线性系统理论第二章系统状态空间模型

1、线性系统理论第二章系统状态空间模型2 2.1 系统的状态空间描述系统的状态空间描述 2.2 系统按其状态空间描述的分类系统按其状态空间描述的分类 2.3 化输入化输入-输出描述为状态空间描述输出描述为状态空间描述 2.4 状态方程的对角线规范型和约当规状态方程的对角线规范型和约当规范型范型 2.5 由状态空间描述导出传递函数矩阵由状态空间描述导出传递函数矩阵 2.6 线性系统在坐标变换下的特性线性系统在坐标变换下的特性 2.7 组合系统的状态空间描述组合系统的状态空间描述第2章 线性系统的状态空间描述32.1 系统的状态空间描述2u1upuqy2yqynxxx,21 系统动态过程的数学描述系统

2、动态过程的数学描述 考察一个系统由一些相互制约的部分构成整体，可用上图所示的一个方块来表示。方块以外的部分为系统环境，环境对系统的作用为系统输入，系统对环境的作用为系统输出，两者分别用 u 和 y 表示，称其为系统外部变量。用以刻画系统在每个时刻所处状况的变量为系统的内部变量，用 来表征，这些变量随着时间的变化体现了系统的行为。系统的数学描述就是反映系统变量间因果关系和变换关系的一种数学模型。42.1 系统的状态空间描述(1) 系统的外部描述系统的外部描述 外部描述常被称作为输出输入描述例如:对SISO线性定常系统:时间域的外部描述:ubububyayayaynnnnn0)1 (1)1(10)

3、1 (1)1(1)(复频率域描述即传递函数描述复频率域描述即传递函数描述 11101110( )( )( )nnnnnbsb sby sg su ssasa sa2u1upuqy2yqynxxx,21 52.1 系统的状态空间描述(2) 系统的内部描述系统的内部描述 (3) 外部描述和内部描述的比较外部描述和内部描述的比较 状态空间描述是系统内部描述的基本形式,需要由两个数学方程表征状态方程和输出方程 一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述,不能反映黑箱内部结构的不能控或不能观测的部分内部描述则是系统的一种完全的描述,能够完全反映系统的所有动力学特性. 62.1 系统的状态空间描述状态：状

4、态：一个动力学系统的状态定义为由其状态变量组 )(,),(21txtxtxn所组成的一个列向量 状态变量组：状态变量组：一个动力学系统的状态变量组定义为能完全表征其时间域行为的一个最小内部变量组 12( )( )( )( )nx tx ttx tx 状态空间：状态空间：状态空间定义为状态向量的一个集合，状态空间的维数等同于状态的维数 72.1 系统的状态空间描述几点解释 (1) 状态变量组对系统行为的完全表征性 (2) 状态变量组最小性的物理特征 (3) 状态变量组最小性的数学特征 (4) 状态变量组的不唯一性 (5) 系统任意两个状态变量组之间的关系 (6) 有穷维系统和无穷维系统 (7)

5、状态空间的属性 82.1 系统的状态空间描述系统的状态空间表达式（动态方程或运动方程）:描述系统输入、输出和状态变量之间关系的方程组 状态方程（描述输入和状态变量之间的关系） 输出方程（描述输出和输入、状态变量之间的关系）。 0( )( ) , ( )( )xA t xB t uttyC t xD t u 92.1 系统的状态空间描述 电路系统状态空间描述的列写示例电路系统状态空间描述的列写示例 )(te1RLCcU2R2RULiCiedtdiLdtduCRiRdtdiLdtduCRuLcLLcc1120以上方程可表为形如 XAXBuYCXDueRRRiuRRRRRRRueRRLRCRRiuR

6、RLRRRRLRCRRRCRRiuLcRLcLc2122121212212212121211211212)()(1)()()()(1102.1 系统的状态空间描述 机电系统状态空间描述的示例机电系统状态空间描述的示例 )(teaRaLconstifFJ,aaaMaeaaaaMeaaaaieLiJfJcLcLRidtdJficecdtdiLiR1001上式可表为形如上式可表为形如 XAXBuYCXDu112.1 系统的状态空间描述 连续时间线性系统的状态空间描述连续时间线性系统的状态空间描述 动态系统的结构动态系统的结构输出部件输出部件1u2upu1x2xnx1y2yqy连续时间线性系统的状态空

