(完整版)高三数学综合练习三(带详细答案)

1、综合练习三.选择题（共12小题）1 .设 A=x £ Z|x|< B=y|y=x 2+1 , x C A,则 B 的元素个数是()A. 5 B. 4 C. 3 D. 22.已知复数z的模为2,则忆-i|的最大值为（）A. 1 B. 2 C.诋 D. 33.某单位为了了解办公楼用电量y （度）与气温x （C）之间的关系，随机统计了四个工作用电量与当天平均气温,并制作了对照表:气温（C）18用电量（度）241334103864由表中数据得到线性回归方程y= - 2x+a ,当气温为-4 c时，预测用电量为（）A. 68 度 B. 52 度 C. 12 度 D . 28 度4 .有三

2、对师徒共6个人，站成一排照相，每对师徒相邻的站法共有（）A. 72 B. 54 C. 48 D. 85.已知向量,为非零向量,G-2E）_LE，则%, E夹角为（A.B.C.-D.6 .已知函数 f (x) =|lgx| , a>b>0, f (a) =fA. 2|V2 B, VS C. 2+73 D. 2日7 .执行如图所示的程序框图，输出的 z值为(（b）,则5+?的最小值等于（ a - b)A. 3 B. 4 C. 5 D. 68 .如图，网格纸上小正方形的边长为1 ,粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面中，面积最大的是（）A. 8 B. W5 C. 12 D.

3、169 .设f (x) =2+5x+10x 2+10x 3+5x4+x5,则其反函数的解析式为()A尸L+ 如 - 1 B尸1 一 用工- 1| C y= - L+ 迫 - 1 D - y= - L -"工- 1v- 110 .已知函数f (x)='，若g (x) =f (x) - a (x+2 )的图象与x轴有3个不同的交点,Lln (及+2) 则实数a的取值范围是（）A. (0,B. (0,1 C.山，工) D.工)e- 13e 2 e|33 曰? n e N*恒成立，则正整11 .在等差数列an中，a2=5 , a6=21 ,记数列小的前n项和为Sn, 若 S2n+1

4、-Sn7,/115数m的最小值为（）A. 3 B. 4 C. 5 D. 622F1, F2,若椭圆C上恰好有6个不同的点P,使得FiF2P为12 .椭圆口 三十。1 Ca>b>0）的左右焦点分别为 / b2等腰三角形，则椭圆 C的离心率的取值范围是（）A. g,弓）B.弓 , 1）C. 4 1） D,2,U（£，1）二.填空题（共4小题）13 .抛物线y2=12x的焦点为F,点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当 FPM；等边三角形时，则4 FPM 的外接圆的方程为.Qi -+ a3+ ic14 .设（3x - 2） 6=a o+a 1 （2x - 1） +a 2

5、 （ 2x T ） 2+a6 （2x T ） 6,贝U=.0口4 a2f%15 .若直线y=x+b与曲线厂射1 -12有公共,自，则b的取值范围为 .16 .已知 tan(a 3)= , tan 3=，且 a,3C( 兀，0),贝 U tan (2a 3=,2a 3 =27 三.解答题(共7小题)17 .在数列an中，ai=2 , an+1 =4a n 3n+1 , nCN*(1)证明数列an-n为等比数列(2)求数列an的前n项和Sn.18 . AB件,D是BC上的点，AD平分/ BAC,ABD面积是 ADC积的2倍.(1)求sinZC(2)若 AD=1 , DC=上2求BD和AC的长.19

6、 . ( 2015?重庆)端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有 10个粽子，其中豆沙粽 2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个.(I )求三种粽子各取到 1个的概率；(II)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望.20 .如图，在四棱锥 P ABCD 中， AB± PA, AB/ CD, JPB=BC=BD= & , CD=2AB=2 迎，/ PAD=120 E 和F分别是棱CD和PC的中点.(1)求证：平面 BEF，平面PCD ;21 .已知椭圆C: J工 a2 b(2)求直线PD与平面PBC所成的角的正弦值.=1 (a>

