江苏专版高三数学备考冲刺140分问题10数列中整数解问题含解析【精品】

1、问题10数列中整数解问题一、考情分析数列是高中数学的重要内容 ，又是学习高等数学的基础，在高考中占有极其重要的地位.数列中整数解问题 逐渐成为一个新的热点.本文试图对与数列有关的不定方程的整数解问题的解法作初步的探讨，以期给同学们的学习带帮助二、经验分享二元不定方程 双变量的不定方程，在高中阶段主要是求出此类不定方程的整数解，方法较灵活，下面介绍3种常用的方法.方法1.因式分解法：先将不定方程两边的数分解为质因数的乘积，多项式分解为若干个因式的乘积 ，再由题意分类讨论求解.方法2.利用整除性质 ：在二元不定方程中，当其中一个变量很好分离时，可分离变量后利用整除性质解 决.方法3.不等式估计法：

2、利用不等式工具确定不定方程中某些字母的范围或等式一边的范围，再分别求解.如转化为加j = W(用型，利用g n的上界或下界估计 f m的范围，通过解不等式得出m的范围，再一一验证即可.三、知识拓展1、整数的基本性质：(1)整数的和，差，积仍为整数(2)整数的奇偶性：若-=2无+ M丘刀，则称n为奇数;若""(无目为，则称n为偶数,在加，减，乘 法运算中，其结果有以下规律：奇数奇数偶数奇数偶数奇数偶数偶数偶数奇数偶数偶数偶数偶数偶数奇数奇数奇数(3)若 a,b Z ,且 a b,则 a b 1 crbw Rq < b(4)已知一'，若n Z ,且n a,b ,则

3、n只能取到有限多个整数(也有可能无解)(5)若a Z ,称a能被b整除，则有： bb为a的一个因数(6)最小数原理：自然数集的任何非空子集，均有一个最小的自然数2、整数性质的应用：(1)若变量属于整数，则利用方程与不等式均可求出变量的值：在实数范围内，若要求得变量的值，通常要依赖方程，而不等式只能解得变量的范围 .但是在整数范围内，除了方程，在不等式中也可以利用整数的离散性求出变量的值(即性质(4),例如：若打£*="三(15)，则n的取值只能是3,4.所以在涉及求整数的值时，思路不要局限于寻找等量关系 ，构造不等关系依然可以求解.(2)整除问题：若表达式形式较为简单，可通

4、过对常数进行因数分解，进而确定变量的取值；若表达式次数较高，则可以先利用二项式定理去掉高次的项，再进行处理.(3)多元整数不定方程：当变量的值为整数时，不定方程的解可能有有限多组解.通常的处理方式有两个： 通过对表达式进行因式分解，对另一侧的常数进行因数分解 ，进而将不定方程拆成多个方程的方程组，进而解出变量将一个字母视为变量(其余视为参数)并进行参变分离，求出含变量函数的值域，进而将参数置于一个范围内，再利用整数离散性求得参数的值(4)反证法：运用反证法处理整数问题时，常见的矛盾有以下几点：所解得变量非整数，或不符合已知范围等式两侧为一奇一偶3、整数问题通常会与数列联系起 ，其特征就是数列中

5、项的序数，以及前n项和的项数，均为正整数.四、题型分析(一)利用整除性质aa 【例1】已知数列an的通项公式为an2n7,若为数列an中的项，则m am 2QjiAh+1 (2 冽7) I?用5 >【解析】 V-= 石二 ,an中的项为大于等于 5(45)的奇数，所以考虑将旦例皿廉ja 八am 2一7)(2m 5)2m 3) 4- Q Im 3) 2 I向奇数形式变形：88=+ -=2m-9+-,可得应该为大于等于 4的偶数，所以 4或2m 32m 38-58，斛得m 一(舍)或m 22m 32【答案】m 2(2m-7) (2m-5)【点评】（1）本题的亮点在于对13的变形，在有关整数的

6、问题里，通常可对分式进行“分离 常数”的变形，从而将复杂的分式简化 ，并能立刻找到需处理的部分 .例如在本题中通过“分离常数”可迅 速将目标锁定在一8上.2m 3（2）本题对一8的处理有多个角度，还可以从分母出发，观察到2m 3应为奇数，而 一8 Z,而8的2m 32m 3奇因数只有1和1,同样可确定m的值.【牛刀小试】【江苏省清江中学 2019届高三第二次教学质量调研】设数列;«的前”项的和为%且r =二后成等比数列.数列心满足比=42且对任意正整数（1）求数列如的通项公式.（2）证明数列a，j为等差数列.（3）令. 一人2%31问是否存在正整数 皿”,使得十5A成等比数列？若存在

