电感磁场能量与力

1、电感电感（1）单匝回路的自感与互感问题的引出：问题的引出：设细导线回路l2处于磁场中，包围的磁通为22dSBS如果磁场是时变的，则回路感应电动势为222dddddSett BS如果该磁场是由另一回路l1产生的，我们希望得出e2与回路1中激励电流I1之间的关系。222ddSl BSAl当然可以通过毕萨定律毕萨定律计算B，然后求磁通。但存在更简单的方法：由于101112d4lIR lA故210 112212dd4llIR ll1MI其中 互感210212112dd4llMIR ll同电容类似，互感只是回路几何因素和介质分布的函数。稍有区别的是，与回路参考方向有关。诺埃曼（聂以曼）公式12ddddI

2、eMtt 因此，回路l2中的感应电动势可以写为类似，回路l1在自身包围的面积上产生的磁通为故110 111111dd4llIR ll1LI其中 自感110111111dd4llLIR ll回路l1中的自感电动势为11ddIeLt I1dl1l1l1d l11R（2）多匝回路、磁链以上是单匝回路的情形。如果回路l2有N2匝，不难理解，222222dd()ddddNeNttt 如果回路l1有N1匝，则诺埃曼公式变为其中 磁链N此时，21/MI11/LI210121212dd4llN NMR ll20dd4llNLR llN1是对 的贡献，N2是对 的贡献。例例13 试求单位长度长直螺线管的自感。设

3、单位长试求单位长度长直螺线管的自感。设单位长度匝数为度匝数为n，半径为，半径为a。00BHnI20BSnI a220/LnIna（3）分布电流、内自感与外自感同轴电缆截面同轴电缆截面如果电流是体分布的，各部分电流铰链的磁通将有所不同。INI 分数匝数：ddiN与全部电流铰链的磁通称为外磁链 。相应的自感称为外自感 。ooLi只与部分电流铰链的磁通称为内磁链 。相应的电感称为内自感 。iL例例14 计算长为计算长为 l 的同轴电缆的电感。的同轴电缆的电感。（忽略外导体厚度）解：先计算外自感。解：先计算外自感。0,()2IBab 0000dddd2NIldBS00001dln22baIlbLlII

4、a同轴电缆截面同轴电缆截面1N 同轴电缆的电感。同轴电缆的电感。（忽略外导体厚度）再计算内自感。再计算内自感。22, (0)IIaa 022IBa 22Na 32022ddd2diIlaNaBS300201d28aiiIlLlIIa 总电感为：000ln28illbLLLa内自感与导体直径无关内自感与导体直径无关例15 设传输线的长度为 l , 试求图示两线传输线的自感。解解1 1：总自感总自感0iLL2L0dBSRDR0ldx)xD(21x21IRRDlnIl0RRDlnlIL000HBeH0)xD(2Ix2II设内自感内自感08ilLab解2：选12为Z方向01 20ln2akIRrAe1

5、234dddBSAl +Al00lnlnIlIlDRDRR00lnlDRLIR214301 20ln2bkID RrAe03 40ln2akID RrAe03 40ln2bkIRrAe01 2ln2kID RRAe03 4ln2kIRAD Re08ilL2oiLLL例例 1616 试求图示两对传输线的互感。试求图示两对传输线的互感。解解1 1：根据互感定义，只需假设一对传输线：根据互感定义，只需假设一对传输线的电流方向；另一对传输线的回路方向。的电流方向；另一对传输线的回路方向。导线导线 B 的作用的作用BDBC2l I0mBmBln由于这两个部分磁通方向相同由于这两个部分磁通方向相同导线导线

6、 A的作用的作用ACADln2Ild0SmAmASB2IB00ln2mmAmBI lAD BCAC BD0ln2mlAD BCMIAC BD解解2 2：选：选B DB D电流方向为电流方向为Z Z方向方向00ln2lAD BCLIAC BD0ln2CkIACBCAeCD0ln2DkIADBDAe0ln2D DCCIlAD BCdddAC BDBSAl +Al =例17 计算两平行长直导线对中间线框的互感。00011()22 ()2IIIBxDxxDx0011()2()()ln2()()mma b Ra RdIcdxxDxIcabR DRaRa DRab BS0()()ln2()()mcabR

7、DRaMIRa DRabIIDa2Rbc例18 计算长直导线对中间线框的互感。0122baIyydxtgxxa0lnlndccabMIcabcaa0222cbIyydxtgxcx001()ln22IIabba tgtga002()ln22IIcccb tgtgb0lnlnIdccabcabcaaIcabd（4）电感的计算方法设设 d (or d ) ILIHBHBSAl 一般思路：一般思路： 线状电流回路：线状电流回路：使用诺埃曼公式：使用诺埃曼公式：210121212dd4llN NMR ll20dd4llNLR ll （4）电感的计算方法 能量的方法：能量的方法：212mWLI22mWLI

8、如果磁场储存的能量能够求出，则可计算电感。此如果磁场储存的能量能够求出，则可计算电感。此法在数值技术中非常有用。法在数值技术中非常有用。 互感的正负问题：互感的正负问题：互感的正负取决于回路相对位置和参考方向的选取。互感的正负取决于回路相对位置和参考方向的选取。按参考方向通入电流，若磁通相互加强，则为正；若按参考方向通入电流，若磁通相互加强，则为正；若相互抵消，则为负。相互抵消，则为负。1) 铁板放在两线圈的下方,互感是增加了,还是减少了？2） 铁板插入两线圈之间后，互感是增加还是减少？3） 无感线圈作业：作业：5.26, 5. 27（1 1）磁场能量磁场能量 电场的能量来自建立电场的过程中，

