南宁市普通高中2021届高三10月摸底测试理科数学(含答案解析)

1、绝密启用前理科数学试題第3页（共4页）2021届南宁市普通高屮毕业班摸底测试理科数学（考试时间：120分钟 满分：150分）注意事项：1. 本试卷分第t卷（选择题）和第n卷（非选择題）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓 名、准考证号填写在答题卡上。2. 回答第I卷时，选出每小題答案后，用铅笔把签题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3. 回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题

2、目要求的.1.已知集合 A=x|-l<x<3,B=ez|/=2x+leA,则 ARB 的元素个数为A. 4个B.3个C.2个D. 1个2复数吿的虚部是3. 已知a"均为单位向量，它们的夹角为120°,c=M若a丄c,则下列结论正确的是A. 2入+=OB. 2A “=0C.入一“=0D.卄“=04. 设直线忑=4与抛物线C：y=2Ar（p>0）交于D,E两点，若OD丄OE（O为坐标原点）则C 的焦点坐标为A. （+，0）B（*,0）C.（l,0）D. （2,0）5. 组数IE的平均数为加，方差为",将这组数据的毎个数都乘以«（«

3、>0）得到一组新数据则 下列说法正确的是A. 这组新数据的平均数为mB. 这组新数据的平均数为a+加C. 这组新数据的方差为anD. 这组新数据的标准差为a店6. 在AABC中，角A,B,C的对边为a "心若a=4=5,c=6,则辱孕=Sill k-zA-1D. 17. 如图网格纸上小正方形边长为1,粗线是一个棱锥的三视 图，则此棱锥的表面积为A. 4+4 屈B. 2+672C. 3+32D. 88. 已知 (0,Q ,cos(a+$) =*，则 sin a 的值为A "土3r 4用_3凡 10-10D牛9射线测厚技术原理公式为Z=70e-SKi|-厲分別为射线穿过被

4、测物前后的强度,e是自 然对数的底数，为被测物厚度屮为被测物的密度屮是被测物对射线的吸收系数.丁业上通 常用锵241(2tlAm)低能y射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0. 8(单 位:cm),钢的密度为7. 6(单位:g/cm3),则这种射线的吸收系数为(注:半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，In 2 = 0. 6931,结果粘确 到 0. 001)A. 0.110B.O. 112C. 0.114D.O. 11610. 已知过定点A(0,6)(6>0)的直线2与圆O：F+y = l相切时，与，轴夹角为45°,则宜线/ 的方程为A. jty

5、+屈=0B.工+夕一1=0C. x-yj2=Q 或、y+"2=0D.広十1=0 或 xy十 1=011. 已知双曲线C的中心为坐标原点O,焦点在x轴上，设双曲线C的左焦点为F,右顶点为B, 点P为C上一点，且PF丄工轴，若| PF|=2|BF|，则双曲线C的离心率为A. 3B. 2C 号D号12. 已知函数 /(/)=¥+*一工,若 o = /(20 3)=/ (2),c=f(log25)ia,b,c 的大小关 系为A. c<ib<ZaB aWcC. c>a>bD. bAc>ci第II卷本卷包括必考题和选琴题两部分.第1321题为必考题每个试题

6、考生都必须作答第 22.23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题每小题5分，共20分.徉匸+耳一3=0,13. 设工*满足约束条件2工一3y+3$0,则尤=2工+y的最小值是y+3$014. 若Q十2)' =:r'+a疋十加+“力十“则ad-b+c+d+e的值为15. 已知球在底面半径为1、高为2©的圆锥内,则该圆锥内半径报大的球的体积为.16. 已知函数 y（x）=sin x2x 若 /（l3a）+2a+3）冬0则实数 a 的取o»Z*值范禺是三、解答题:本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分

7、）设数列“满足心=1 ,d”+i = 2a“一（2打一3）.（I）计算如心，猜想仏”的通项公式并利用数学归纳法加以证明；（U）记九=2” 5，求数列仏的前w项和S,频率18. （本小题满分12分）某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取 了 “名学生进行调査将调査得到的学生日均课余 读书时间分成0,10）10.20）,20,30）, 30,40）, 40,50）,50,60六组，绘制成如图所示的频率分 布克方图将日均课余读书时间不低于40分钟的 学生称为“读书之星”，日均课余读书时间低于40 分钟的学生称为“非读书之星”.已知抽取的样本屮 口均课余读书时间低于10分钟的有10人（I）求”和

8、”的值；（II）根据已知条件和下而表中两个数据完成下而的2X2列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关?非读书之星读书之星总计男女1055总计（III）将木次训查所得到冇关事件发生的频率视为梵发生的概率J：见从该地区大址学生中随 机抽取20名学生参加读书与文学素养的研讨会，记被抽取的J卖书之星"人数为随机变 最X求X的数学期望E（X>.附sK' = (a+")(c+d)(a+CG+d)'其中P（KS。）0. 100. 050.0250.0100. 0050. 0012. 7063. 8415.0246. 6357. 87910.

