2006年北京文科高考数学解析版

1、绝密启用前2006年普通高等学校招生全国统一考试数 学(文史类)(北京卷)I卷1至2页，第n卷3本试卷分第I卷(选择题)和第 n卷(非选择题)两部分，第至9页，共150分。考试时间120分钟 考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷(选择题共40分)注意事项：1 .答第I卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号、考试科目涂写在答题卡上。2 .每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号除黑。如需改动，用像皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)设集合 片&2x+1<3

2、B=&-3<x<2：则AnB等于(A) x -3<x<2>(B) x1<x<2 (C) xx> -3(D) ,xx<1(2)函数y=1+cosx的图象(A)关于x轴对称(B)关于y轴对称(C)关于原点对称(D)关于直线x=-对称2(3)若a与b-c都是非零向量，则"a - b=a - c"是"a _L (b- c)”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(4)在1, 2, 3, 4, 5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数 的共有

3、(A) 36 个(B) 24 个(C) 18 个(D) 6 个已知f(x) = (3 a”一相力1,是(-8, +*上的增函数,那么a的取值范围是Jog x,x 之 1，、，、一 3(A) (1,+°°)(B)(-g,3) (C)1-,3 (D)(1,3)一5(6)如果-1 , a,b,c ,-9成等比数列，那么(A) b=3, ac=9(B) b=-3, ac=9 (C) b=3, ac=-9(D) b=-3, ac=-9(7)设A、R C D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正砚.的是(A)若AC! BD共面，则 ADT BC面(B)若AC! BD是异面直线，则 AD

4、与BC是异面直线(C)若 ABAC DB=DC 则 AD=BC(D)若 ABAC, DB=DQ 则 AD _L BC(8)下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A B、C的机动车辆数如图所示，图中 X1、X2'X3,分别表示该时段单位时间通过路段Ab, Bc, Ca的机动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等) 则(A) Xi >X2>X3(C) X2>X3>Xi(B) xi>X3>X2(D) X3>X2>Xi绝密启用前2006年普通高等学校招生全国统一考试数 学(文史类)(北

5、京卷)本试卷分第I卷(选择题)和第 n卷(非选择题)两部分，第 I卷1至2页，第n卷3至9页，共150分。考试时间120分钟 考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。第II卷(共110分)注意事项：题号一三总分151617181920分数1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。二、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。(9)若三点A(2 , 2), B(a,0), C(0,4)共线，则a的值等于(10)在x-2 7的展开式中，X3的系数是 < X )(11)已知函数 f(x) =ax 4a+3的反函数的图象经过点(-1,2)

6、,那么 a的值等(12)已知向量 a=(cos a ,sin a), b=(cos P ,sin P),且 a0 ± b,那么 a+b 与 a-b 的夹角的大小是.(13)在 ABC中，/ A,/ B,/ C 所对的边长分别为a,b,c.若 sinAsinB:sinC=5： 7 ：8,贝U a ： b ： c=x y _4,(14)已知点P(x,y)的坐标满足条件 y主x, 点。为坐标原点，那么|PO|的最小值等于 x _1,最大值等于.三、解答题：本大题共6小,共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。. 1 sin2x(15)(本小题共12分)已知函数 f(x)=cosx

7、(I )求f(x)的定义域;(n )设a是第四象限的角，且 tanot =-,求f(ot)的值. 3(16)(本小题共13分)已知函数f (x) =ax3+bx2+cx在点x0处取得极大值5,其导函数y = f'(x)的图象经过点(1,0) , (2,0),如图所示,求：(I) .的值;(U) a,b,c 的值.(17)(本小题共14分)如图，ABOABCD是正四棱柱.(I )求证：BD±平面 ACCAi；(n)若二面角G-BD-C的大小为60°，求异面直线BC与 AC所成角的大小.(18)(本小题共13分)某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案方案一：考

8、试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是0.5, 0.6, 0.9,且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.求：(I )该应聘者用方案一考试通过的概率；(n )该应聘者用方案二考试通过的概率.(19)(本小题共14分) 22椭圆C：三+=1(a AbA0)的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上，且 a b一一 4 14PF1 LFFzIPF 升二，PF 2=|.33(I )求椭圆C的方程；(H)若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心，交椭圆C于A,B两点，且A、B 关于点M对称，求直线

9、l的方程.(20)(本小题共14分)设等差数列an的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn.(I )若aii=0,&4=98,求数列 an的通项公式；(n)若ai>6, an>0, Si4< 77,求所有可能的数列 an的通项公式.答案：一、(1) (8) ABCA DBCC二、(9) 4(10) 84(11) 2(12) |(13) 5: 7: 8 1(14)、,2.10绝密启用前2006年普通高等学校招生全国统一考试数 学(文史类)(北京卷)(编辑：宁冈中学张建华)本试卷分第I卷(选择题)和第 n卷(非选择题)两部分，第 I卷1至2页，第n卷3至9页，共150分

