电磁场理论基础课件 第五章

1、第五章 准静态场、电感和磁场能5.0 序5.1 法拉第电磁感应定律5.2 电荷守恒定律5.3 准静态场5.4 作为准静态近似的电路理论5.5 电感5.6 磁场的能量和磁场力习题习题4-14-14-54-54-104-104-144-144-154-153-23-23-43-43-153-153-183-183-213-21Deadline: 11Deadline: 11月月1111日日5.1 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律 当与回路交链的磁通发生变化时，回路中会产生感应电动势，这就是法拉弟当与回路交链的磁通发生变化时，回路中会产生感应电动势，这就是法拉弟电磁感应定律电磁感应定律（Fara

2、days Law of Electromagnetic Induction Faradays Law of Electromagnetic Induction ）。）。dtd引起磁通变化的原因分为三类：引起磁通变化的原因分为三类：SBdtdtdS 回路不变，磁场随时间变化回路不变，磁场随时间变化图图5.1.2 5.1.2 感生电动势感生电动势 负号表示感应电流产生的磁负号表示感应电流产生的磁场总是阻碍原磁场的变化场总是阻碍原磁场的变化图图5.1.15.1.1感生电动势的参考方向感生电动势的参考方向5.1.1 5.1.1 电磁感应定律电磁感应定律 称为感生电动势，这是变压器称为感生电动势，这是变

3、压器工作的原理，又称为变压器电势。工作的原理，又称为变压器电势。SdtBSdEl dESSCSBdtdtdStAEtBEABB)(0)(0tAEtAElBVd)(dtdlSBlBVdtd )(dtdSl 称为动生电动势，这是发电机工作原称为动生电动势，这是发电机工作原理，又称为发电机电势。理，又称为发电机电势。 磁场随时间变化，回路切割磁力线磁场随时间变化，回路切割磁力线 实验表明实验表明：感应电动势：感应电动势 与构成回路的材料性质无关（甚至可以是假想回路），与构成回路的材料性质无关（甚至可以是假想回路），只要与回路交链的磁通发生变化，回路中就有感应电动势。当回路是导体时，才有感只要与回路交

4、链的磁通发生变化，回路中就有感应电动势。当回路是导体时，才有感应电流产生。应电流产生。 回路切割磁力线，磁场不变回路切割磁力线，磁场不变图图5.1.3 5.1.3 动生电动势动生电动势5.1.2 5.1.2 感应电场（涡旋电场）感应电场（涡旋电场） 麦克斯韦假设，变化的磁场在其周围激发着一种电场，该电场对电荷有作用力麦克斯韦假设，变化的磁场在其周围激发着一种电场，该电场对电荷有作用力（产生感应电流），称之为（产生感应电流），称之为感应电场感应电场（Electric Field of Induction )Electric Field of Induction )。SBlBVSElEddtd)(

5、d)(dLsili 感应电动势与感应电场的关系为感应电动势与感应电场的关系为t)(iBBVE 感应电场是非保守场，电力线呈闭合曲线，变化的磁场感应电场是非保守场，电力线呈闭合曲线，变化的磁场 是产生是产生 的涡旋源。的涡旋源。iEt B图图5.1.4b 5.1.4b 变化的磁场产生感应电场变化的磁场产生感应电场tBE 若空间同时存在库仑电场若空间同时存在库仑电场, , 即即 则有则有,iCEEE变化的磁场产生电场变化的磁场产生电场在静止媒质中在静止媒质中tiBE图图5.1.4a 5.1.4a 变化的变化的磁场产生感应电场磁场产生感应电场例例5-15-1一长为一长为h h、宽为、宽为w w的固定

6、线圈，位于一随时间变化的均匀磁场中，的固定线圈，位于一随时间变化的均匀磁场中，ztBBsin0, ,设线圈面的法线方向与设线圈面的法线方向与Z Z轴成轴成q q角角, ,求线圈中的感受电动势求线圈中的感受电动势解解: : tSBdsnztBeztBtBdStBdSEdlEesicSsiqcoscoscoscos000所以而5.2 电荷守恒定律 实验表明：自然界电荷总是保持守恒。根据单位时间通过闭曲面流出的电荷等于闭曲面所围的体积内单位时间内电荷增量的负值，可以得到电荷守恒定律的数学表示式：VSdvttqSdJ0VSVdvtJdvJSdJ0tJ在恒定电流的情况下，电流连续性方程的积分、微分形式为

7、：SSdJ00 J5.3 准静态场电准静态场特点： 电场的有源无旋性与静电场相同，称为电准静态场（EQS）。用洛仑兹规范 ，得到动态位满足的微分方程t A/,22JA低频时，忽略二次源 的作用，即 ，电磁场基本方程为t D0DHDBEJBJH,t/0,0,磁准静态场 0A/,22JA 用库仑规范 ，得到动态位满足的微分方程低频时，忽略二次源 的作用，即 ,0iE)0(tBDEJBDJH,0t,0,t电磁场基本方程为特点：磁场的有旋无源性与恒定磁场相同，称为磁准静态场（MQS）。例例5-35-3一对平行导线一对平行导线, ,通有大小相等而方向相反的电流通有大小相等而方向相反的电流I,II,I随时