9、82819（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC-A山G中,点E、F在侧棱上, 且"E=2EE，GF=2FC，点 D、G 在側棱 AB、AC 上，且 BD = 2DA,CG=2GA.（I）证明：点G在平面EFD内；（11 ）若ZBAC=9O°,AB=AC=1,AA1=2,求二面角 A-AB, 一 C.的余弦值.20. （本小题满分12分）已知椭圆C：若+话=1 （«>/;>0）的左、右焦点分别为F,、R ,椭圆的离心率为曹，若M是 椭圆上的一个点，且|MFj +|MFz | =4旋.（I）求椭圆C的标准方程；（II）已知点P（2,y。）是椭圆（:上

10、位于第一象限内一点，直线I平行于OP（O为原点）交椭圆 C于A、B两点，点D是线段AB上（异于端点）的一点，延丘PD至点Q,使得3PD= 反，求四边形PAQB面积的最大值.21. （本小题满分12分）已知函数/（刃=4（工一2记+ （工一1）2,（°工0,“1）.（I）当a = T 时,求函数/Cr）的单调区间；（II）若心>0,证明：函数3，=/匕）有两个不同的零点.请考生在第22.23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做 的第一个题目计分.22. （本小题满分10分选修4-4：坐标系与参数方程：匕=1 +2cos a在玄角坐标系.rQy中，曲线G

11、的参数方程为H 厂 C . （a为参数），曲线G与坐标 ly=J3 +2sm a轴交于（异于坐标原点O）两点m,n.（I）求线段MN的长度；（II）以坐标原点O为极点m轴的正半轴为极轴建立极坐标系，己知点M,N关于直线/对 称，求宜线/的极坐标方程.23. （本小题满分10分选修4一5：不等式选讲：已知函数 /（x） = 12工一 11 +12x+a | ,g（x） =乂+3（I ）当a = -2时，求不等式fCxXgM的解集；（II）设“一1,且当疋| y*y）时，/（工XpQ）,求的取值范国2021届南宁市普通高中毕业班摸底测试理科数学参考答案一、选择題2.D【解析】岂=厝船葺=宁=卡+今

12、i,故选D.3. A【解析】因为a丄c,所以a c=a 伽一/方）=0,可得卄专=0,即2卄“=0.故选24（：【解析】曲对称性可知：JU）的坐标为（4川）戎（4.一4）代入抛物线y=2p.r,解得p=2.所以犯物线方程为：y =4<它的假点坐标为（1<0）>故选C6. D【解析】瞬=警罟亠沦“諾鶴磐=专护1故选D.7. A【解析】由已知中的三视图可得：此校锥ABCD的克现图如下图所示： ABD和CED都是直角边为2和2©的点角三角形.A/WC和ADC均 是边长为2的等腰直角三角形所以其表面积为S=2X*X2X2血+ 2X*X2? =4+4挖故选 A.&B【

13、解析】因为a W （0,兀），cos （a+青）=g得血6+卡）=*，所以sin a=sin（卡+a） - - ） =sin （卡+a） cos cos （卡+a） sin 卡=令 X73_325xl理科数学参考答集一1由已知可得I PF|=J BF| =a+c<9. C【解析】由题总可得* = 1><35,一hi2 = -76XO8/“即6. 08=0. 6931 則“心0114. 这种射线的吸收系数为0. 114.故选C10. C【解析】设立线/的方程为y=kr+b.切点为匕曲题设可知ZPAO=ZR>1=45°,所以6=2 因为克线/与圆才+"

14、= 1相切所以-= = 1,得Xr=±l故直线/的方程为，=士#+施,故选C.11. A【解析】如下图：设双曲线C的半实轴.半皮轴、半焦距分别为冷=2（卄八即加+2级， 化简得e2-2e-3=0.得亡=3故选代12. B【解析】由/(小山；=2+/-1=“一1($+1), 所以函数/Q)在(l+oo上单调递璟 因为1<2<2】0也5>1阴?4 = 2 所以 2°彳<2<log25,所以 /(20 3 )</(2)</( lo©5即 a<b<c.故选 R二、填空题2.r+3y3=013.-15【解析】根協约束条件

15、扌2,r-3y+3>0画出可行域(图中阴够部分)作 y+30直线人2工+y=0,平移直线人将直线平移到点A处二最小点人的坐标为 (6.3).将点八的坐标代到目标函数z =可得茫=15.即细门=1514.242 【解析】令工=1 代入可得 p+&+c+d+«=(l+22 15=3' l=24215晋兀【解析】易知半径晟大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴裁而如图所 示，点M为EC边上的中点由題设BC=2.AM=229.求得AB=AC=39设内切 圆的圆心为O.故SA.A/r=yX2X2/2=2/2,设内切同半径为厂则：Sg = S“ +Ssc+Sy,=* X7U

16、3X厂十* X BCX厂+* XACXr = yX(3+34-2)Xr=2>/2 解得汀=给其体积：V=y = y 161,4【解析】由 /(Q=sin(H+2一Q (±)= sin函4t/C.r)为奇函数./(,r)=cos.r+2+4>0 在(一8.0) U(0，十8)上恒成立所以 心在(O.+oo) 上为增函数.曲 f( 13u ) + f(d:2°+3)冬0 得 /(a'2a+3f( 13d) 即/(<r-2a+3X/(3«-l),因为a>y时.3么一 lX)./力+3>0所以寻价于济一2“+3冬3“一1 解 得1&#

