经典2015年福建省初中数学竞赛试题打印版.doc

1、2015年全国初中数学竞赛试题班级 姓名 成绩 供稿人：李锦扬一、选择题（共 5小题，每小题 7分，共35分）。每道小题均给出了代号为 A, B, C, D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得 0分）右 3 12 a3 6a2 a1 .已知a -，则2（）2 2a 1A.由 B. <3 C. 73 2 D. V3 22.将编号为1, 2, 3, 4, 5, 6的6个小球放入3个不同的盒子内，每个盒子放2个球。则编号为1 ,最新课件2的小球放入同一个盒子内的概率为（）2151B.一5D.3.已知圆。是边长为6 J3的正三角形AB

2、C的内切圆，圆O1圆O外切，且与4ABC的CA边、CB边相切，则圆。1的面积为（B. 2C. 3D. 44 .如图，P为等腰三角形 ABC内一点，过P分别作三条边 BC、CA、AB 的垂线，垂足分别为D、E、F。已知AB AC 10, BC 12 ,且 PD ： PE ： PF 1 ： 3 3。则四边形PDCE的面积为（ ）A . 10 B. 15 C.竺 D. 5033记S（n）为非负整数n的各个数位上的数字之和，S(1995) 1 9 9 5 24。贝US(1) S(2) S(3) S(2015)如 S(0)0 ， S(1) 1 ，A. 28097B. 28098C. 28077D. 28

3、0873x 1 交于 A(x1 , y1)、 B(x2 , y2)两点，（第7题图）二、填空题（共 5小题，每小题7分，共35分）26 .已知直线y 2x 3与抛物线y 2x11x11 x2 17 .如图，已知正方形 ABCD的边长为1,点E、F分别在边BC、CD上，且 EAF 45。则ACEF的周长为.28 .若1 x 3时，二次函数y 2x 3ax 4的最小值为 23,则a9 .已知正整数p , q满足Jp 3 Jd72016,则整数对（p,q）的个数是2 x ,的x的取值范围x 2x10. x表示不超过x的最大整数，则满足条件 5 x -2为三、解答题（共4题，每小题20分，共80分）1

4、1.如图，二次函数 y mx2 nx p的图像过A、B、C三点，其中C( 1, 1),点 A、B 在 x 轴上（A在点O左侧，B在点。右侧），且sinBAC丁，sin ABC（1）求二次函数的解析式;（2）求4ABC外接圆的半径。O（第11题图）12.已知关于x的方程x2 44x20 0有有理数根，求正整数n的值。13 .如图，4ABC是等腰直角三角形，CA CB,点N在线段AB上（与A、B不重合），点M在射线BA上，且 NCM 45222求证：MN AM BN。14 .在0与21之间插入n个正整数a , a2,，an ,使其满足0 a a? an 21。若1,2, 3,，21这21个正整数都

5、可以表示为 0, a1, a2,，an , 21这n 2个数中某两个数的差。求 n的 最小值。2015年福建省初中数学竞赛试题参考答案考试时间2015年3月15日9 : 0011 ： 00满分150分、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为 A, B, C,请将正确选项的代号填入题后的括号里D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的 不填、多填或错填都得0分）1.已知a，则七6a2 a1A. 而【答案】C.2a4a 1 3, 2a2 1 2a。2a36a22a2 12a 13 c 2a 2a6aa2a('.3 1) 1、,33a 21 2a 13a 2.将编号

6、为1, 2, 3, 4, 56的6个小球放入则编号为1,2的小球放入同一个盒子内的概率为（3个不同的盒子内，每个盒子放 2个球。）A.-15C. 25D.【答案】【解答】间不考虑顺序）将6个小球分成3堆，每堆2球,共有下列15种不同的分堆方法（堆与堆之:(12)(34)6)； (12)(3,5)(4,6); (12) , (3,6), (4,5);(1(13)4)(2(24)3)(5(56)；6)；(1(13)4)(2(25)5)(4(36)；6)；(1(13)4)(2(26)6)(4,5);(3,5);(15)(23)(46)；(1,5)(24)(36)；(15)(26)(3,4);(16)