7、，求出m.匕的值，若不存在，说明理由.【解析】（1）因为数列叫的前，项的和=/，n if U;当力二时，上式也成立，_2所以数列%的通项公式为%=s + i熊+5.（2）证明：因为对任意正整数 皆都有aJ也+1成等比数列,所以4几+.1=口，即/%,卜】=3，,L +201+ 3）所以， 两式相除得，对任意正整数17+2 n + 3当力为奇数时,y,所以%当力为偶数时,= 而比与二券，所以与=：所以：一所以 +】% =海+2)苧11)=?所以数列4J为等差数列.因为入吗”"2（六）-】所以=+ s = 2(m + 5) * 1 = 2m 4- 9G = 2/c-1因此存在正整数使得匚

8、寸JR十玉门成等比数列= （2沏 + 9产=（2m 1）（24 - 1）=2"1=经业2m-l50银招=m + 10 +2m- 1|因为m#都是正整数，则*1为25 ,即1,3,13时，对应的 = 61.23,25.所以存在展言或建言或忆聂使得”勺成等比数列.（二）不等式估值法【例2】【江苏省苏州市2019届高三上学期期末】定义：对于任意 m E M' , “ +” + ? 一 /,1仍为数列4中 的项，则称数列（为J为“回归数列”.（1）己知廿与=2"（以£寸），判断数列1%是否为“回归数列”，并说明理由；（2）若数列 %为“回归数列"，%=3

9、,% = %且对于任意"EN,均有与/十成立.求数列仍小的 V+3S*l-V_通项公式；求所有的正整数s, t,使得等式 卜7+35二1 成立.【答案】（1） 品不是“回归数列”，说明见解析（2）"，使得等式成立的所有的正整数s, £的值是s= 1, t = 3【分析】（1）假设同是“回归数列”，则对任意 崔不，总存在媚小，使+ i = "成立，列出方程即可求解。因为年九+1,所以A 卜，根据也为“回归数列"，得'、+ "”+尸砌7 ,可得以数列国）为等差数列，即可求解；由，二用,求得1 = 123,分类讨论，根据数列的单调性

10、，即可求解。+ 3S- 1【解析】(i)假设mj是“回归数列”则对任意噂际，总存在埃的，使'恤成立,日口*41- 2.刖.如 即3*2宜=*此时等式左边为奇数.右边为偶数，不成立，所以假设不成立所以%J不是“回归数列”；(2)因为"Ch”，所以防+产与+2，所以小且<感”又因为%；为“回归数列”，所以与"gL4”，即% + % 2 . 2% + J所以数列匐为等差数列.又因为% = $% = %所以n L '.3s +1 + - 1、-Zs2. * )34 4- sJ - 1庐+ 3"一因为.，-=瓦，所以犷+3'1t _ 3 =或口

11、q < (J因为可+兴”一，所以1塞？，又因为上整打*,所以£ = 123,当t =时，(.；式整理为3彳=0,不成立,当1 = 2时，(*；式整理为?制+ i8巳 N *)设汽飞,因为2ntl -n) + 33n + 1S =s无解时，> +1,因为N饕灯* ,所以s = 1综合所述，使得等式成立的所有的正整数s,的值是s=1, t=3.,=2斤+1【牛刀小试】已知 an为等差数列,前n项和为Sn,若+-(1)求 an（2）对m N ,将4中落入区间2m,2 m内项的个数记为bm求bm一 2 二7_ 1记“1 - 产J）. ， cm的前m项和记为Tm,是否存在m,t N

12、 ,使得五二% -771成立？若存在求出m,t的值；若不存在，请说明理由【解析】（1）设an的公差为d=4 1=4的 +6d =4（2©+d）生£=2& +1=/ +1；打一lid =2| 苗+1.2, 八 二 A = 2m -1解得：ai 1,d2以等式左右边的符号作为突破口（左边为正数），得到4二二1J2）!，则所解方程变形为：r I r = y，可考虑对m,t进行变量分离I，）4十,二”一,， 2/t 0,即t 1,2,3，然后代入t解出符合条件的m即可勺+1>012JQI - >0=4+4->0=1式123)2时，解得:1时,解得:1 1产

13、冽=1嗝产（舍）3时，解得:Q存在这样的m 3,满足所给方程t 3【点评】1、本题中的方程，并没有在一开始就将Tm代入，否则运算会复杂的多，所采取的策略为先化简变形，变形完成之后再代入.可简化不必要的运算2、本题在解m,t的不定方程所用的方法为变量分离法,将两个只含某一字母的式子用等号连接，则两边式子的范围应当一致.以其中一个式子作为突破口（比如-），再结合变量必须取整数的条件，便可用不等关2系将变量所能取的值确定下 （三）反证法【例3】已知数列an是等差数列，数列bn是等比数列，且对任意的n N ，都有：砧+&也=*产,若ai 8,则: （1）求数列an , bn的通项公式（2）试探

