[高考数学知识点]对称问题分类探析

1、 高考数学知识点 对称问题分类探析对称问题是高中数学的重要内容之一，在高考数学试题中常出现一些构思新颖解法灵活的对称问题，为使对称问题的知识系统化，本文特作以下归纳。一、点关于已知点或已知直线对称点问题1、设点P(x, y)关于点(a, b)对称点为P(x, y),x=2a-x由中点坐标公式可得：y=2b-y2、点P(x, y)关于直线L: Ax+By+C=O 的对称点为x=x-(Ax+By+C)P(x, y)则y=y-(AX+BY+C)事实上：:PPLPP的中点在直线L上，可得：Ax+By=-Ax-By-2C解此方程组可得结论。(-)=-1(B0)特别地，点P(x, y)关于1 、 x 轴和

2、 y 轴的对称点分别为(x， -y) 和 (-x， y)2、直线x=a和y=a的对标点分别为(2a-x , y)和(x, 2a-y)3、直线y=x和y=-x的对称点分别为(y, x)和(-y , -x)例 1 光线从 A(3， 4)发出后经过直线x-2y=0 反射，再经过y 轴反射，反射光线经过点B(1 ， 5)，求射入y 轴后的反射线所在的直线方程。解：如图，由公式可求得A 关于直线x-2y=0 的对称点A（5 ， 0）， B 关于 y 轴对称点B 为 （-1 ， 5），直线 AB 的方程为5x+6y-25=0、C（0,）、直线BC的方程为：5x-6y+25=0二、曲线关于已知点或已知直线的

3、对称曲线问题求已知曲线F（x， y）=0 关于已知点或已知直线的对称曲线方程时，只须将曲线F（x, y）=O上任意一点（x, y）关于已知点或已知直线的对称点的坐标替换方程F（x， y）=0 中相应的作称即得，由此我们得出以下结论。1、曲线F（x, y）=0关于点（a, b）的对称曲线的方程是F（2a-x , 2b-y）=02、曲线F（x， y）=0 关于直线Ax+By+C=0 对称的曲线方程是F（x-（Ax+By+C） ， y-（Ax+By+C）=0特别地，曲线F（x， y）=0 关于（1）x 轴和 y 轴对称的曲线方程分别是F（x， -y） 和 F（-x， y）=0（2）关于直线x=a 和

4、 y=a 对称的曲线方程分别是F（2a-x， y）=0和F（x， 2a-y）=0（3）关于直线y=x 和 y=-x 对称的曲线方程分别是F（y， x）=0 和F（-y， -x）=0除此以外还有以下两个结论：对函数y=f（x） 的图象而言，去掉y轴左边图象，保留y 轴右边的图象，并作关于y 轴的对称图象得到y=f(|x|) 的图象 ;保留 x 轴上方图象，将x 轴下方图象翻折上去得到y=|f(x)| 的图象。例 2(全国高考试题)设曲线 C 的方程是y=x3-x 。将 C 沿 x 轴 y轴正向分别平行移动t, s单位长度后得曲线C1:1) 写出曲线C1 的方程2)证明曲线C与C1关于点A(,)对

5、称。(1)解知 C1 的方程为y=(x-t)3-(x-t)+s(2)证明在曲线C上任取一点B(a, b),设B1(a1, b1)是B关于A 的对称点，由a=t-a1 ， b=s-b1 ，代入 C 的方程得：s-b1=(t-a1)3-(t-a1)b1=(a1-t)3-(a1-t)+sB1(a1 , b1)满足C1的方程B1在曲线C1上，反之易证在曲线 C1上的点关于点A的对称点在曲线C 上、曲线C和C1关于a对称我们用前面的结论来证：点P(x, y)关于A的对称点为P1(t-x,s-y) ，为了求得C 关于A 的对称曲线我们将其坐标代入C 的方程，得： s-y=(t-x)3-(t-x)y=(x-

6、t)3-(x-t)+s此即为C1的方程，C关于A的对称曲线即为C1。三、曲线本身的对称问题曲线 F(x， y)=0 为 (中心或轴)对称曲线的充要条件是曲线F(x，y)=0上任意一点P(x, y)(关于对称中心或对称轴)的对称点的坐标替换曲线方程中相应的坐标后方程不变。例如抛物线y2=-8x上任一点p(x , y)与x轴即y=0的对称点 p(x，-y),其坐标也满足方程y2=-8x , y2=-8x关于x轴对称。例 3 方程 xy2-x2y=2x 所表示的曲线：A、关于y轴对称B、关于直线x+y=0对称C、关于原点对称D、关于直线x-y=0对称解：在方程中以-x换x,同时以-y换y得(-x)(

7、-y)2-(-x)2(-y)=-2x ，即 xy2-x2y=2x 方程不变、曲线关于原点对称。函数图象本身关于直线和点的对称问题我们有如下几个重要结论：1 、 函数 f(x) 定义线为R， a 为常数， 若对任意xR， 均有 f(a+x)=f(a-x),则y=f(x)的图象关于x=a对称。这是因为a+x 和 a-x 这两点分别列于a 的左右两边并关于a 对称，且其函数值相等，说明这两点关于直线x=a 对称，由x 的任意性可得结论。例如对于f(x)若tR均有f(2+t尸f(2-t)则f(x)图象关于x=2对称。若将条件改为f(1+t)=f(3-t) 或 f(t)=f(4-t) 结论又如何呢?第一

8、式中令t=1+m 则 得 f(2+m)=f(2-m); 第 二 式 中 令 t=2+m ， 也 得f(2+m)=f(2-m) ，所以仍有同样结论即关于x=2 对称，由此我们得出以下的更一般的结论：2、函数f(x)定义域为 R, a、b为常数，若对任意xR均有f(a+x)=f(b-x) ，则其图象关于直线x= 对称。我们再来探讨以下问题：若将条件改为f(2+t)=-f(2-t) 结论又如何呢?试想如果2 改成 0 的话得 f(t)=-f(t) 这是奇函数，图象关于(0，0)成中心对称，现在是f(2+t)=-f(2-t) 造成了平移，由此我们猜想，图象关于M(2 ， 0)成中心对称。如图，取点A(2+t ， f(2+t) 其关于M(2 ， 0)的对称点为A(2-x ， -f(2+x)-f(2+X)=f(2-x)A的坐标为(2-x , f(2-x)显然在图象上图象关于M(2 , 0)成中心对称。若将条件改为f(x)=-f(4-x) 结论一样，推广至一般可得以下重要结论：3、f(X)定义域为R, a、b为常