实变函数教案ch10附录介绍

1、第十章 附 录§10.1. R中Lebesgue测度的平移不变性及Lebesgue不可测集定义1设，称 为E关于y的平移引理1设，则 成立：(1) ； (2) ； (3) ( 据，10题 ) (证略)定理1. (测度的平移不变性) 若E可测，则也可测，且 证：由， 11题知，E可测可测， 且 Zermelo选择公理对于集族，若每个，则 ，可选取元素 Lebesgue不可测集的构造：，记 结论：(i) 且 (ii) 当 当 ，可取 ，则 矛盾 对上的集族，每个非空，可取，得集合下证F是不可测集为此，记 ，(iii) 若 则 假设 满足 从而 ，且不为0，于是，这样，包含两个不同的点和，

2、与F的取法矛盾(iv) 显然， ，设 ，则 由于 从而 有了以上准备，易证明F的不可测性反证法假设F可测，则也可测，且但 互不相交，故 ， 即 是常数，这不可能成立所以，F 不可测§10.2 有界变差函数与绝对连续函数定义. 实函数， 的分划， 记 ， 称 为 f 在分划下对应的变差若 ，则称为上的有界变差函数，记 ；称 为在上的全变差；称 ， 为的全变差函数定义. 实函数若对于上任意有限个互不相交的开区间，当 时，有 ，称为上的绝对连续函数(或全连续函数)定义. 设 ， 称 ， 为 f 的一个不定积分（书上错）定理10.2.1. (1) 若，则 有 ； 若 使得且，则 ，且有 ，(

3、2) , (3) 若， 则 ， 且 ， ； ， ； ， ，其中分别为在上的界说明是一个线性空间(4) 若为上的有界单调函数，则 ， 且 .(5) 若， 则与具有相同的左、右连续点.(6)（Jordan分解）若，则存在上的两个单增函数，满足 定理.( 以下函数的定义域均为 )(1) 绝对连续函数必为一致连续函数；(2) 绝对连续函数必为有界变差函数；(3) 满足Lipschite条件的函数必为绝对连续函数；(4) L可积函数的不定积分为绝对连续函数，且；(5) 绝对连续函数的线性组合与乘积为绝对连续函数；(6) 绝对连续函数的全变差函数为绝对连续函数；(7) 绝对连续函数必可分解为两个单增的绝对

4、连续函数之差引理1. (略)引理2. R上的有限值单调函数关于 可导定理.设为上的有界单增函数，在的导数不存在的点x 处规定为任一值，则，且 推论若或绝对连续函数， 则 f 在上 存在有限导数 若在 不存在的点处规定 为任一值， 则 引理3. 若为上的绝对连续函数，且， 于， 则为常值函数定理.(微积分基本定理)为上的绝对连续函数的充要条件是， 满足 ； 而且 于 推论连续函数，对应的有限广义测度为，则为上的绝对连续函数 §10.3 RiemannStieltjes 积分定义 设为上的单增函数，对应于的每个分划 ，记 设 f 在上的有界实函数， 分别称为 f 关于与的Darboux

5、上、下和，其中 ，记 ， 若 ，称之为在上关于的 RiemannStieltjes 积分，并称在上关于 RS 可积，记为定理. 的充要条件是，分划，使得 定理10.3.2. 若,则；并且，对于,对的任一分划，以及在分划下的任一介点集 （其中 ）， 均有 定理. 设为上的有界单调函数，为上的有界单增连续函数，则 定理.（RS 积分的基本性质）(1) 若 ， 并且(2) 若 ，为常数，则， 并且 说明 是一个线性空间(3) 若 ， 则 (4) 若 ，则 ，并且 (5) 若 ，则 ， 并且 (6) 若 ，为正常数，则， 并且 定理. 设 ， ，则（与的复合函数）定理. 若 ，那么：(1) ；(2)

6、，且 定义 设为上的有界函数，为上的有界单增函数对应于的任一分划 ，任取介点集 ，作和 ，称它为关于与的RiemannStieltjes 积分和设 A为实常数，若 ，对于任一分划以及介点集，只要 ，就有 ，则记作 定理. 若与有公共的间断点，则 不存在定理. (1) 若 存在，则 ，且 (2) 若 (a) ，或(b) ，且在上连续单增，则上式成立定义 ，Jordan分解 若积分 ，存在，定义 注在下述两种情形下，则上述积分必存在：(A) ，；(B) ，且 定理. 设，满足上述注的(A) 或(B)，为在上的全变差函数，则 定理. 设，则 （分部积分法）定理. 若，为上有界单增函数， 则 满足定理. 若在上单调， 且 ， 则 使得定理. 若，为严格增加函数， 是的反函数，记 则 （换元积分法）定理10.3.14. 若，则，且 定理. 设，为在上的全变差函数 定义， 那么：(1) ，且 ；(2) ； ；(3) 定理. 设在上有界，为上有界单增函数，则以下三条等价：(1) (2) 存在