14、究：数列 bn中是否存在某一项，它可以表示为该数列中其它1 2）项的和？若存在请求出该项，若不存在，请说明理由（1）【解析】幽+地+L +他=小尹2+他+L +4/如=（内-1） 2可得：£3也=>= 5 + L）2 即“（用之 2）人 口吗4=1-24=6 = 2令n 1,则1令n 2,贝产也=3*=（马+<|%=相令n 3,则鼻为小?=（2+*"）3* 二 128|2(8 + £/)5 = 45所以有：2(8+2d) g =128，解得:/. ar - 4同 + 4也=2"JI.陨（2 ）【分析】首先要把命题翻译为等式，将其他r项可设为b

15、t1,bt2 ,L ,母，设存在某项bm ,则%=4+%+L +%=产=下+如旦+，设 u工（L1匚，则同除以2t1,就会出现左右两侧奇 偶不同，从而假设不成立 解：假设存在某项bm及数列中的其他r项鼻心工&（A J" <fJ2="+4+1+=y=+于+L +手，所以2仁于=厘”两边同时除以2ti可得：2*' =1 + 2+L +2"',左边为偶数，右边为奇数.所以等式不成立所以不存在这样的项【点评】（1）通过本题要学会如何表示数列中某一串项：如果是相邻项,则可表不为:，如果不一定相邻，则可用ti,t2L tr作角标，其中1,2,L

16、,r体现出这一串项所成数列中项的序数，而ti,t2L tr表示该项在原数列中的序数(2)本题还有一个矛盾点：题目中的 r项不一定为相邻项，但是可通过放缩将右边的项补全 ，变为从21 直加到2tr ，即2" +2与+L +乃eT+M+L +2则2出工2 + 2,+L +2'=产1一1，由整数性质可得,所以，与矛盾，所以不存在.【牛刀小试】【江苏省南京市13校2019届高三12月联合调研】已知数列为J的前有项和为5把满足条件的所有数列%构成的集合记为(1)若数列|回)通项为七 =:，求证： 巨M ;(2)若数列是等差数列，且1%+砌曰环，求2白5-%的取值范围；(3)若数列包/的

17、各项均为正数，且数列中是否存在无穷多项依次成等差数列，若存在，给 a出一个数列1。的通项；若不存在，说明理由.ii 1 - 店 【解析】(1)因为* = J，所以兀=？胭i =】-(/"，所以之1 7+8”=久/一工 V 戒一 1,所以小+ 1<1，即/wM.(2)设%的公差为d,因为kn+n§EM,所以在+2玄a一i J特别的当甘=1时，即d匕一i,d '+ "8"】n" + (ij - - d - -)n aa _ 1 > 0口 ，整理得331,因为上述不等式对一切n e N，恒成立，所以必有 于N %解得d2-1,又所

18、以 4=-1,+ 制-电-1 = °日口+DS-D" 4 7-)即, 所以省+1苴帆即%婚1,crn, -2C<ls-ai) + oi = 8rf+ tEi «-8 +%婚9 所以因此2白5 - %的取值范围是-%+）.（3）由得一一*空*,所以,'十1娥乂,即手工2,=红"九乂_K *1 < 20所以寅 为 九一，,而-$叶-x 2B二期m 2H从而有 +,又a-W网,所以人”二“工乱1 * 2工 如玄对黑长7缶> 3）,即又/ < Sj = aL x 2=t aj < ij x 2°t所以有/ f 尸&

19、#39;”）,所以染为2、*n i1r<假设数列 中存在无穷多项依次成等差数列，4不妨设该等差数列的第 拧项为d» +卜（为常数），(jTj-Lt 12>AX7m->-K in 则存在m E N, m > n,使得 一附 一 船 即,设，5)=木于n£N，n>3,rt+ l)z rtz 2 储1/则2 'J J- -52" "*" *?!+二b fCn + l)<fCn)Sf(3)=<l即33, 于是当n主3时，2小a成,d"M + b依 > n2 内'-datn -&l

20、t; 0从而有：当心3时1'，即11,n1 - datn- ba<Q于是当也2 3时，关于H的不等式有无穷多个解，显然不成立,4"因此数列:中是不存在无穷多项依次成等差数列0 ft（四）因式分解法【例4】.已知等爰数列也的公差d>Q.设立口的前沙项和为» I 4=1 ,.求，及&求e. Rm、氓M) 的值，使得/+H&Z +=65.【解析】<1)略(2)由(1)得% = ?*】：刈=/(小M)注、士 (2m + 左 _】)6 +1)/树=s收=4所以(2照+改-1)砧+1) = 65 ,由m, AeN知痴十 #-1之£+1