7、间描述连续时间线性系统的状态空间描述 线性时不变系统线性时不变系统 线性时变系统线性时变系统 DuCXYBuAXXutDXtCYutBXtAX)()()()(动力学部件动力学部件122.1 系统的状态空间描述 连续时间线性系统的方块图连续时间线性系统的方块图 )(tB)(tC)(tDXYUX)(tADuCXYBuAXX132.1 系统的状态空间描述 离散时间线性系统的状态空间描述离散时间线性系统的状态空间描述状态空间描述形式 离散时间线性时不变系统 (1)( )( )( )( )( )X kGx kHu kY kCx kDu k传输矩阵阵输出矩阵阵输入矩阵阵系统矩阵阵:DpqCnqHpnGnn

8、离散时间线性时变系统(1)( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )X kG k x kH k u kY kC k x kD k u k142.1 系统的状态空间描述离散时间线性系统的方块图离散时间线性系统的方块图)(kH)(kC)(kD) 1( kx)(ky)(ku)(kx)(kG 状态空间描述的特点状态空间描述的特点 状态方程形式上的差分型属性 描述方程的线性属性 变量取值时间的离散属性单位延迟单位延迟152.1 系统的状态空间描述 人口分布问题状态空间描述的列写示例人口分布问题状态空间描述的列写示例假设某个国家，城市人口为107,乡村人口为9x107，每年4%的城市人

9、口迁移去乡村，2%的乡村人口迁移去城市，整个国家的人口的自然增长率为1% 设k为离散时间变量， x1(k)、x2(k)为第k年的城市人口和乡村人口, u(k)为第k年所采取的激励性政策控制手段,设一个单位正控制措施可激励5104城市人口迁移乡村,而一个单位负控制措施会导致5104乡村人口去城市, y(k)为第k年全国人口数 )(10501. 1)(04. 001. 1)()02. 01 (01. 1) 1()(10501. 1)(02. 001. 1)()04. 01 (01. 1) 1(41224211kukxkxkxkukxkxkx写成矩阵形式41142212(1)( )0.96960.0

10、2025.0510( )(1)( )0.04040.98985.0510( )( )11( )xkxku kxkxkxky kxk16第2章 线性系统的状态空间描述 2.1 系统的状态空间描述系统的状态空间描述 2.2 系统按其状态空间描述的分类系统按其状态空间描述的分类 2.3 化输入化输入-输出描述为状态空间描述输出描述为状态空间描述 2.4 状态方程的对角线规范型和约当规状态方程的对角线规范型和约当规范型范型 2.5 由状态空间描述导出传递函数矩阵由状态空间描述导出传递函数矩阵 2.6 线性系统在坐标变换下的特性线性系统在坐标变换下的特性 2.7 组合系统的状态空间描述组合系统的状态空间

11、描述172.2 系统按其状态空间描述的分类设系统的状态空间描述为 ( , )( , )xfx u tyg x u t向量函数 ),(),(),(),(),(),(),(),(2121tuxgtuxgtuxgtuxgtuxftuxftuxftuxfqn，若f(x,u,t)，g(x,u,t)的全部或至少一个组成元为x、u的非线性函数,该系统称为非线性系统 若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部组成元为x、u的线性函数,该系统称为线性系统 对于线性系统 utDXtCYutBXtAX)()()()(非线性系统可以用泰勒展开方法化为线性系统 182.2 系统按其状态空间描述的分类 若向量 f，g不显

12、含时间变量 t，即 ),(),(uxgguxff该系统称为时不变系统时不变系统 若向量 f，g显含时间变量 t，即 ),(),(tuxggtuxff该系统称为时变系统时变系统 当且仅当系统的输入变量，状态变量和输出变量取值于连续时间点，反映变量间因果关系的动态过程为时间的连续过程，该系统称为连续时间系统 DuCXYBuAXXutDXtCYutBXtAX)()()()( 当且仅当系统的输入变量，状态变量和输出变量只取值于离散时间点，反映变量间因果关系的动态过程为时间的不连续过程，该系统称为离散时间系统。)()()()()()1(kDukCxkYkHukGxkX)()()()()()()()()(