9、电源输运电荷所做的功， ；电场总能量为ddWq2121d22eVWqVqC 磁场的能量来自建立磁场的过程中，电源输运电流所做的功， ；磁场总能量为ddWI2121d212mVWIVLIJ A电感储能电感储能电容储能电容储能1d2lI Al（1 1）电场能）电场能量量多个回路12mkkkWI多个导体12ekkkWq1 122221 1221 211221122mWIIL IL IMI I例如，2个回路时：自有能自有能互有能互有能自有能恒为正，互有能可正可负；正负号取决于磁通相互增强还是削弱。当两回路电流相等：212(2)/2mWLLM I122LLLM故：能量分布和储能密度1d2mVWVH B由

10、矢量恒等式AHHAAH)(11()dd2211() dd22mVVsVWVVVHAH BHASH B011dd22mVVWVVA JAH能量密度：12mw H B1d2eVWVE D12ew E D例例 1919 求求相互铰链的电流、磁链与磁通的关系：L =IdVdSdl=ld Hl = idVIVB H=12dVmVWB H212LImWldSdI SBHl=i dIS=iddI=LdSdlLiB赵凯华等赵凯华等电磁学电磁学P104页页例 20 长度为 l , 内外导体半径分别为 R1 与 R2 的同轴电缆，通有电流 I ，试求电缆储存的磁场能量与自感。解：由安培环路定律，得1121022I

11、IRRHee同轴电缆截面磁能为：1212201202d2d2RRRH lH l 20211ln44I lRR2011dd22mVVWVHVH B2122IRRHe320RH自感为：22/mLWI0211ln24lRR例21 试求图示平行板电容器的电场力。求静电能求静电能：常电常电荷荷系统：系统：111()22211()222eiiABABWQQQQQQC=2U常电压系统：常电压系统：2200220112211()22eWE dVE SdUSdCUd21例例2222 试求双螺线管的磁场能。11 1222 21221 12 21 2111()()2221()2miiWII LIMII L IMIL

12、IL IMI I201 11101011n I SNLn SlII2202001 1201201Ln Sln I SNMn n SlI001 1022012mWBHSlBn In IBH22220011220120 1 21()2mWSl n In In n Sl I I（2）磁场力 运动电荷受的磁场力洛仑兹力dd ()qfvB 载流导体受的磁场力安培力ddIflB与洛仑兹力是一致的。dddVSIJBKBlBd ()VvB 式中的磁场不包括导体本身电流产生的场。 洛仑兹力是最本质的；原则上，导体的受力可由上式积分获得，但往往不实用。dff 虚位移法（静电场）虚位移法（静电场） 虚位移法基本思想

13、是：假定带电体在电场力作虚位移法基本思想是：假定带电体在电场力作用下产生位移用下产生位移 ，则电场力做功：，则电场力做功：dgddA fg它对应于电场能量的减小。如果在此过程中，电源向电场提供能量dW，则功能关系有：dddeWWfg从而eWWfg（能量守恒）（能量守恒）电源提供能量 = 电场能量增量 + 电场力做功 虚位移法（恒定磁场）虚位移法（恒定磁场） 假定磁场中某个回路在磁场力的作用下发生位移 ，该系统中发生的功能过程是dg电源提供能量 = 磁场能量增量 + 磁场力做功dddmWWfg111d()d()d2nnkkkkkkIIfg即如果磁场能量与电源能量计算比较方便，则可得到()mWWf

14、g（）各导体不与电源相连，则各导体上 qk 保持不变，而外力（电源）做功 dW0，从而keqconstWfg （）各导体与电源相连，则各导体电位保持不变。由于在（）的过程中，电位有下降趋势，为保持电位不变，电源必须向各导体补充电荷。设补充电荷量为dq，则电源做功ddkkWq断开电源断开电源电荷不变电荷不变外功为外功为0静电场静电场从而dddddeeAWWWfg则keconstWfg但是，电场能量的增加为111d(d)dd222ekkkkkWqq dqW电源连通，电位不变，电源连通，电位不变，外功一半用于电场能外功一半用于电场能量增长，一半做功量增长，一半做功静电场静电场111ddd22knmk

15、kIkWIW常量外源提供的能量，一半用于增加磁场能量，另一半提供磁场力作功。回路磁链保持不变，无感应电动势，电源不提供能量，减少磁能对外作功（i）电源相连时，电流保持恒定不变kmIWfg常量（ii）电源断开时，磁链保持恒定不变kmWfg 常量d0kW常量恒定磁场恒定磁场磁场能量 Wm 的计算 通常，考虑两个刚性回路之间的作用力，可以利用计算磁场能量。由于回路形状不变，自感也不变，因而如果保持电流不变，则自有能保持不变，改变的只有互有能，从而221 1221 21122mWL IL IMI I1 2ddmWI IM故1 2kIMfI Ig常量 通过假定磁通不变可得到相同的结果，但要麻烦得多。当

16、M 本身难以求解时，直接计算能量可能更方便一些。注意互感的正负注意互感的正负例23 试求两块通有电流 I 的平行导板间的相互作用力。解1：虚位移法(0)yyIKxda Hee两平行导板间的磁力2200122mI bdWH abda202kmIWI bfda常量方向指向 d 增大，即斥力两平行导板间的磁力解2：利用安培力定律20202dd1()d2d2zyxSIISaaISa fKBeee20d2xI ba ffe只计B板产生的磁场，故半之计算 A 板受的力。例24 试求两个穿插的螺线管之间的相互作用力。设半径为 a ，单位长度匝数为 n1，n2 ，电流为 I1, I2。忽略边缘效应。解1：虚位移法10 1 1BnI22121012 1