21、)1Ji 1P2什f +大 1 h 13 k f , 65=13x1x65 ,故5 所以,m,【点评】本题中将不定方程变形为。叽i)«i)二""，因为分解方式是唯一的，所以可以得到关于 的二元一次方程组求解.五、迁移运用1 .【江苏省镇江市2019届高三上学期期末】设数列 gj是各项均为正数的等比数列，«1 = 2 ,叼兔=八4 .数列W满足：对任意的正整数 n,都有 一,b ,'.(1)分别求数列4与的通项公式；3(1 -)(1 -)噎一(2)若不等式,4 的 工底"3-1对一切正整数n都成立，求实数位的取值范围；(3)已知己N

22、9;,对于数列bj,若在E与勾口之间插入九个2,得到一个新数列%.设数列的前m项的和为丁小试问：是否存在正整数 m,使得丁州= 2019 ?如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由.【解析】(1)因为%是等比数列，且各项均为正数，所以 % = % = "",解得啊=q,公比 M,所以，因为/ /与+,任u瓦=(用- 1)2 + 2所以一一一一两式相减，得蛛星=n - 2n(n > 2)因为当二I时,L 、 cr,u l d 出入、& 二WN")1%=2,所以% = 1,符合玛尸H,所以“七 丁；(2)因为冉所以当播时，原不等式成立,>+&q

23、uot;1 if 15 ri 1当位>Q叱原不等式可化为C",tn 姓程 + 1£1 - )(1 -(1 ).设XE 4里，则% >0则 MlMQ兴一»一? (一泰),%4 1 %/2m + 32n +1 所以,即数列KJ单调递减,所以1用二更，解得位V位 2jL F (co综上，(3)由题意可知，设 瓦在数列(cj中的项为勺，则由题意可知,t = 242工+-+印-1+=/+£ -2m二z +必所以当口 = 20,一2J + 1 + 2 十 一+匕=2*上+4一4时， 上 ，当上二9时,m = 29+9-2 = 29 + 7，第q2 J.

24、C 2_4 = 106S2019-1065 = 954 = 277所以当= 时，T, = 20192 .【江苏省盐城市、南京市2019届高三年级第一次模拟】已知数列 。力，其中空E*.若(叫满足质阴当q = 且电=1时，求%的值;若存在互不相等的正整数 E ,满足力=十 £,且白厂成等差数列，求"的值.(2)设数歹U |口的前项和为b，数歹UhJ的前n项和为。%二九十之-3, B E W ,若% =】2,且恒成立，求板的最小值.【解析】(1)由4 -生,里-%, & 一白】1，累加得q -S因,所以4-限r，见71,当g=i时，4月,满足题意；rc J-qX r当|

25、”1时，累加得外厂的，所以口广不一国若存在满足条件，化简得 时三y T,即士=r V -=2，此时g = l (舍去)综上所述，符合条件 忖的值为1/ q匚=-3,理已、* 匚1=占14-3 由三小工r/日匕z=%、+b，7.c = l.c.=4(2)由底惶r可知一 ,两式作差可得：1n,又由. 可知0 = 也='故与=4+外，所以= 'a +限对一切的打亡.恒成立对鼠=K +如，如=%+力两式进行作差可得'+%】,又由£ = 4也=7可知叼=3=3 ,故屋二喂石 (灯诩又由人小冏一"人+"了一门】Qz +口包)=Qi+%广-7 (4 +%

26、i)二一%十44*:"左，所以,上厂一%!口1卜鼠；一 口必+J ,所以当也“时I s I - %口小二1= 5 ,当月=1时"-4"忡：=,故左的最小值为53.【江苏省扬州中学 2019届高三上学期12月月考】已知数列 佃口的前打项和为配一且满足L=Z%-2；数7 b列的的前|n项和为限,且满足比=1, % = 2“ 一 =(1)求数列|14的通项公式；(2)求数列九的通项公式；% + b收 + 1(3)是否存在正整数n,使得''恰为数列%中的一项？若存在，求满足要求的那几项；若不存在，% - 即 + L说明理由.【解析】(1)由 S = 2an

27、2,则当 n>2 时，S，1 = 2an 1-2,两式相减得：an= 2an - 2an 1 ,则 an = 2an- 1 ,由 S = 2a1 2,则 a1= 2,.数列an是以2为首项，2为公比的等比数列，则 an=2n,(2)由;=7- b b以上各式相乘，=, ，则2Tn= bnbn+1,* n+ 1H + 1% + 2当 n>2 时，2Tn1= bnibn ,两式相减得：2bn=bn (加+1- bn-1),即 bn+L 3-1=2,数列bn的奇数项，偶数项分别成等差数列，J瓦由=一,则 b3= T> = bi+b2= 3, b+b3 = 2b2,72 %数列bn是