13、)1(kukDkxkCkYkukHkxkGkX192.2 系统按其状态空间描述的分类 称一个系统为确定性系统，当且仅当不论是系统的特性和参数还是系统的输入和扰动，都是随时间按确定的规律而变化的 称一个动态系统为不确定性系统，或者系统的特性和参数中包含某种不确定性，或者作用于系统的输入和扰动是随机变量 20第2章 线性系统的状态空间描述 2.1 系统的状态空间描述系统的状态空间描述 2.2 系统按其状态空间描述的分类系统按其状态空间描述的分类 2.3 化输入化输入-输出描述为状态空间描述输出描述为状态空间描述 2.4 状态方程的对角线规范型和约当规状态方程的对角线规范型和约当规范型范型 2.5

14、由状态空间描述导出传递函数矩阵由状态空间描述导出传递函数矩阵 2.6 线性系统在坐标变换下的特性线性系统在坐标变换下的特性 2.7 组合系统的状态空间描述组合系统的状态空间描述212.3 化输入-输出描述为状态空间描述 对于单输入，单输出线性时不变系统,其微分方程描述 ububububyayayaymmmmnnn0)1(1)1(1)(0)1(1)1(1)(其传递函数描述 011101111)()()(asasasbsbsbsbsUsYsgnnnmmmm可以导出其状态空间描述为 1111RdRcRbRARxducxybuAxxnnnnn222.3 化输入-输出描述为状态空间描述结论结论1 给定单

15、输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,ububububyayayaymmmmnnn0)1(1)1(1)(0)1(1)1(1)(其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出 011101111)()()(asasasbsbsbsbsUsYsgnnnmmmm(1) m=n，即系统为真情形，即系统为真情形ubxabbabbabbyuxaaaaXnnnnnnn)(,),(),(100010000000101111001210设 zazazunnn0)1(1)( 232.3 化输入-输出描述为状态空间描述( )(1)10( )(1)10(2 )(21)( )(21)(22)10111(1)( )(1)1

16、000100( )(1)( )( )(1011()(nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnyaya yb ubub ub zb azb a zbzbazba zb zb azb a zb zbzb zab zbz1)(1)0( )(1)010)()nnnnnb zab zbzb z可见可见 zbzbzbynnnn0)1(1)( 242.3 化输入-输出描述为状态空间描述12231( )(1)11011201( )(1)101120110100111211,()()()()nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxzaza za zuaxa xa

17、 xuyb zbzb zbaxa xa xubxb xba bxba bxbabxb u 有有 (1)12,nnxz xzxz 令令 zbzbzbynnnn0)1(1)(zazazunnn0)1(1)( 252.3 化输入-输出描述为状态空间描述写成矩阵形式：写成矩阵形式： ubxxxxbabbabbabbabyuxxxxaaaaxxxxnnnnnnnnnnnnnnnn1211122110012112101211000100001000010 (2) mn，即系统为严真情形，即系统为严真情形 xbbbyuxaaaaXmn0010001000000010101210011101111)()()(

18、asasasbsbsbsbsUsYsgnnnmmmm2.3 化输入-输出描述为状态空间描述 272.3 化输入-输出描述为状态空间描述112233123010000106401941617201600 xxxxuxxxyxx 例例 给定系统的输入给定系统的输入-输出描述为：输出描述为：(3)(2)(1)(1)16194640160720yyyyuu利用利用(1.35)即可定出相应的一个状态空间描述为：即可定出相应的一个状态空间描述为：112233123010000106401941611840616644xxxxuxxxyxux 例例 给定系统的输入给定系统的输入-输出描述为：输出描述为：(3

19、)(2)(1)(3)(1)161946404160720yyyyuuu利用利用(1.39)即可定出相应的一个状态空间描述为：即可定出相应的一个状态空间描述为：282.3 化输入-输出描述为状态空间描述结论结论2 给定单输入、单输出线性时不变系统的输入输出描述，其对给定单输入、单输出线性时不变系统的输入输出描述，其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出应的状态空间描述可按如下两类情况导出 (1) m=0情形情形此时输入输出描述为: ubyayayaynnn00) 1 (1) 1(1)(01110)(asasasbsgnnn选取n个状态变量 ) 1(21nnyxyxyx 292.3 化输入-输出描