7、b>0)的离心率为,长轴长为等于圆 R: x2+ (y-2) 2=4的直径，过点 P (0,1)的直线与椭圆 C交于两点A, B,与圆R交于两点M, N(I )求椭圆C的方程；(n )求证：直线 RA , RB的斜率之和等于零；(出)求 |AB|?|MN|的取值范围.22 .设函数 f (x) =e mx+x 2 - mx .(1)证明：f (x)在(-8, 0)单调递减，在(0, +8)单调递增;(2)若对于任意 xi, x2 e - 1,1,都有|f (xi) - f (x2)| < el-,求m的取值范围.23 .在直角坐标系xOy中，曲线Ci :尸 tsin口(t为参数，t

8、壬嗔中0W “ W兀，在此为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2： p=2sin C3： p =23cos 0 .(1)求C2与C3交点的直角坐标;(2)若C1与C2相交于点A, C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.2016年05月27日综合练习三参考答案与试题解析一.选择题（共12小题）1 . （ 2016?南昌校级二模）设 A=x Z|x|< B=y|y=x 2+1 , x C A,则 B 的元素个数是（）A. 5 B. 4 C. 3 D. 2【考点】集合的表示法；元素与集合关系的判断.【专题】计算题.【分析】将B用列举法表示后，作出判断.【解答 解：A=x Z|x|

9、& 2=（, - 1, 0, 1 , 2,B=y|y=x 2+1 , x A=5 ,2,1B的元素个数是3故选C.【点评】本题考查集合的含义、表示方法.属于简单题.2. （2016春？南阳期中）已知复数z的模为2,则忆-i|的最大值为（）A. 1 B. 2 C.遭 D. 3【考点】复数的代数表示法及其几何意义.【分析】根据复数的几何意义，知 忆|=2对应的轨迹是圆心在原点半径为2的圆，忆-i|表示的是圆上一点到点（0, 1）的距离，其最大值为圆上点（0, - 2）到点（0, 1）的距离.【解答】解：: 忆|=2,则以魏应的轨迹是以圆心在原点，半径为 2的圆，而忆-i|表示的是圆上一点到

10、点（0, 1）的距离，其最大值为圆上点（0, - 2）到点（0, 1）的距离，z=a+bi z-i=a+（b-1）i |z - i|=最大的距离为3.（圆心到点距离+半径）故选D.【点评】本题考查了复数及复数模的几何意义，数形结合可简化解答.3. （ 2015?湖北模拟）某单位为了了解办公楼用电量 y （度）与气温x （C）之间的关系，随机统计了四个工作量与当天平均气温，并制作了对照表：气温（C）1813用电量（度）2434103864由表中数据得到线性回归方程y= - 2x+a ,当气温为-4 c时，预测用电量均为（）A. 68 度 B. 52 度 C. 12 度 D . 28 度【考点】线

11、性回归方程.【专题】概率与统计.【分析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出值，可得线性回归方程，根据所给的 x的值，代入线性回归方程，预报要销售的件数.【解答】解：由表格得x=- ClS+1-10- 1） =10 , 4 124十3好变十64）=40 .4储（x, V）为：（10 , 40）,又（宜，T）在回归方程 y=bx+a中的b= - 2,40=10 X （2） +a ,解得：a=60 , .1 =' - 2x+60 ,当 x= - 4 时，片-2 X ( -4) +60=68【点评】本题考查线性回归方程，考查最小二乘法的应

12、用，考查利用线性回归方程预报变量的值，属于中档题.4. （ 2016?丰台区一模）有三对师徒共6个人，站成一排照相，每对师徒相邻的站法共有（A. 72 B. 54 C. 48 D. 8【考点】排列、组合的实际应用.【专题】整体思想；分析法；排列组合.【分析】根据分步原理求解即可.【解答】解：用分步原理：第一步：把每一对师徒看成一整体，共有 3X 2=6种方法；第二步：每对师徒都有两种站法共有2 X 2 X 2=8中；（A22 ） A3*A33 ），总的方法为6X 8=48种.故选：C.【点评】考查了分步原理和排列组合的应用.5.（2016?嘉峪关校级模拟）已知向量二,A.B.C.D.%为非零向