28、以bi= 1为首项，1为公差的等差数列，数列bn的通项公式bn=n；"it + 1(3)当n= 1时，无意义，an n +1 |12" +n十1设 cn =7= , T，(n>2, nCN*),% - % r2h - ( m + 1 j则 Cn+1-Cn- - - - - -'- . ' 0即 Cn > Cn+1 > 1 ,显然 2n+n+1>2n ( n+1),则 C2=7>C3= 3>a>>1,存在 n = 2,使得 b7=C2, b3=C3,20 + n + 1下面证明不存在 C2 = 2,否则，Cn=

29、2,即2n=3 (n+1),2H S+ 1)此时右边为3的倍数，而2n不可能是3的倍数，故该不等式成立，综上，满足要求的 bn为b3, b7.4 .【江苏省南通市2019届高三年级阶段性学情联合调研】已知正项等比数列4的前门项和为队包它珅Lr4一. 门",T L瓦=5+ 1)北+士必(齐E评”)且也二口之+ 2,叼11 = 1&。数列%的刖n|项和为q,且2。 求数列的通项公式及其前口.项和工；(2)证明数列 也;为等差数列，并求出 向)的通项公式；s口占一1(3)设数列71乙18千3锚,问是否存在正整数 mtnfl使得加。巴成等差数列，若存在，求 出所有满足要求的若不存在，

30、请说明理由。【解析】(1)设正项等比数列 的公比为>3,则由的,他=16得舄=16,从而=3 = 4,又由为=的+ 2得的二斗，因此,所以art - 口四2rt(2)方法一：因为n(n + 1)"n -= 5+1)丁并 +2,所以从而数列是以=1为首项，为公差的等差数列，故"卢1)尹7Tn =+ 1)当1r噱:'时,从而当网期时，"-4一1 = 1为常数，所以，数列 他J为等差数列。方法二：因为.：n(n + 1)? ，n(n + 11所以，当ME?时，有5丁广打1+2两式相减得：又由h=L*+1 = 5 + 1汽+n(n 1)| T得所以，数列%为

31、等差数歹U。皿 _ 那 _ 52 _ 12 因为供子以讨好初幻-it+2ft + 1 ,所以.一-一 假设存在存在正整数 m.%1 (m V M C I),使得Cm，。七成等差数列，则2,即7nfr(3 <7nr <n'< f)2nr R二二曲之 3m m W)2 -一 +令此eL'则原问题等价于存在正整数，使得.斯 ，丁成立。,1”因为4 产0 1-1次* 1)- - >0n(Ji + 1)(因为也髭?)，故数列4单调递增,若一 三2,即立篦'+ 2,则如之dn,-= d + dfn m I* = ±>2,即+>叫；，而7

32、L>2 3蜡11因此，d这与d，AO恒成立矛盾，故只能有 mm1从而2 2rj + 1募十777，故南._而而,即it (n + i) (*)一普+ 1 上若m为奇数，则记t =从而再办-)» + 1 - m网茎 3Mt踞)二加 a 3 n E jV*)r因为数列单调递增，所以数列 八一,'单调递减，故当E24时，, 玉旦,211 于132而2.百用3故【楚境，因此，(*)式无正整数解。序r = U - 2 病 T若丹为偶数，则记» = -.,即”，同理可得(*)无正整数解。2« +1 - m综上，不存在存在正整数“球(运)，使得c产j成等差数列，也

33、即不存在正整数mg使得hM内成等差数列。5.【江苏省南京市六校联合体2019届高三12月联考】已知数列an各项均不相同，ai=1,定义髓n ' '"此，其中n, e N*.(1)若 K C1) =71,求配；(2)若b+i() = 2bn()对A=L2均成立，数列an的前n项和为S.(i )求数列an的通项公式;(ii )若，t C M,且S, S-S, S S成等比数列，求和t的值.bf- fl) = (Th - =兀【解析】(1)因为"'"，所以1+2+3 + 4=10所以口 5 二-9(2) (i )因为 bn+1() =2bn(),

34、得%+= 2 f-c 口汽+3 + fln+s = 2 % + 口 叶露=2,由得+得71+1+得%+1=2%,又 = 1丈0,所以数列K%是以1为首项，2为公比的等比数歹U,所以4 =L(ii )由(i )可知 $=2n1.因为Si, S- S, S S成等比数列，所以(S S)2=S(S S),即(22)2= 2t2,所以 2t=(2)23 2+4,即 2t 2= (2 1)2- 3 2 2+ 1(*)由于S- SW0,所以w 1,即2.当=2 时，2t = 8,得 t = 3.当A3时，由(*),得(2 123 2一2+1为奇数，所以t2= 0,即t = 2,代入(*)得2"2