7、(23)(45)；(16)(24)(35)；(16)(25)(3 ,4)。其中,编号为2的小球分在同一堆的情形有3种。编号为12的小球放在同一个盒子内的概率为 153.已知圆。是边长为6m的正三角形ABC的内切圆，圆。1圆O外切，且与4ABC的CA边、CB边相切，则圆。1的面积为（）A.B. 2C. 3D. 4【答案】 A【解答】如图，设圆。切CB边于D ,圆O1切CB边于E ,且圆O的半径为R ,圆Oi的半径为r o由4ABC是边长为6J3的正三角形，知OC 2 6/3 6 , R OD 1 673 3 , 3232圆O1圆O外切，且与4ABC的CA边、O、Oi、C三点共线， OCD 30

8、,CB边相切,O1C2O1E2rOC OO1 O1C R圆O1的面积为12r 2r 3 3r 60BC、CA、AB的垂线，垂足4 .如图，P为等腰三角形ABC内一点，过P分别作三条边分别为D、已知 AB AC 10 ,BC 12PD ： PE： PF1： 3 3。则四边形PDCE的面积为(A. 10B. 15c-TDW且BD(第4题图)如图,连结 PA , PB , PC易知SA abc12 848。又SA ABCSAPBCSA PCAc1 .SA PAB BC2PD1CA2PEPF6PD 5PE5PF 48, PD：PE：PF1： 3 3PD 3,PE PF由PE PF ,知点P在BAC的平

9、分线上,A、P、点共线S(1995)A.222PC2 PD2 DC214EC o3S 四边形 PDCE SAPDCEC2SA PEC22PC2 PE21-PD DC2PD2DC2PE24(3)EC记S(n)为非负整数n的各个数位上的数字之和，1 9 9 5 24。则 S(1) S(2) S(3) | S(2015)(28097B. 28098C. 28077D. 28087B6242196o914340o3S(0)S(1) 1 ，【答案】 B最新课件【解答】设 S S(0) S(1) S(2) 1I S(1999)。则 2s (1 9 9 9) 2000 , S 28000。又 S(2000)

10、 S(2001) S(2002) | S(2009) 2 10 (0 1 29) 65,S(2010) S(2011) S(2012) S(2013) S(2014) S(2015) 3 4 5 6 7 8 33 ,S(1) S(2) S(3)S(2015) 28000 65 33 28098。二、填空题(共5小题，每小题7分，共35分)6 .已知直线y 2x 3与抛物线y 2x2 3x 1交于A(x1，y1)、B,y2)两点，则11x11 x2 1最新课件5【解答】由y 2X2 3 ，得2x2 5x 2 0o y 2x2 3x 15依题,国，x1 , x2为方程的两根，x1 x2 , x1x

11、21。25 2.'(x2 1) (x1 1) a X) 22 29x11x21(x11)(x21)x1x2(x1x2)11 5 1 527.如图，已知正方形ABCD的边长为1,点E、F分别在边BC、 CD上，且 EAF 45 。则4CEF的周长为。【答案】2【解答】如图，在CD的延长线上取点G ,使得DG BE ,连结GA。则由ABCD为正方形，易得 ABEADG。BAE DAG , AE AG。EAF 45 ,GAF GAD DAF BAE DAF90 EAF 45 EAF。于是，ftAEAFAGAF 中，AE AG, EAF GAF , AF AF. EAF GAF , EF GF

12、。zCEF 的周长l EC EF FC 1 BE GF FC 1 GD GD DF FC 2。8 .若1 x 3时，二次函数 y 2x2 3ax 4的最小值为 23,则2y 2xC3、23ax 4 2(x -a) 4a* 2 24 ,若3a43a23知,若 4a 3,4 时，则当x 1时,3y取最小值6 3a。29 429 2，不符合要求。3.一9 o4时，则当x - a时，y取取小值-a 448均不符合要求。即a 4时，则当x 3时，y取最小值22 9a。由229a92斤-a 423 知,823 知，a 5,符合要求。q）的个数是9.已知正整数p, q满足Jp 3丙 72016,则整数对（p

13、【答案】32016 6/0画 9q。【解答】由 而 3内 J2016 ,知Jp 同16 3亚,p由p, q为正整数知，必询12/4p为整数。p 14x2（其中X为正整数）。同理，q 14y2 （ y为正整数）。于是，x3y12y为正整数）。满足条件的整数对满足条件的整数对(p,q) (14 81,14 1),或(14(p,q)的个数为3。36144),或(14 9,14 9)。10. x表示不超过x的最大整数，则满足条件2x2x ,的x的取值范围【解答】（1）当x 0时,1,2x0。x 0时，方程x2x无解。(2)2x0,2xx2 成立。(3)x 1时,2x1,2xx2 不成立。(4)x 2时