10、。考试时间120分钟 考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷(选择题共40分)注意事项：1 .答第I卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号、考试科目涂写在答题卡上。2 .每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号除黑。如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。三、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。(1)设集合 A=x2x+1<3, &43<x<2t 则 ACB等于(A)(A)3<x<2)(B) &1<x<2 (C)x|x >- 3 (D)x|x

11、<1解：集合A=<2x+1<3匕 xx <1,借助数轴易得选 A(2)函数y=1+cosx的图象(B )(A)关于x轴对称(B)关于y轴对称冗(C)关于原点对称(D)关于直线x=-对称2解：函数y=1+cos是偶函数，故选 B(3)若a与b-c都是非零向量，则"a - b=a c"是"a _L (b- c)”的(C )(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件才-，才 解：a b=a c= a ,b a,c= 0u a*(b。 =0u a 1 (b。故选C(4)在1, 2, 3, 4, 5这五个

12、数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数 的共有(A )(A) 36 个(B) 24 个(C) 18 个(D) 6 个解：依题意，所选的三位数字只有一种情况：即一偶两奇，有C；C；a3=36,故选A,(3a)x4a,x< 1,口一，.，旧口(5)已知f(x)=«'是(-oo, +笛)上的增函数，那么 a的取值范围是lOga X,X _1(D )(A) (1 , +°o )一 3 一(B)(-二，3)(C),3一 5(D)(1,3)解：依题意，有a>1且3 a>0,解得1<a<3,又当x<1时，(3 a) x 4a<

13、;3 5a,当x>1时，log ax之0,所以35aE0解得a>-,所以1<a<3故选D5(6)如果-1 , a,b,c ,-9成等比数列，那么(B )(A) b=3, ac=9(B) b=-3, ac=9 (C) b=3, ac=-9(D) b=-3, ac=-9解：由等比数列的性质可得ac= (1) x ( 9) =9, bxb=9且b与奇数项的符号相同，故b= 3,选BAC与BD共面与条件矛盾;(7)设A、R C D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确(A)若AC! BD共面，则 AD B前面(B)若AC! BD是异面直线，则 AD与BC是异面直线(C)若 A

14、BAC DB=DC 则 AD=BC(D)若 ABAC, DB=DQ 则 AD _L BC解：A显然正确；B也正确，因为若 AD与BC共面，则必有C不正确，如图所示：D正确，用平面几何与立体几何的知识都可证明。选 C(8)下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A、B、CC C C的机动车辆数如图所示，图中 xx2'x3,分别表示该时段单位时间通过路段AB, BC , CA的(A) x1 >x2>x3(B) x1>x3>x2机动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等) 则(C )(C) x2>x3&

15、gt;x1(D) x3>x2>x1解：解：依题意，有 x1=50 + x3-55 = x3 5,，x1<x3, 同理，x2= 30+x1 20 = x1+10.x1<x2,同理，x3= 30+x2 35= x2 5, x3<x2故选 C绝密启用前2006年普通高等学校招生全国统一考试数 学(文史类)(北京卷)本试卷分第I卷(选择题)和第 n卷(非选择题)两部分，第 I卷1至2页，第n卷3 至9页，共150分。考试时间120分钟 考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。第II卷(共110分)注意事项：1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。2.答卷前将密封线内的项目填写

16、清楚。题号一三总分151617181920分数四、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。(9)若三点A(2 , 2), B(a,0), C(0,4)共线，则a的值等于 4。解：aB = ( a-2, 2) , AC = (-2, 2),依题意，向量 aB与期 共线，故有2 (a 2) 4 = 0,得 a=4,f 2、3, 一(10)在x- i的展开式中，X3的系数是84 .(用数字作答)< x)2解：Ti=C；x7H( )r =(2)rC；x7，令 72r = 3,解得 r = 2,故所求的系数为(-2)2 02 x=84(11)已知函数 “乂)=2、一4

17、2+3的反函数的图象经过点(-1,2),那么a的值等于2_二 解：依题意，当x=2时，y=1,代入f (x) =ax4a+3中，得a= 2(12)已知向量 a=(cos a ,sin a), b=(cos 口，sin 口)，且 a# ± b,那么 a+b 与 a-b 的夹角冗的大小是_.-2解：a+b= (cos a + cos P , sin a +sin B ), a- b= (cosot cos P , sin a sin P ),设a+b与a- b的夹角为日，贝U cos6= 0,故8=2(13)在 ABC 中，/A,/B,/ C 所对的边长分别为a,b,c.若 sinAsi