8、间变化随时间变化, ,在同在同一平面内有一封闭矩形线圈一平面内有一封闭矩形线圈, ,求矩形线圈中的感生电动势求矩形线圈中的感生电动势解:按准静态场考虑,因此安培环路定律仍为lIdlHaaIB20导线a里的电流I产生的磁感性强度为bbIB20导线b里的电流I产生的磁感性强度为空间任一点的磁感应强度为babaIBBB1120通过矩形线圈的磁通量为abbawRRbbwRRaasRwRRwRhIdhdhIdSBbbaaln2200矩形线圈中的感生电动势abbaiRwRRwRdtdIhdtdeln205.4 作为准静态近似的电路理论 在MQS场中， 即 ，故有0 J0dsSJSJ dsSJSJSJSdd

9、d3213S2S10iii321即集总电路的基尔霍夫电流定律0i 时变场中sLeciLdtd)(dsBlEEElE电容（EQS）cLcdlEcLdls)t ( q) t ( qc1cuidtc1电阻（MQS）RLcdlERLdlJislRuRi电感（MQS）SBlEdtdsLiLdtdLudtdiL电源sLeudslE有 CLRsuuuidtc1dtdiLRiu即集总电路的基尔霍夫电压定律 0u图5.4.1 结点电流图5.4.2 环路电压5.5 .1 自感 在线性各向同性媒质中，L 仅与回路的几何尺寸、媒质参数有关，与回路的电流无关。自感计算的一般步骤：),(0iLLLIBHA设回路的电流与该

10、回路交链的磁链的比值称为自感。LIdsSB即单位：H（亨利）IL 自感又分为内自感 Li 和外自感 L0 。0iLLLILii内自感是导体内部仅与部分电流交链的磁链与回路电流比值。IL00 外自感是导体外部闭合的磁链与回路电流的比值。图5.5.1 内磁链与外磁链5.5 电 感解： 总自感设安培环路包围部分电流 ，则有I221221LRIRIIdlH210212,2RIBRIH磁链中的匝数，可根据212:1:RIINNII因此，有sR0021221o1i18lIdRR2lINd8011lILii内自感例 5.5.1试求图示长为 的同轴电缆的自感 L。l图3.7.3 同轴电缆内导体纵截面穿过宽度为

11、 ,长度为 的矩形面积的磁通为dldR2Idd210SB图5.5.2 同轴电缆截面1)内导体的内自感 )R0(L11i021LLLLiil,IRRR)RRR( III22232232223222HB,2)RRR( I2IH02223223ld2)RRR( IBdSd222322302i)RR(8)RR( l)RR(2lRRRln)RRR(2l22232223022232302322223230工程上视同轴电缆外导体为面分布的电流，故忽略此部分的内自感 。)0L(2i3） 内、外导体间的外自感 )(210RRL120RR000RR2ld2II1IL21lndl)RRR(2II1NdI1L32RR

12、2222322302i2i故总电感为02i1iLLLL,2IB0ld2Idd0002）外导体内自感 2i2idIII1L32RR2223223RRRIIN 例 5.5.2 设传输线的长度为 , 试求图示两线传输线的自感。l解：总自感0iLL2LSB d00RDR0ldx)xD(21x21IRRDlnIl0RRDlnlIL000设z02z01RDRln2IRRDln2IIeAeAlAlAd2100lARRDlnlIL000HBeH0)xD(2Ix2II设总自感为RRDlnl4lLL2L000i内自感4lL2,8lL0i0i解法一)(0LB由解法二)(0LA由RRDlnlI0图3.7.4 两线传输

13、线的自感计算5.5.2 互感12121IM12121IM式中，M21 为互感，单位：H（亨利） 互感是研究一个回路电流在另一个回路所产生的磁效应，它不仅与两个回路的几何尺寸和周围媒质有关，还和两个回路之间的相对位置有关。 在线性媒质中，回路1的电流 产生与回路2相交链的磁链 与 成正比。1I211I同理，回路2对回路1的互感可表示为21212IM2112MM可以证明计算互感的一般步骤：图5.5.5 电流I1 产生与回路2交链的磁链设ALdlA12212111IMdISSBBH例 5.5.3 试求图示两对传输线的互感。解：根据互感定义，只需假设一对传输线的电流方 向；另一对传输线的回路方向。导线

14、 B 的作用BDBC2l I0mBmBln由于这两个部分磁通方向相同(H)导线 A的作用ACADln2Ild0SmAmASB2IB0图5.5.6 两对传输线的互感BDACBCADl ImBmAmln20BDACBCADlIMmln20 磁场作为一种特殊的物质，和电场一样具有能量。有专家预测，21世纪将是以磁力（磁能）作为能源代表的时代。 高温超导体磁场特性的发现与利用，使梦想中之能源受控热聚变, 磁流体发电，太阳能卫星电站，逐步成为现实，利用磁能作为驱动力的超导体磁悬浮列车和超导磁动力船己向我们驰来。5.6 磁场能量与力5.6.1 5.6.1 恒定磁场中的能量恒定磁场中的能量 媒质为线性媒质为