14、，2x3。2。2xx2不成立。(5)x 2时,x 2x4,2或x23。2xx2不成立。(6)x 2时，x 2x6,6知,娓 x /70综合得，满足条件的x的取值范围为0三、解答题(共4题，每小题20分，共80分)11.如图，二次函数y mx2 nx p的图像过A、B、C三点，其中C( 1 , 1),点A、B在x轴上(A在点O左侧，B在点O右侧)，且sin BAC2 J55sin ABC 。5(1)求二次函数的解析式；(2)求4ABC外接圆的半径。(第11题图)【解答】(1)作CE x轴于E ,则 CE 1 o,2 5由sin BAC 5sin ABC2。点A坐标为(320),点B坐标为(1,0

15、)55分(第11题答题图)设所求二次函数的解析式为y m(x 3)(x21)将点C(1, 1)的坐标代入二次函数解析式,31 m( 1 -)(21)。1,二次函数得解析式为y (x2)(x11), IP y x -x210分(2)由5(1)知，AB 5222AB2 CA2CB2CACBo15分ABC外接圆的半径1AB220分12.已知关于x的方程x2 44x n2 n 20 0有有理数根，求正整数n的值【解答】关于x的方程x2 44x n2 n 20 0有有理数根，且n为正整数,. 442 4( n2 n 20) 4n2 4n 2016 为完全平方数 5 分设4n2 4n 2016 k2 (

16、k为正整数)，则 (2n1)22015k2 ， k2 (2n1)2 20155 13 31 。(k2n 1)(k2n 1) 20155 13 31。 10 分k 2n 1 为正整数， k 2n 1 为整数，且k 2n 1 k 2n 1 ，解得，2n 1 2015，或2n 1 1k 2n 1k 2n 1403k 2n 1155k2n165，或k 2n 113k2n13115 分k 1008n 503 ，k204k84k48，或 ，或n99n35n8n 的值为 503 或 99 或 35 或 8。20 分注： n 503时，方程化为x2 44x 253532 0 ，即 (x 482)( x 526

17、) 0。n99时，方程化为x244x 99200 ，即(x 80)( x 124) 0 。n35时，方程化为x244x 12800 ，即(x 20)( x 64) 0。n 8时，方程化为 x2 44x 92 0 ，即 (x 2)(x 46) 0 。13.如图，zABC是等腰直角三角形，CA CB,点N在线段AB上（与A、B不重合），点M在射线BA上，且NCM 45。求证：MN2【答案】如图，作点A关于直线MC连结 DA、DM、DC ,DN ,则 AMDC ABC是等腰直角三角形，CANCM 45 ,的对称点D（第13题答题图）MCACB ,MAC 。45 DCM 。45 ,DCNDCMMCA

18、ACNDCMBCN BCANCA90(45MCA)45DCNBCN 。又 CD CA CB , CNCN o DCN BCN o10ND NB, CDNCBN 45又由 zMDC 9A MAC ,CDM CAM 180CAB 18045135MDN MDCNDC 1354515MD DN 。又 MD MA,.222MN DM DN2_2AM BN20分另解：如图, CBN沿CN翻折得zCDNBCN oCD CBCA,DN BN ,CDNCBN45,DCN BCN oNCMDCMDCNMCNBCN4590ACN 4545ACNACM 。10又 CD CA,CM CM 。 DCMACM 。15MA MD , CDM CAMMN2 DM 2 DN 2 AM 2 BN135MDNCDM NDC 90 。2014.在0与21之间插入n个正整数a?., 烝，使其满足0 & a? 为21c 若1, 2, 3,，21这21个正整数都可以表示为0,a2,a0，21这n 2个数中某两个数的差。求n的最小值。n 2个数至多可以表示（n 1） n(n 1) | 2且为正数的差。 依题意有，（n 1）（n 2） 21,即（n 5）（n 8） 0。2 n 5。 5 分下面证明n 5不符合要求。若 n 5符合要求，则由 n 5 时，（n1（n221 知