18、nB：sin0=5： 7 ：8,贝U a ： b ： c=_5 : 7 : 8,/ B 的大小是 60 口 解：由正弦定理得 sin A: sin B :sin C =5: 7:8 u a b c = 5：78 设 a = 5k, b=7k, c = 8k,由余弦定理可解得/B的大小为(.(14)已知点P(x,y)的坐标满足条件x y 一 4,<ytx, 点。为坐标原点，那么|PO|的最小值等于x -1,、:2 ，最大值等于.10解：画出可行域，如图所示:易得 A (2, 2),。七 2盘B (1, 3) , O云 厢C (1, 1), OC=夜故|OP|的最大值为闻,最小值为2.三、解

19、答题(本大题共6小题，共80分)(15)(共 12 分)解：(1)由8$*金0 得 xw ku + (kCZ),冗故 f(x)的定义域为 |x|xw ku + ,k Z(n )因为tan a = - ,H a是第四象限的角3所以sin a4= 一,cos a5故 f( a )=1 -sin 2：cos:_ 1 -2sin : cos：cos :4915(16)(共 13 分)解法一：(I)由图象可知，在(-8,1)上 f'(x)>0,在(1,2)上 f'(x)<0.在(2,+ 8)上 f ' (x)>0.故f(x)在(-8,1),(2,+ 8)上递增,

20、在(1,2)上递减.因此f(x)在x=1处取得极大值，所以x0=1.(n ) f ' (x)=3 ax2+2bx+ c,由 f (1)=0, f (2)=0,f(1)=5,3a 2b c = 0,得 12a+4b+c= 0, 解得 a=2,b=-9,c=12. a b c = 5.解法二：(l)同解法一.(n )设 f '(x)=m(x-1)(x-2)=mx2-3mx+2m,又 f (x)=3ax2+2bx+c,所以m3a= ,b=m,c=2m, 32m 332f(x)= x - mx 2mx.32所以 a=2,b=9,c=12.m 3由 f(l)=5, 即 一 m + 2m

21、= 5, 得 m=6. 32(17)(共 14 分)解法一：(1) ABCDA1B1C1D1 是正四棱柱,CCJ平面 ADCD, .-.BD ±CC1. ABCD 是正方形 BD XAC 又AC, CCU 平面 ACC1A1, 且 AC A CC1=C,BD，平面 ACC 1A1.(n )设 BD 与 AC 相交于 O,连接 C1O. CCJ平面 ADCD, . BD ±AC, BD ±C1O,C1OC/是二面角 C1-BD-C 的平面角，C1OC=60o. 连接 A1B. A1C1/AC,. . / A1C1B 是 BC1与AC所成的角.设BC=a,则 210C

22、O -2 a,CC1 -CO tan60：AB =BC1=a.AC1 - ；2a.22在ABG中，由余弦定理得cosAC1B = AC12 暗一相一, 2AC1 BC15ACB_arccosJ' a> 1 b arccos5，异面直线BG与AC所成角的大小为5arccos.5解法二：(I )建立空间直角坐标系Dxyz,如图.设 AD=a,DD 1=b，则有 D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),C 1(0,a,b),BD二(-a,-a,0), AC =( -a,a,0),CC1 =(0,0, b),. BD AC -0,BD CC； =0,二 B

23、D _L AC,BD _LCC1,又，.，AC,CC1 a 平面 ACC1A1,且ACQ CC1 =C, , BD _L平面ACC1A.a aa a .、()设BD与AC相交于O,连接CiO,则点O坐标为(,一,0), OCi= (- -,-,b), 2 22 2y?BD OC； =0,. BD _LC1O,又BD ICO,J./C1OC是二面角 C1 BDC的平面角，C1OC=60,: tanC1OC = CC； = -b=3,. b = -6 a.OC 22,; AC =(a,a,0), 820, b), 7Th AC BC； ,5.cos AC, BC1 ： = 丫 =, ;| AC |

24、 | BC； |5一»，、一 AS ， I 、，, 5，异面直线BG与AC所成角的大小为arccos .(18)(共 13 分)解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A, B,C,则 P(A)=0.5, P(B)=0.6, P(C)=0.9.(I )应聘者用方案一考试通过的概率pi=P(A B C )+P( AB- C)+P(A B - C)+P(A - B - C)=0.5X0.6X 0.1+0.5X 0.6X 0.9+0.5X 0.4X 0.9+0.5 X 0.6 X 0.9 =0.03+0.27+0.18+0.27=0.75.(n )应聘者用方案二考试通过的概率P2= 1 P(A - B)+ 1 P(B - C)+ 1 P(A - C)3331=-X (0.5 X 0.6+0.6 X 0.9+0.5 X 0.9)31=X 1.293=0.43(19)(共 14 分)解法一：(I)因为点P在椭圆C上，所以2a =PF1PF2=6, a=3.在 RtPFiF2 中,F1 F2从而 b2=a? - c2=4,= V|PF22-PF12 = 2<5,故椭圆的半焦距c= J5 ,2 X所以椭圆C的方程为一 92+ = 1.4（n ）设 A, B 的坐标分别