiP 平面NDiAi；VMBiP在底面ABCD上的射影图形的面积为定值；VMBiP在侧面DiCiCD上的射影图形是三角形. 其中正确命题的序号是7 .点E、F、G分别是正方体 ABCD- AiBiCiD的棱AB、BC BiCi的中点，如图所示，则下列命题中的真命题是 （写出所有真命题的编号）.A £ fl以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面中最多只有三

12、个面是直角三角形； 过点F、Di、G的截面是正方形； 点P在直线FG上运动时，总有 AF»± DE; 点Q在直线BG上运动时，三棱锥 ADiQC的体积是定值;点M是正方体的平面 AiBiCiDi内的到点D和Ci距离相等的点，则点 M的轨迹是一条线段.8.正方体ABCD ABiCiDi的棱长为i, P为BC的中点，Q为线段CCi的动点，过A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S,则下列命题正确的序号是 .当CQ i时，S的面积为，6；当0 CQ i时，S为六边形；2 43 i_i当CQ 3时，S与CiDi的交点R满足C当CQ 时，S为等腰梯形；4 32i当0 CQ 一时，S

13、为四边形.29 .在正方体 ABCD ABiCiDi中（如图），已知点P在直线BCi上运动，则下列四个命题：d三棱锥A DiPC的体积不变；直线AP与平面ACDi所成的角的大小不变;二面角P ADi C的大小不变；M是平面ABiGDi上到点D和Ci距离相等的点，则M点的轨迹是直线 AD1其中真命题的编号是 .（写出所有真命题的编号）10 .已知矩形？?？的箕？?= 4,宽？?？ 3,将其沿对角线？?折起，得到四面体 ？?- ? 如图所示，给出下列结论：四面体？?- ?积的最大值为72;四面体？0 ?接球的表面积恒为定值； 5若？2 ?盼另1为棱？?2?的中点，则恒有 ？?L?L?当二面角？?-

14、 ? ?妁直二面角时，直线？?？?？成角的余弦值为16;2514当二面角？?- ? ?也大小为60时，棱？?润长为三.5其中正确的结论有 （请写出所有正确结论的序号 ）11 .如图，在正方体 ABCD ABiCiDi中，棱长为1，点P为线段AC上的动点（包含线段端点），则下列结论正确的 .uuivULUVUULV umv当AC 3AP时，DP/平面BDC1；当AC 3AP时， AC 平面DAP ； APD1的最大值为90°；APPd的最小值为12.如图，矩形ABCD中,AB 2BCE为边AB的中点，将ADE沿直线DE翻转ADE翻折过程中:成ADE .若M为线段A1C的中点，则在 |B

15、M|是定值；点 M在某个球面上运动;置，使MB P面ADE .其中正确的命题是答案存在某个位置，使DEAiC ;存在某个位解析】D 为坐标原点建立空间1,0,0 ,A 1,0,1,C 0,- 3,0,D1 0,0,1 C 0/ 3,1 ,B 1,t3,0 ,坐 uuur ACP x,y,zuurAP1,y,z 1uuur 当 AC1,3uuLr3AP1, 3, 13 x1,y, z23解得P ，3 3uuuuD1P2 二 33, 3设平面BDC1ur uuurur的法向量为n1。丫1,4则由u?mDB 0 uuuu DC10uuir解得urn13,1, 、3由于uuur irDF n1所以D1

16、P/平面BDC1成立.对于，当ACuuur5AP时，即1/ 3, 15 x 1,y,z解得P 4,53,5uuir uuuu,AC D1A 0 ，由 uuir uuuuAC D1P 0 uur可知AQ 平面DAP成立.对于，设 ACunrAP,1,J3, 1 x 1,y,z 1解 得 P 1 -, ,1 -uur uuuu cos PA, PD11.311.31一, ， 11, ,一,其分子化简得5时,uur uuuucos PA,PD10 ,故 APD1的最大值可以为钝角，错误.对于，根据计算的数据,uuu 13 1 uuuu 1,3 1uur uuuu PAPD12PA -, 一， 1 ,