13、量，G-zE） _L7,（吊-2；） _LZ，则；，Z夹角为（）平面向量数量积的运算.【专题】计算题；对应思想；向量法；综合法；平面向量及应用.【分析】由条件即可得到 （；死）-a=0,（。公、邈0,这样即可得到弓且|W I二E I ,从而可以 a求出这样便可得出 d 匕的夹角.【解答】解：ta-2b） _Ll, Cb-2a） _L；,（直-26）* a=a2 _ 2a"b = 0,（卜-20） b二/- 2 db =0 ;萨当；,隹了，;£；I 五 l-|b I；一"；)cos< a, b>a,玉夹角为故选：B.【点评】考查向量垂直的充要条件，向量数

14、量积的运算，以及向量夹角余弦的计算公式.(2016?平度市三模)已知函数f (x) =|lgx| , a>b>0, f (a) =f (b),则后但的最小值等于()近一 bA. 2正 B. V5 C. 2+73 D. 273【考点】对数函数图象与性质的综合应用.【专题】不等式的解法及应用.2 zI【分析】根据对数的运算性质，可得 ab=1 (a>b>0),进而可将十?二一+二L,进而根据基本不等式,a- ba -b可得答案.【解答】 解：fx)( =|lgx| , a>b>0, f (a) =f (b),贝U lga= - Igb ,贝U a=即 ab=1

15、(a>b>0)b3+1川a - b -(a- b) 242ab22a-g 2故史冬的最小彳1等于2施社一 bab=1是解答的关键.【点评】本题考查的知识点是对数的性质，基本不等式，其中根据已知得到7. （ 2016?佛山一模）执行如图所示的程序框图，输出的 z值为（a=Ot $ = IA. 3 B. 4 C. 5 D. 6【考点】程序框图.【专题】操作型；算法和程序框图.【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环累乘循环变量a值，并输出满足条件的累乘积关于2的对数值，模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中变量的值的变化情况进行分

16、析，不难给出答案.【解答】解：执行循环体前，S=1 , a=0 ,不满足退出循环的条件，执行循环体后，0=29=色=12,S=2 1 X22=2 3, a=3S=2 3X23=2 6, a=4当S=2 ° ,a=1 ,不满足退出循环的条件，执行循环体后，1=2 S=1a=22当S=2 1 , a=2 ,不满足退出循环的条件，执行循环体后,当S=23, a=3 ,不满足退出循环的条件，执行循环体后,当S=26, a=4 ,满足退出循环的条件,则 z= log2（2 =6故输出Z果为6 故选：D【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：分析

17、流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）？建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模.8. （ 2016?商丘三模）如图，网格纸上小正方形的边长为 1 ,粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面中,【考点】由三视图求面积、体积.【专题】计算题；函数思想；转化思想；空间位置关系与距离.【分析】根据三视图得出该几何体是在棱长为4的正方体中的三棱锥，画出图形，求出各个面积即可.【解答】解：根据题意，得;该几何体是如图所示的三棱锥 A - BCD ,且该三棱锥是放在棱长为

18、 4的正方体中,所以，在三棱锥 A - BCD 中，BD=4 及，AC=AB= J7H=2寸AD=6，Sa ab=x 4 x 4=8 Sa ad=贝U CE=1=与2（面积BC*4=面积AB*CE）Sa DB(=7jX 4X 4=8 ,在三角修BC中，作CE，杷于E,连结 DE, DE= Jdc'cezJig 理，Sa abd=|x2V5X【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是由三视图还原为几何体，是中档题.9. (2016?闵行区一模)设f (x) =2+5x+10x 2+10x 3+5x 4+x 5,则其反函数的解析式为()A 产1+，卜 - B尸1 一 私 C

19、尸L+ 1 D 尸L -"工- 1【考点】反函数.【专题】定义法；函数的性质及应用；二项式定理.【分析】根据二项式定理：(1+x ) 5=1+5x+10x 2+10x 3+5x 4+x 5,原函数可写成y=1+ (1+x ) 5,再求其反函数即可.【解答】 解：因为 y=f (x) =2+5x+10x 2+10x 3+5x 4+x5=1+1+5x+10x 2+10x 3+5x 4+x 5=1+ (1+x) 5,即 y=1+ (1+x) 5,所以，1+x=需二T，因此，x= -1+版=r,再交换x, y得，y= - 1 + K 1，所以，f (x)的反函数的解析式为 f 1 (x) =