17、171;三、解答题17【解析】(I山题意可得© = 2山十1 = 2+1 = 3心=2血一1 = 61 = 5由数列久的前三项可猜想数列bd是以1为首项2为公差的等差数列.即心=2一 1, (2 分)证明如下当 ”=1 时tai =2X1 1 = 1 成立$假设n=k时色=2«1成立.那么 n=k +1 吋山卄1=2彳一(263)=2(2力一1)一(2«3=2/:十1=2伙+1) 1 也成立.则对任窓的/iN-,都有an=2n-l成立；(6分(II)因为几=(2”一1)2“AS. = 1X2+ 3 X 22 +5 X 23HF(2wl)X2%02S4f = lX2

18、2+3X2s+5X24+-+(2M-l)X2-+S 一得：一S用=2+2X22+2X2'+2X2'+十 2X2”一 (2一1 )X2+理科数学多考签案一 2=2+ $#三2匸 2 一（ 2一 1X 2小=一 6（ 2一 3 ） X 2卄I5, = (2兀一3><2卄】+6.（12 分18.【瀚】(I )(0.005+p+0 018+0. 020+0. 022+0. 025)X10=1,解得:p=0.01,所洪打=君=100.（3分（II）因为n=100>所以“读书之星”有100X0.25=25.从而2X2列联表如下图所示,非读书之星读书之星总计男301545女

19、451055总计7525100将2X2列联表中的数据代入公式计毎得因为3.030<3. 841所以没有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关.（8分（皿）務硕率视为概率即从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星'的概率为*由题总可知XB（20,*）,所以E（X）=20Xy=5<人）.（12 分19.【解析” I ）证明：连接DG.FG.因为点E、F在側棱BBt g 上且B,E= 2EB,ClF=2FC.又 BB/CG 且 BBi=CG所以 EB/FC且EB=FC所以四边形BCFE为平行四边形所以EF/BC.又因为点D.G在侧枝ABSC上.且BD=2DA.CG=2GA, 所

20、叹 GD/BG且 GD=BC.所以EF/GD且GD=yEF,故四边形DEFG为梯形即D、E、F、G四点共面，所以点G在平面EFD内. （6分）（U）由题设知人Bx 4G .A】A两两垂立以AiCi为工轴为，轴.AiBi为z轴建立空间jt角坐标 系Ai 巧N.由 AB=AC=l.AAl =2得 Ai (0.0.0) A(0.2.0),B (0,0.1)G<100入设乂面 ABiG 的法向童为因为AG = <b-2,0>.BG= <1,0,-1).n AQ=x2=0>取y=l则 *=z=2所以 n=<2tL2). n BiCt=xz=0所以又m = （1闪,0是

21、平面AA； B）的一个法向量，所以cox<mt «> =9(12 分)印二面角A, -ABi-Ci的余孩值为手理科教学参考签案一320.【解析】（I ）由椭圆的定义及| MF. | + | MF21 =4吃得2°=4©即a=22设椭圆半焦距为“为£=哼.所以尸哼么=届 a 2Zlr=（r-r=2.所以确圆C的标准方程为专+备=】 （5分）（II ）由（I ）得P（2,l.所以阳=*设A5）旧（护2化）立线I的方程，=*才+”厲0）1联立°消去y整理可得2疋+4+4卢一8=0.=+工=I 8 十 21由=16/4 2 （4”一8）&g

22、t;0.又则 0<<4»且x + 文2 = 2/“】工2=2产一4. （7分）所以弦长|/B| =Q 1+* x/（* + 才2）' in卫=用/l尸P到JL线AB的距离为d则d= 上I ,=岁>（9分）吁L设 Q到克线的距离为 dd7 3PD=DQ3|PD| = |1JQ|，所以 / = 3d.所以 Saqib =*/ 丨 AB I =y 3d I AB =3Spab 所以 ®g=SHM+Sg,“=4SaM=2dMB| =2 马-75/4=7=4 /-<z2-2）2+4<8.当且仅当l2 =2时取等号所以四边形PAQH面积的说大值为&

23、amp; （12分）21【解析】（I由/（0 = （工一2疋+ "12.f < j-） = < j1 I 2（ j1） = （j1） （ er 4-2>. （1 分）d） /7（x）=0 得 x= 或 x=ln 2,当 2-e（-oajn2）./（j-）<o.函数 /a> 单调递减：e<ln2-l）t/（）>0>函敎/（工）单调递増；才（l+ooJdVO圉數/（G）单调递减. （6分）（II）«/'（丁=“（才1）+2（才1 ） = （.r1 ）（b+2） 当a>0时（卅+2>0,由f （工V 0得x<b所以“才）在（一oo.l）上为减函歌，由/（丁>0得工>1,所 以在（l.+oo上为增函数而 /（l） = -ae<0,/<2） = l>0,所以/"）在（l.+oo上有唯一零点9且该窣点在（1.2）上取