17、 PD1 1,，一-1 12卜4 211，在对称轴工 3，即5时取得最小值为24 : J5,故错误.点睛：本题主要考查空间点线面的位置关系，考查利用向量法证明线面平面，线面垂直的方法，考查利用向量法求角度的最大值和线段长的最小值的方法.由于题目所给几何体是长方体，要验证线面关系，用向量法最快，建立空间直角坐标系后，利用直线的方向向量和平面的法向量 垂直，证明线面平行，利用直线的方向向量和平面内两个相交的向量垂直证明线面垂直2 . (2) (4)【解析】试题分析：平面4平面 bcd CD 平面ABD , CT与平面所成的角为 CADQ A D CD CA D 一，四面体才一夕8的体积为V 1S

18、BDAh 1 1 1， 433 26Q AB AD 1,DB J2 A/C BD ,综上(2) (4)成立.考点：1线线垂直;2线面角;3棱锥的体积.3 .【解析】试题分析：由直线与平面平行的性质定理可知，EFGH是平行四边形.中若AB ± CD ,截面EFGH是矩形，即FG GH ,如果截面EFGH与侧面ABC垂直, 那么GH 平面ABC ,须CD 平面ABC, CD AC , (1)不正确；(2)不妨假设ABCD所成角为,则平行四边形 EFGH中 EFG或 1800CFEF AF FG CF所以 EF (1) CD,FG AB(01)CD AC ' AB ACSefgh

19、EF FG sin （1 ）AB CD sin ，而 ABCD 是确定的，所以当 g，即 F是AC的中点时，亦即 E为AD中点时，截面四边形 EFGH面积取得最大值，（2）正确；CAEFAF FGCFEFFGAFCF(3)由一一,两式两边分别相加得，1 ,所以CDAC ABACCDABACACAB_,CD AB一FG AB EF , EFGH 的周长为 2(EF FG) 2(AB EF),而CD CD0 EF CD ,故EFGH的周长不存在最小值，(3)不正确；（4）若ABCD, AC BD设E,F,G,H分别为所在棱的中点，则 EFGH是矩形，连接 一，一，一 ，1，一EG,FH记它们的交点

20、为 P ,则P到E,F,G,H距离相等，均为 一 EG ;分别取AB,CD的中 2点 M ,N ,连 MG,GN,NE,EM ,由已知MGNE是矩形，其对角线的交点即EG的中点P ,且P到M ,G,N, E的距离均为1一 EG,故在四面体内存在一点 P到四面体ABCD六条棱的中点的距离相等，（4）正确.答案2为.考点：1.四面体的几何特征；2.平行关系；3.垂直关系.4. 【解析】试题分析：将该四棱柱绕 BC旋转，水的部分的面 ABFE与面CDHG始终平行且全等，其 余面为四边形，且相邻棱平行，所以始终呈棱柱状；在旋转过程中水面四边形 EFGH的面积改变；在旋转过程中， A1D1/EH ,EH

21、 面EFGH，所以棱A1D1始终与水面EFGH平行；在旋转过程中，水的体积保持不变，且四棱柱ABEF CDHG的高BC不变，则直角梯形1ABEFD面积不变，即S （AE BF） AB为定值，所以当E AA时，AE BF是定值；2故选.考点：四棱柱的性质.5 .【解析】对于，因为 AD/?i?,?L ?,. AD，？? ？又人0, FH, FHAEF=F所以ADL平面FHCE所以ADL CH正确；对于，？在？上，当F在？时，？?碉是CB,显然CB不垂直AD,错误；对于，因为？?L平面？?,所以？?LAD,同上，易得：AD）± CH,正确；对于，因为直线 ？?和？?将平面？?？?勺射影为