20、 1+男区_ , xCR,故答案为：C.【点评】本题主要考查了反函数及其解法，涉及二项式定理的应用，根式的运算和函数定义域与值域的确定，属于中 档题.10 . (2016?福建校级模拟)已知函数 f (x)=十人- 2直了直-1 Ln (x+2) . -，若 g (x) =f (x) - a (x+2 )的图象与 x轴有3个不同的交点，则实数 a的取值范围是().21n2【专题】计算题；作图题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；导数的概念及应用.【分析】g (x)的图象与x轴有3个不同的交点可化为 y=f (x)与y=a (x+2 )有3个不同交点，从而作图求解.【解答】解：: gx。的

21、图象与x轴有3个不同的交点,1. y=f x0与y=a (x+2 )有3个不同交点,作y=f (x)与y=a (x+2 )的图象如下，易知直线y=a (x+2 )过定点 A (-2, 0),斜率为a.当直线y=a (x+2 )与y=ln (x+2 )相切时是一个临界状态,设切点为(xq, yo),"72 I则口，j (工口+2)=ln (宜口十2)解得，xo=e -2, a=,e又函数过点B (2 , ln4 ),In4 ln2 责 ln2 1 W、上八kAB= 7TZ_y _ = ,故一a =.故选 C.【点评】本题考查了方程的根与函数的图象的交点的关系应用，同时考查了数形结合的思

22、想应用，注意临界状态的确 定.Sn,若 S2n+1 Sn 4吗，1511.( 2016?岳阳校级一模)在等差数列an中，a2=5 , a6=21 ,记数列占的前n项和为 aiL? nC N*恒成立，则正整数 m的最小值为()A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【考点】等差数列的前n项和.【专题】等差数列与等比数列.【分析】由等差数列的通项公式求出数列 ,的通项公式，证明数列S2n+1 -Sn (n N )是递减数列，可其最大值, %进而可得m的取值范围，结合 m为正整数可得.【解答】解：二.在等差数列an中a2=5 , a6=21 ,(S2n+1 Sn) ( S2n+3 Sn+1 ) 数列S

23、2n+1 - Sn (nC N*)是递减数列, 数列S2n+1 - Sn (nC N )的最大项为S3 - S1 =144514- ID 白 、14只,变形可得 ml> 45 153又丁!是正整数，.m 的最小值为5.S2n+1 Sn (nC N*)的【点评】本题考查数列与不等式的结合，证数列S2n+1 - Sn (nCN*)是递减数列并求数列最大值是解决问题的关键，属中档题.2212. (2016?潍坊模拟)椭圆C:工+工=1 (a>b>0)的左右焦点分别为 Fl, F2,若椭圆C上恰女?有6个不同的点 口 b2P,使得FlF2P为等腰三角形，则椭圆 C的离心率的取值范围是

24、()A 4 B。2 A 。9 1)D。0 ? 口(1 0【考点】椭圆的简单性质.【专题】计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】分等腰三角形4F 1F2P以F1F2为底和以F1F2为一腰两种情况进行讨论，结合以椭圆焦点为圆心半径为2c的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于a、c的不等式，解之即可得到椭圆 C的离心率的取值范围.【解答】解：当点P与短轴的顶点重合时, FF2P构成以F1F2为底边的等腰三角形,此种情况有2个满足条件的等腰AF 1F2P;当4F1F2P构成以F1 F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，.F1F2=F1P,点P在以F1为圆心，半径为焦距

25、2c的圆上因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时,存在2个满足条件的等腰AF 1F2P,在F1F2P1 中，F1F2+PF1>PF2,即 2c+2c >2a - 2c,由此得知3c >a.所以离心率e>4.当e= §寸(a=2c, PF1=2c,PF2=2a-PF1=2c), AF1 F2P是等边三角形，与中的三角形重复(PF1=PF2),故e±同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e>=且e工时也存在2个满足条件的等腰AF 1F2P1_1&这样，总>共有6个不同的点P使得4F1F2P为等腰三角形综上所述，离心率白