35、 3 2 2= 0,即2=3,此时无正整数解.综上，=2, t = 3.6.【江苏省盐城市2019届高三第一学期期中】已知正项数列的首项片=1 ,前n项和又满足(1)求数列叫的通项公式;(2)若数列几是公比为4的等比数列，且卜1-"工，片一%也是等比数列，若数列号芋单调递增,求实数位的取值范围;(3)若数列也J、%都是等比数列，且满足 “ =与-口/，试证明 【解析】(1)4+ %=2刃，故当:n呢?时期一编7 ,数列4中只存在三项.两式做差得IB - 1由S3为正项数列知，册，-1 二 1,即为等差数列，故外二也"d0 =也1)。岛广同(2)由题意，,化简得所以On+A

36、所以.Oh-l+A On-bA n+l+A tttJl口如+工+心7山十国 s e -J'由题意知Sr-1 5t f r wqFT4*1。恒成立，即：犯I - 3位恒成立，所以|1 - 3位< 3 ,解得懂b - /)fl c - cu2。(3)不妨设伍超过？项，令R尸口 f ,由题意则有 即2(乩+ L *|)=1几-7 )4传田-*工)(*),带入"加工尸仁可得加%一)、中产 若p=4 二1则兀-7 = b-c,即(4为常数数列，与条件矛盾；若口手Lq工1,令也=L得如(P- if二/9 TW,令也=乙得bF3T)'4(q T，两式作商，可得/ = q ,

37、带入(*)得|b = c,即/为常数数列，与条件矛盾，故这样的，只有3项.7.【江苏省徐州市2019届高三上学期期中】已知数列 S"各项均为正数，口1 = 1 ,% = 3 ,且% 4%+广 i + % + ?对任意尼三西,恒成立.(1)若% =4求女的值；(2)若修=4(i)求证：数列M”)是等差数列；(ii )在数列%)中，对任意范,总存在gltW#*,(其 中使/为卢)构成等比数列，求出符合条件的一组 (印制【解析】(1)令数列弧为“ ”一4L 十三 +1=%何 + %+/0%+2 = % = 4过曰=2_勺% + / + % = 7,一1，所以九二，n%饪二%mi. = 2

38、n (2k-1)(24 +1),.，+口(2) .'/2rt+1 k 八 ，假设一奇数使得：2m -1 = p(2n - 1) 2k - 1 =pi(2n - 1) > 2m - 1.*>m, .-. p2 >p综合得：可构造一组解为(mM=1z + LyF/n? + LqE, p=万+ 1 , E已"* .8 .【江苏省苏州市高三调研测试】已知各项是正数的数列MJ的前n项和为&.£+2个(1)若5“+,7 = (n N*, n>2),且=2.求数列3,J的通项公式；若.一对任意打翼灯*恒成立，求实数位:的取值范围；(2)数列%1是公

39、比为q (q>0, q 1)的等比数列，且an的前n项积为“J.若存在正整数，对任意供十t)Rn N*,使得 下 为定值，求首项0 1的值. kn【解析】（1）当力时，由加,4 ；+ 2则.两式相减得。一一%=；（/： I-吟，即/十询=3,仃艇?t ,屏 + 2 曰 aj -3u, -10 = 0当小二2时，力十四工+勺=,即 - 一,3解得%=5或啊=- 2 （舍）， 所以口2-町=3,即数列%J为等差数列，且首项“尸可所以数列%）的通项公式为% = 3律-1.由知,% = 3n - 1,所以；_ JHZ+W由题意可得"一a"1 一必”对一切rt崟灯*恒成立,、3

40、/+ h3（n-l）3（n- 1）记j二百S，则匚=2，脸?，-3代工十1H-4所以0.%-!=+，曦九当力4时，/c,当打=4时， = £ 且弋=称，勺=1 ci lbluU所以当 =3时，* =取得最大值温，所以实数位的取值范围为言+.?_Ct,支个,工1 flr = 10%（2）由题意，设 =3 口国手1）,-,“，两边取常用对数,1 =她¥1眄+瓯“工 省/ 讯目4+ 31-M令，则数列是以4为首项，®q为公差的等m、1 1 片+弋碰凿EEF一TT依防汽31_ ' .kl®?生来（比 +/士 A+ l）n ，宙 |-trr一二N差数列，右