22、同一条直线，即平面FHCEL平面？?？又平面FHCE_平面 ABCD且平面 ABCDT平面？?=AD,所以ADL平面FHCE .ADLCH正确.故答案为：6 .【解析】错，BiCiNDi,显然当 M落在Di,RDi不垂直DN,所以平面MB1P ND1不恒成立。对，因为ND1MB1,且MB1 AD ,所以MB1 平面ND1A。对，因为BiM的射影是MB为定值，点M的射影一定在线段 CD上，所构造的射影三角形均同底等高，所以面积为定值。错，当 M点落在点C1时，VMB1P在侧面D1C1CD上的射影图形是条线段。综上所述，填。7 .【解析】画出图形，如图（1）所示，四个面都是直角三角形，所以（1）不

23、正确；（2）连接？?得到过点？?？,？?勺截面？?此截面为矩形，所以（2）不正确；（3）点？在直线？?？运动时，？?？?L?如图（2）,则？?!_平面？?？?即可得结论，所以是正 确的.（4）当？然在？?让运动时，三棱锥？?- ?体积不变，如图（2）中三角形？?而积不变， 且？剂平面？?走离不变，所以体积为定值，所以是正确的；（5）点？提正方体？?？内到点？抑？?距离相等的点，则？?点的轨迹是一条线段，线段 ？? 满足题意，故答案为 .8 .1【解析】 如图，当CQ -时，即Q为CC1中点，此时可得 PQ/AD1, AP=QD1=2故可得截面APQDi为等腰梯形，故正确;，.一 .， 1由上图

24、当点Q向C移动时，潴足0 CQ 12即可得截面为四边形APQM,故正确；，只需在DD1上取点M满足AM / PQ,当CQ=3时，如图,4延长DDi至N,使 DiN二,连接AN交AiDi于S,连接NQ交CiDi于R,连接SR,可证 AN/PQ,由NRDis/XQRCi,可得 CiR： DiR=CiQ： DiN=i : 2,故可一 i得CiR二-，故正确；3由可知当3 CQ i时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的4APQRS,显然为五边形，故错误；当CQ=i时，Q与Ci重合，取AiDi的中点F,连接AF,可证PCi/AF,且PC仁AF ,可知截面为apcif为菱形，故其面积为Iag

25、PF - V3 V2 ,故正确.故 222答案为：.9 .（多选或错选或不选不给分，少选均给一半，）【解析】VA dpc VC ad1P工 SyaDiCiC为定值；因为BCi / / ADi ,所以322BCi/面ADC,因此P到面ADiC距离不变，但 AP长度变化，因此直线 AP与平面ACD1所成的角的大小变化；二面角 P ADi C的大小就是平面 ABCiDi与平面ADiC所组成二面角的大小，因此不变；到点D和C1距离相等的点在平面 A1BCD1上，所以M点的轨迹是平面A BCDi与平面AiBiCi Di的交线A Di .综上真命题的编号是10 .【解析】对于四面体？?嘛?积最大为两个面互

26、相垂直，四面体？?-?怵积的最大值为1x1x3 X4 x12= 24-,故不正确；三棱锥？?- ?外接球的半径为5,所以三棱锥？?- 3255225?接球的表面积为4?X彳=25?,正确；若？?为分别棱？?,?的中点，连接?则?= ?根据等腰三角形三线合一得到 ？?L?连接?容易判断 ?马到？?？ ？?？所以？?L?所以正确；二面角?- ? ?必直 二面角时，以?妁原点？?,?所在直线分别为？?轴，则由向量的数量积可以得到直线?困?所成角的余弦值为11,所以正确； 25当二面角？?-? ?酌大小为60°时，棱？?？长为在直角三角形？?？,5?= 4,?妾 3,? 5,作？?L?则？= ?= 12,? ?=!，同理直角 三角形？?？，则？?？ ? ? ?= 7,在