26、取值范围是：eC (J, J) U (J, 1)【点评】本题给出椭圆的焦点三角形中，共有6个不同点P使得FiF2P为等腰三角形，求椭圆离心率e的取值范围.着 重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题.填空题（共4小题）13 . （ 2016?杭州模拟）抛物线y2=12x的焦点为F,点P为抛物线上的动点，点 M为其准线上的动点，当为底M边三角形时，则FP腕圆的方程为 _ （x-3）（¥±43）2-48_-【考点】抛物线的简单性质.【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】利用抛物线的定义得出 PM垂直于抛物线的准线，设 M （-3, m）,则P（9,

27、m）,求出 PMF边长，写 出有关点的坐标，得到外心 Q的坐标，FPM卜接圆的半径，从而求出其方程.【解答】解：据题意知，PMFi三角形，PF=PM ,PM，抛物线白准线，F （3, 0）设M （-3, m）,则P （9, m）,所以m=正负6击，（A为MP中点）等边三角形边长为 12,如图.在直角三角形 APF中，PF=12 ,解得外心Q的坐标为（3 , ±4仃）.则 FPM勺外接圆的半径为 4/1,.,JIA FPM外接圆的方程为 （/-3）,（V±4逐）2=48.故答案为：（l3）2+（V 土 4*/）2=48 -【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的

28、综合问题.考查了学生综合把握所学知识和基本的运算2+a6 (2x - 1) 6,贝 1能力14 . ( 2015?合肥三模)设(3x 2) 6=a 0+a 1 (2x 1) +a 2 (2x 1)【考点】二项式定理.【专题】计算题；二项式定理.【分析】在所给的等式中，分别令 x=1、x= -1 ,可得2个式子，相加、相减，即可得到要求式子的值.【解答】 解：由题意，令 x=1 ,可得ao+a 1+a2+a6=1 ,令x=0 ,可得ao a1+a2+a6=64 ,两式相减可得，a1 +a 3+a 5=两式相加可得 ao+a2+a 4+a6=-,22 3廿%+叼. 63 = 故答案为：-铛.65【

29、点评】本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属 于基础题.15. (2016春？浦东新区期中)若直线y=x+b与曲线尸工2有公共点,则b的取值范围为T ,&_.【考点】直线与圆的位置关系.【专题】数形结合；直线与圆.【分析】确定曲线 尸卜x 2所对应的图象,求出两个极端位置，即可求得结论.【解答】解：依题意可知曲线 尸，J可整理成y2+x2=1 (y>0,)图象如图所示直线与半圆相切时，原点到直线的距离为直线过半圆的右顶点时，1+b=0 ,直线y=x+b与曲线厂?_-工2有公共点时,b的取值范围为T,&故答案为：-1,

30、四【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查数形结合思想，属于中档题.一 一 一、11_, . 一、,.,.TH16 .已知 tan ( a - 3) = , tan 3 J,且 a, 36 (兀，0),贝 Utan (2a 3)= 1 , 2a 3=274【考点】两角和与差的正切函数.【专题】计算题；压轴题.【分析】先根据tan a =tan a - 3拜帆正切的两角和公式求得tan a的值，然后利用tan ( 2 a - 3 =tan ( a - 3+ a)根据正切的两角和公式求得 tan ( 2 a - 3 )的值，进而根据a , 3的范围求得2 a - 3的值.【解答】解：tan

31、a =tan ( a - 3. tan ( 2 a - 3 )=tan ( a - 3+ =tan ( 口 -下) =1-tanU tan (。- 5 )tan3冬0,即-71W，0),tan0,即 0 V tan a 左a畤)-故答案为：1 ； -【点评】本题主要考查了两角和与差的正切函数.考查了基础知识的熟练记忆和应用.三.解答题(共7小题)17 . ( 2016?金凤区校级二模)在数列an中，a1=2 , an+1 =4a n - 3n+1 , nC N(1)证明数列an-n为等比数列(2)求数列an的前n项和Sn.【考点】等比数列的前n项和；等差数列的前 n项和；等比关系的确定.【专题