41、为7E值，令 =消,则用。叫十一：1 口%Th即一-二0对rr嬖灯*恒成立,(0t+ I)1 - jzft3 = 0因为q > &,q丰i ,问题等价于1<A + 1) 一世上二。且E J二q皆1 =博代入 因为L里上J,所以必0包于1,an的前n项和为Sn,且满足a1 a (其 bn满足4三得卢).所以uj = q,又>0,故 =出9 .【江苏省常州高三上学期期末】已知各项均为正数的无穷数列 於j=5 + 1电+小+1)中a为常数)，nN.数列*.中总存在两个不同的项bs, bts,t N 使(1)证明数列 an是等差数列，并求出an的通项公式；(2)若无穷等比数列

42、g满足：对任意的n N*,数列bn得bs Cn bt,求cn的公比q .【解析】(i)方法一：因为 咚小+1)，所以(升1)% =("331)("2)，由-得，(/甫+2葭-,+1电+ 2 (秣+1),即("1)$一=(%+2)$4-1"1电斗乂”1),又1 0,则*一二工$田2 ,即喂二%十？.广电7 =(符+ 1电+畀(存+】)小人 “曰口甘竹二加十2在a1 1 ，制 1 j中令n 1得，即a2 a1 2.综上，对任意n N*,都有一一% = 2 ,故数列 an是以2为公差的等差数列.=2月一 2 + 口 又a1 a ,则军方法二：因为，所以也+ 1

43、1"，又§a1 a,S则数列 是以a为首项，1为公差的等差数列， n因此*=弱-1+口，即 Z = " +(。-1)匕 n,a =S Sr T = 2w-2+a-,当n 2时，1 Qi，又a1 a也符合上式，= 2打一2 +加打wN= 故对任意n N*,都有 z * 一 ，即数列an是以2为公差的等差数列.e+ <1+-(2)令“ q 2打一二*口，则数列en是递减数列，所以 听 立考察函数k"不工 >】)，因为工1 一1，所以y x 1在1, 上递增，因此x2<er + <244/口 (口 十二)，从而-.因为对任意n N*,总

44、存在数列bn中的两个不同项bs, bt,使得bsCnbt,所以对任意的n N都有4a( a+2)，明显q 0.若q 1,当履之"I啊卜4Al时,有一一 .,：二,舍去;若0 q 1,当打之1+1.a' +2u t/+2i + 2 时,，十斗a(a+2)丁 0 ,不符合题意,舍去;10 .【江苏省镇江市高三上学期期末】已知数列an的前n项和Sn,对任意正整数n，总存在正数p,q, r使n 1n得an p , Sn q r恒成立:数列 bn的前n项和Tn ,且对任意正整数n , 2Tn nbn恒成立.(1)求常数p,q,r的值;(2)证明数列 bn为等差数列;n 2n+ b. 2

45、町 + & 2n2m 4-2篦+瓦F L +* +2. +e工 +±(3)若b12,记”-%204%3% 产豆，是否存在正整数k,使得对任意正整数n , Pnk恒成立，若存在，求正整数k的最小值，若不存在，请说明理由.【解析】(1) Sn qn r-得：SjS-LgM-g即4 =/-g： n 2又an pP =? -5n 2时，p q2 q； n 3时， 一 . p,q为正数 p q 2.又, a1 1, S| q r , JU a G r 1.（2） 2Tn nbn.Tn 2 时，。&=（"一1）如，-得：地=也-（”1）如，即（."2也=伊-1

46、）如，又.S-l也A=叫+得（a-2）瓦=（"1）岫+5-1）5即陶=如+如 bn为等差数列.（3） 匕0, b2 2,由（2）知bn为等差数列.bn 2n 2.又由（1）知an 2n 1,_ _2n4 24«-4 4n-2. 一_ 一，一一 _ 一 一 一 , 2n + 2 寸 4n- 4 4m-2 4n4M+ 2又 -2154jt4n+212ji + 2-4r. 6n M 今1,2亡.=3 +二M4,解得n 1,InPn04*2 P,1 n 2时，2n 4， 3 4 2n6 片+1 即5+ 2 4*220 上 > 于 + =,2« In此时 Pni Pn

47、,即 PCyL,若存在正整数k ,使得对任意正整数n, Pn k恒成立，则k之心拉=3， ，正整数k的最小值为4.11 .【江苏省南通市高三上学期第一次调研】 若数列an同时满足：对于任意的正整数 n, aa i an恒成 立；对于给定的正整数 k, 1 F"=况对于任意白正整数n(n k)恒成立，则称数列an是“ R k 数列”.知-2,欣)奇数(1)已知“ 7 2%制为偶数二 判断数列an是否为“ R 2数列”，并说明理由；(2)已知数列bn是“R3数列”，且存在整数p(p 1),使得b3P 3, b3p 1 , b3p 1, b3p 3成等差数列，证明：bn是等差数列.【解析】