15、线性； 磁场建立无限缓慢（不考虑涡流及辐射磁场建立无限缓慢（不考虑涡流及辐射）；）； 系统能量仅与系统的最终状态有关，与能量的建立过程无关。系统能量仅与系统的最终状态有关，与能量的建立过程无关。假设：假设：磁场能量的推导磁场能量的推导则 t 时刻，回路1、2中的感应电动势为dtd,dtd21211111 若要继续充电，外源必须克服回路的感应电动势做功，即1111111111didtidtddti )(Ad 过程中，外源所做的功0AdAAA121110Ii从2/IL21111I0I0111111diiLdi第一步： 从 0i21i,I01第二步： 不变， 从 1I2i2I0则 t 时刻，回路1、

16、2中的感应电动势为dtddtd12122222, 若要继续充电，外源必须克服回路的感应电动势做功，即21121121121diIMdtIdtddtI )(Ad 2222222222diiLdtidtddti )(Ad 22I0I0222212121diiLdiMIAAA 不变， 从 ，外源所做的功 1I2i20I2/ILIMI2222121222211 mIMIIL21IL21AAAW21kkk22112221121122221211mI21I21I21I )ILMI(21I )MIIL(21IL21IMIIL21W 推广n1kkkn1in1jjiijn1k2kkmI21IIM21IL21W)

17、 ji ( 自有能互有能 是回路k 独存在时的能量，称为自有能量。自有能量始终大于零。2kkIL21 与两回路的电流及互感系数有关，称为互有能。当两个载流线圈产生的磁通是相互增加的，互有能为正；反之为负。jiijIIM 对于单一回路2m2mIW2LLI21W由矢量恒等式AHHAAH)(式中 Vk 为导电媒质体积元所占体积，V 为导电媒质的总体积。 考虑到磁通可以用磁矢位 A 表示，则磁能 Wm 可表示为lA dI21I21Wn1klkkn1kkmkdV21dV21Vn1kkVkJAJA n利用 的关系，dV21WvmHAJH5.6.2 磁场能量的分布及磁能密度 磁场能量是在建立回路电流的过程中

18、形成的，分布于磁场所在的整个空间中。上式表明磁能是以磁能密度的形式储存在整个场域中。dVwdV21WvmVmBH单位：J（焦耳）单位：磁能密度22mB21H2121wBH3mJ22rdSr1Ar1H,时，第一项为 0r得dV21dV21WVVmBHAH)(0sVdV21d)(21BHSAH散度定理 例 5.6.1 长度为 ,内外导体半径分别为 R1 与 R2 的同轴电缆，通有电流 I ，试求电缆储存的磁场能量与自感。l解：由安培环路定律，得221121R0RR2IR0R2I2IeeeH磁能为121R0RR22210d2l)2I(d2l)R2I(21220RRln414lI自感1202mRRln

19、412lIW2LV20VmdVH21dV21WBH图5.6.2 同轴电缆截面5.6.3 磁场力 磁场能量的宏观效应就是载流导体或运动的电荷在磁场中要受到力的作用。仿照静电场，磁场力的计算也有三种方法。1. 安培力BlFlId 例 5.6.2 试求两块通有电流 I 的无限大平行导板间的相互作用力。B 板产生的磁场dx)(a2I)(2Ky0y02eeH解： 由安培力定律，得A 板产生的磁场0 x)(a2I)(2Ky0y01eeH两板间的磁场dx0)(aIy021eHHHBKFdsdx)(2)(0yzaIbdyaIee)(2220 xdyabIexxdFF)(dy2b)aI(xa002eA板受力)(

20、a2bx0e图5.6.3 两平行导板间的磁力2.虚位移法电源提供的能量 = 磁场能量的增量 + 磁场力所做的功 常电流系统 常磁链系统nkkkImdWdIdWk12121常量 表明外源提供的能量，一半用于增加磁场能量，另一半提供磁场力作功，即常量kImdWfdg 假设系统中 n 个载流回路分别通有电流I1，I2，In，仿照静电场， 当回路仅有一个广义坐标发生位移 ，该系统中发生的功能过程是dg 由于各回路磁链保持不变，故各回路没有感应电动势，电源不提供（增加的）能量，即 ，所以 ，只有减少磁能来提供磁场力作功，故有常量kmdWfdg)0dW(fdgdWdWmfdq)I21(d)I(dn1kkkkn1kk即由此得广义力常量kImgWf由此得广义力常量kgWfm 两种假设结果相同，即 在实际问题中，若求相互作用力，只需求出互有磁能，并以相对位置为广义坐标，利用上式即可得到