20、述为状态空间描述其对应的状态空间描述为: xyubxaaaaxn0, 0, 10001000000010012101nxnxnx 0bs1s1s11xy2xu1na2na0a1a 302.3 化输入-输出描述为状态空间描述(2) m0情形情形此时输入输出描述为: ububububyayayaynnnnnnn0)1(1)1(1)(0)1(1)1(1)(011101111)(asasasbsbsbsbsgnnnnnnnuuuyuxxuuuyuxxuuyuxxuyxnnnnnnn1)2(1)1(0)1(112102231011201 1) 312.3 化输入-输出描述为状态空间描述其对应的状态空间描

21、述为其对应的状态空间描述为: 1210121001000000011,0,0nnnxxuaaaayxu其中其中00112211001122201110aaaabaababbnnnnnnnnnnn 322.3 化输入-输出描述为状态空间描述2)ubububyayaynnnnnnn0)1(1)(0)1(1)(ubyaubyaubyaubynnnnn00)1(11)1(11)()()()(改写为改写为 令令 12111111,nnnnnxyb u xxaybuxxa yb u1111122222111110001211000100010001000nnnnnnnnnnnnnnnnnxxababxxa

22、babuxxaba baba bxxxxybxxu 332.3 化输入-输出描述为状态空间描述结论结论3 给定单输入单输出线性时不变系统的传递函数描述为：给定单输入单输出线性时不变系统的传递函数描述为： 01110111)(asasasbsbsbsbsgnnnmmmm其极点即分母方程的根其极点即分母方程的根, n,21为两两互异实数，则对应为两两互异实数，则对应(1) mn，即系统为严真情形，即系统为严真情形 nissgksksksksgisinn, 2 , 1),)(lim)(2211对应的状态空间描述为对应的状态空间描述为 11221,1,1nnkkxxuyxk 的状态空间描述可按如下两类

23、情形导出：的状态空间描述可按如下两类情形导出：342.3 化输入-输出描述为状态空间描述(2) m=n，即系统为真情形即系统为真情形 令令nissgkasasasabbsabbsgsgbasasasbsbsbsbsgisinnnnnnnnnnnnnnnn, 2 , 1),)(lim)()()(01110011101110111对应的状态空间描述为：对应的状态空间描述为：11221,1,1nnnkkxxyxb uk 352.3 化输入-输出描述为状态空间描述例例1 设系统方块图如下，试列写其状态空间描述设系统方块图如下，试列写其状态空间描述 451372sss21s解解 上图等效为上图等效为 2

24、1s45s12su1xy3x2x指定状态变量组后，列写指定状态变量组后，列写变量间的关系方程：变量间的关系方程：21333223112)(2)(54xxyyxxxuxxxuxx 362.3 化输入-输出描述为状态空间描述写成矩阵形式写成矩阵形式 111222333405501221 101120 xxxxxuyxxxx 21333223112)(2)(54xxyyxxxuxxxuxx 例例2 设单输入单输出系统的传递函数为设单输入单输出系统的传递函数为 3322113211231113231)()()()()()(sesesesesessssBsg试列写其状态空间表达式。试列写其状态空间表达式

25、。 372.3 化输入-输出描述为状态空间描述结构图如下结构图如下 11s21s31s11s11s11e12e13e2e3eu1xy3x2x5x4x写出变量之间的关系写出变量之间的关系 534231321211153542431332122111xexexexexeyuxxuxxuxxxxxxxx 382.3 化输入-输出描述为状态空间描述写成矩阵形式写成矩阵形式 54321321312115432132111543211110000000000000000100001xxxxxeeeeeyuxxxxxxxxxx 392.3 化输入-输出描述为状态空间描述也画出结构图为也画出结构图为 11s1