48、(1)当n为奇数时，吁1)= 3>° ,所以an 1队aA-2 十口计二21 打一2|-1+工(订+ 2 -1= 2 2也- 11 = 24 .当n为偶数时，见厂4=(%+ 1)一而=1>°,所以an 1 an.口虎一工十 口计二 2 (内一 2)+ 2 (川 + 2)= 4内=2ar所以，数列an是“ R 2数列”.(2)由题意可得：如十%二地，则数列b，b4, b7,是等差数列，设其公差为d1,数列b2, b3, b8,是等差数列，设其公差为d2,数列b3, b6, b9,是等差数列，设其公差为d3.因为bn bn i,所以务畔1 "瓦"

49、T ,所以：,所以心L汕-与,以心-办）工dF+%. 一 一bi b2 . _ .右d2 di 0,则当n ;-时，不成立；d2 d1片下 出色1色若d2 di 0,则当*时，不成立；若d2 di 0,则和都成立，所以di d2.同理得：di d3,所以di d2 d3,记4=心 = 4-*.设二：一 一、，.- 一 一 一 ,则 -'.'-'-1二可串一飞-i+d = &一汽 .同理可得：限-& = %- % = d-大，所以晨4 =一丈.所以bn是等差数列.【另解二.二二 二i 一一冗-4户= 4+pd-b2 +（p_i）aj =一十壮 ,人=区大三

50、一方汕口=& +广,一也+pd J = & _ 4 ,以上三式相加可得：3 2d ,所以 2d,3所以,， 一 一一-，.3莅小=% +（产- 1）目=庆 + 4一木+（mT），=iT+（3n-l-l） ,与久=& + m-I）d =瓦+鼻+（卸-1）4=4+（沏_）g ,dd所以4 = 4+值-1）工，所以1-4=，JJ所以，数列bn是等差数列. 312 .【江苏省南通市如皋中学2019-2020学年第一学期高三第二次阶段测试】已知数列an的首项a1 -51为等比数列;求证：数列 一 1an(2)、Z = IhL记十£若Sn<100,求最大正整数n；(

51、3)是否存在互不相等的正整数m s,n,使ms, n成等差数列，且am1,as 1,an 1成等比数列？如果存在请给以证明；如果不存在，请说明理由.一，*(1)因为=+，所以；.又因为一一1w0,所以一一1w0( nC N).Jrt科所以数列为等比数列.由可得'146)”1,所以>2£)+1.Sn= -1- -F + = n+ 2 痴 痴独若S<100，则n+1 ,<100,因为函数y= n +1上单调增，所以最大正整数 n的值为99.假设存在，则 m4 n = 2s,( ami 1)( an 1) = ( as 1),因为an=H；-7,所以qJ T4 V

52、J P化简得 3m+ 3n=2 3 s,因为 3m+ 3n>2 =2 3 s,当且仅当m= n时等号，又m s, n互不相等，所以不存在.13 .【江苏省徐州市铜山中学高三第一学期期中】已知数列an的前n项和为Sn,满足Sn 2an 1 ,*, 件匕。一X +1)4=对冲+11n N ,数列bn满足 I ,1，n N，且bi1.(1)求数列 an和bn的通项公式; 若 W五,数列Cn的前n项和为Tn,对任意的，都有Tn nSn a,求实数a的取值范围.若不存在（3）是否存在正正数 m,n,使马 46 = 1）成等差数列？若存在，求出所有满足条件的 m,n； 请说明理由.【解析】（1）当n

53、=1时，W-E,所以a=1.Q = % -1当 n 2 时，Sn 2an 1, 近一 餐皿,an两式相减得an 2ani,又ai=1,所以2,an 1从而数列 an为首项a1 = 1,公比q=2的等比数列n 1从而数列 an的通项公式为an 2.由见1-|>1地=小-1）两边同除以n n 1，得如一%=1, 总+1 nbb从而数列 为首项bi 1,公差d 1的等差数列，所以二n ,nn2从而数列bn的通项公式为bnn(2)由(1)得 J = %匹=小2+1于是. 一 一-,2r =1x2-2x2;+3x2- +L +5-1)黑2*二千”2 月 所以 工./口 -71 = 12 + 2" +L _21_”2'二_程工2人两式相减得_ .所以一 一二，由（1）得一，4,*因为对 n N，都有TnnSn a,即'） 恒成立，ii 2 M 1所以恒成立，4 = 2比-网-1记.，所以adn min因为弘4应=23-（刘+1）-1-（三-总-1）2n 1 0,从而数列dn为递增数列所以当n=1时，dn取最小值di=0，于是a 0.（3）假设