32、】计算题.【分析】(1)由 an+1 =4a n - 3n+1 可得 an+1 - ( n+1 ) =4a n - 3n+1 - ( n+1 ) =4an-4n=4 (an-n),从而可证(2)由(1)可求an,利用分组求和及等差数列与等比数列的求和公式可求Sn【解答】 解：(1) .an+1 =4a n - 3n+1 , nCN ,an+1 (n+1) =4a n - 3n+1 (n+1 ),4an - 4n=4 (an n).a-n为首项a1 - 1=1 ,公比q=4的等比数列；(2) . an-n=4 广1,. an=n+4 n -1,Sn=1+2+ +n+ ( 1+4+41)n (n+

33、1) 1【点评】本题主要考查了利用数列的递推公式构造证明等比数列，等比数列的通项公式的求解及分组求和方法的应用, 等差数列及等比数列的求和公式的应用.BAC, ABDbA ADC积的 2 倍.18. （2015?新课标II） AB,D是BC上的点，AD平分/(1)求(2)若 AD=1求BD和AC的长.【考点】正弦定理；三角形中的几何计算.【专题】解三角形.【分析】（1）如图，过 A作AEL BC于E,由已知及面积公式可得 BD=2DC ,由AD平分/ BAC正弦定理可得sin乂 ein/BADB= BDc，； ,从而得解号于今 DusinZ.C(2)由(1 )可求 BD= 72 过 D 作 D

34、M± AB 于 M ,作 DN± AC 于 N ,由 AD 平分/ BAC可求 AB=2AC ,令 AC=x ,则AB=2x ,利用余弦定理即可解得 BD和AC的长. AW分 / BAC ./ BAD=Z DAC在 ABM,在4ADC中,BDsiruZBADDCsinZDACsinsinBDDC三立/E 一般甘slnZC BD 2（2）由（1 ）知,BD=2DC=2过D作DM, AB 于M ,作DN± AC于N , AW 分 / BAC,DM=DN,AB=2AC ,令 AC=x ,贝U AB=2x , . / BAD=Z DAC,cos / BAD=cos / D

35、AC,由余弦定理可得:）+广-（份/ +1 H二上1= 工柒：% Ix=1 ,AC=1 ,BD勺长为弧,AC的长为1 .【点评】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理等知识的应用，属于基本知识的考查.十J J 244 .528&W川（2山（匕以伊于"2 ©身4，I”以心3+炉 d r> i-iI6 J T19. ( 2015?重庆)端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有 10个粽子，其中豆沙粽 2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个.(I )求三种粽子各取到 1个的概率；(n)设X表示取到的豆沙粽个数，求 X的分布列

36、与数学期望.【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式.【专题】概率与统计.【分析】(I)根据古典概型的概率公式进行计算即可;(n)随机变量 X的取值为：0, 1, 2,别求出对应的概率，即可求出分布列和期望.【解答】解：(I )令A表示事件“三种粽子各取到 1个”，则由古典概型的概率公式有(n)随机变量X的取值为：0, 1, 2,贝U p （x=o）=c vioIE'P （X=1PEX=0715【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，求出对应的概率是解决本题的关键.(2016?衡水一模)如图，在四棱锥 P-ABCD中,/ PAD=120 °

37、 E和F分别是棱 CD和PC的中点.(1)求证：平面 BEF，平面PCD ;(2)求直线PD与平面PBC所成的角的正弦值.AB± PA, AB / CD, JPB=BC=BD=血，CD=2AB=2 版,【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定.【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离.【分析】(1)先推导出四边形 ABED是矩形，从而ABL平面PAD ,进而CD± PD, CD± EF , CD± BE,由此得到CDX平面BEF,由此能证明平面 BEF，平面PCD .PD与平面PBC所成的(2)以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，建立

38、空间直角坐标角系，利用向量法能求出直线角的正弦值.【解答】证明：（1） .BC=BD , E为CD中点，BEX CD, AB / CD, CD=2AB ,AB/ DE, B=DE ,二.四边形 ABED 是矩形，BE / ADBE=AD , AB± AD,AB± PA,又PAA AD=A,AB，平许AD,CD± PD,且CD, AD,又.在平面 PCD 中， EF / PD,CD± EF, EF n BE=E , .?比 BEF, BE?平面 BEF,又 CDBE,CD,平岫EF, CD?平面 PCD,.平面 BEF,平面 PCD.解：（2）以A为原点，

39、AB为x轴，AD为y轴，建立空间直角坐标角系， PB=BC=BD=爪，CD=2AB=2 也,/ PAD=120 ° ,pa=/pb2 -v5- 2=2，AD=BE= |7eD2 -AB2=Vg- 2=2，（三角形 BDE 中）BC= JbN+Ce2= +2=2，则 P （0, - 1,北）,（因为 PAD=120,Z 垂直 AB , PA、AD 垂直 AB ,所以/ PAZ=30。由P 向 Z 做垂线），D （0,2, 0）,B （也，。，。），C （2也，2,0）,Kt（o, 3, - VS）, BP= （-VIi -L 6）,麻=（6，2, Q）,设平面PBC的法向量二 (x,

40、y, z),C设直线PD与平面PBC所成的角为0 ,sin 0 =|(sx 而，1=1-3-1一|=|FD|n| .瓦.F=直线PD与平面PBC所成的角的正弦值为V10【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，则中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用.21 . ( 2016?天津一模）已知椭圆C：（a>b>0）的离心率为 招,长轴长为等于圆2R: x2+ (y - 2 ) 2=4的直径，过点P （0, 1）的直线与椭圆 C交于两点A, B,与圆R交于两点M, N （I ）求椭圆C的方程;（n）求证：直线 RA, RB的斜率之和等于零；（出）求 |AB|?|M

41、N|的取值范围.【考点】圆锥曲线的实际背景及作用；椭圆的标准方程.【专题】综合题；数形结合；方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】（I）根据椭圆的简单几何性质，求出a、b的值即可；（n）讨论直线l的斜率是否存在，求出直线RA、RB的斜率之和即可证明结论成立;|AB|?|MN|的取值范围.（出）讨论直线l的斜率是否存在，利用弦长公式以及转化法、基本不等式等求出【解答】解：（I）因为椭圆 C长轴长等于圆 R: x2+ （y-2） 2=4的直径，所以2a=4 , a=2 ;（1分）> k/2 . 一2 ”-吊 111由离心率为一了，4导e2 =-=,2a d zb2 所以=7=

42、"g,彳导b2=2 ;（2分）=1+=1+Al+2kl+2kkRA+k+朴J小=2k+=2kI一国=2kl + 2k|AB|l+2kL+2kl的方程为y=kx+1ARP=Z BR消去y?|Xi X2|贝 U Xl+X 2kRA= 一 kRB所以椭圆C的方程为R (0, 2)|MN|=4 , |AB|?|MN|=8ARP= Z BRP=0yi), B1+2k 2) x2+4kx - 2=0|MN|=24 - (-J=L=) J=2(11 分),JV 1+k2所以 |AB|?|MN|= J +卜2?2 + 1 X2 以卜2：3=4讹？/4k+山 4k213 ； B2k2 |V 1+k2l

43、+2k2因为直线l过点P (0, 1),所以直线l与椭圆C和圆R均交于两点，令 1+2k 2=t ,则 t > 1 ,所以 |AB|?|MN|=4 我?J.21+1)=4&?4_=< 蚯,当且仅当t=1 , k=0等号成立；（13分）综上，|AB|?|MN|的取值范围蕤J%, 8J0 .（14分）【点评】本题考查了圆锥曲线的综合应用问题，也考查了数形结合思想、方程思想的应用问题，考查了计算能力与分 析问题、解决问题的能力，是综合性题目.22. ( 2015?新课标II)设函数 f (x) =emx+x2-mx.(1)证明：f(x)在(-8, 0)单调递减，在(0, +8)单

44、调递增；(2)若对于任意 xi, x2 C - 1, 1,都有|f (xi) - f (x2)| < el-,求m的取值范围.【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值.【专题】创新题型；导数的概念及应用.【分析】(1)利用f ' x) >0说明函数为增函数，利用 f ' x0 wo说明函数为减函数.注意参数m的讨论；(2)由(1)知，对任意的 m, f (x)在-1, 0单调递减，在0,1单调递增，则恒成立问题转化为最大值和最小 值问题.从而求得 m的取值范围.【解答】 解：(1)证明：fx) =m (emxT) +2x .若 mi> 0,贝U 当 xC (00,