26、1s11se1131s21se13e12uy11x12x13x2x3xe2e33322113211231113231)()()()()()(sesesesesessssBsg可写出系统的动态方程为可写出系统的动态方程为 ueeeeexxxxxxxxxx32131211321312113211132131211000000000010000100003213121111100 xxxxxy 402.3 化输入-输出描述为状态空间描述例例3)1 (11)()()(2121211211sszsssksszsssksssszsksG设设画出结构图画出结构图 uyk11ss21ss12zs 1x2x动态

27、方程为动态方程为 21122121210101xxkyuzsxxssxx 41第2章 线性系统的状态空间描述 2.1 系统的状态空间描述系统的状态空间描述 2.2 系统按其状态空间描述的分类系统按其状态空间描述的分类 2.3 化输入化输入-输出描述为状态空间描述输出描述为状态空间描述 2.4 状态方程的对角线规范型和约当规状态方程的对角线规范型和约当规范型范型 2.5 由状态空间描述导出传递函数矩阵由状态空间描述导出传递函数矩阵 2.6 线性系统在坐标变换下的特性线性系统在坐标变换下的特性 2.7 组合系统的状态空间描述组合系统的状态空间描述422.4 状态方程的对角线规范型和约当规范型 特征

28、多项式特征多项式 连续时间线性定常系统 BuAxx(),det()sIAsIA特征矩阵特征多项式(1) 特征多项式特征多项式0111)det()(sssAsIsnnn110,n均为实常数均为实常数 (2) 特征方程式特征方程式 00111sssnnn 线性定常系统的系统矩阵A 的特征值特征值是表征系统的动力学特征的一个重要参量。 给定系统给定系统 A,B,C,D，当，当 A 的特征值两两相异时，利用特征向量组的特征值两两相异时，利用特征向量组成变换矩阵，可化为对角形；成变换矩阵，可化为对角形； 当当 A 的特征值不是两两相异时，有时可以化为对角形，有时不能化的特征值不是两两相异时，有时可以化为

29、对角形，有时不能化成对角形，只能化为约当形。成对角形，只能化为约当形。432.4 状态方程的对角线规范型和约当规范型 特征向量特征向量 一个阶数为n的系统，必有且仅有n个特征值，可为实数或共轭复数共轭复数。称一个非零列向量vi为矩阵为矩阵A 的属于特征值 的属于特征值的特征向量， 如果 成立,这个特征向量是不唯一的。 当n个特征值 为两两互异时，任取的n个特征向量 必是线性无关的。12,n 12,nv vv()0iiIA vi结论结论 对 n 个特征值 两两互异的 n 维线性时不变系统，基于 n 个特征向量构造变换阵 ，则状态方程可通过线性非奇异变换 BuAxxxpx1而化为对角线规范形 BP

30、BuBxxn121,12,n12 ,npv vv442.4 状态方程的对角线规范型和约当规范型例例 给定线性定常系统的状态方程为：给定线性定常系统的状态方程为：211701020213xxu 其特征值与对应特征向量为：其特征值与对应特征向量为：1112 1 1 ，1231100 0 1011vvv ，于是，可得到变换矩阵于是，可得到变换矩阵P和其逆和其逆P-1为：为：1110111001011011010PP，从而，可定出：从而，可定出：11200201050012AP APbP b ，给定状态方程的对角线规范型为：给定状态方程的对角线规范型为xxxux

31、x 452.4 状态方程的对角线规范型和约当规范型 结论结论 特征值包含重值的情形特征值包含重值的情形对包含重特征值的n维线性时不变系统，设系统的特征值 111222(,),(,),(,)lll 重重重重重重那么，基于相应于各特征值的广义特征向量组所组成的变换阵Q，xQx1可将系统状态方程化为约当规范形： 1111,lJxQ AQxQ BuxBuBQ BJ令其中，Ji为相应于特征值 的约当块：i12()()111,2,1iiiikikiiiiiiiikrrikikiiJkJJJrJ462.4 状态方程的对角线规范型和约当规范型特征值的代数重数 设i 为矩阵A的一个特征值，且 则称i为i的代数重

32、数。几何重数 若 则称i为i的几何重数。 几个重要的概念几个重要的概念det()()( )()0iiiiiIA ()iirankIAn 零空间 零空间也就是方程 Ax=0 的所有解的集合。它是一个线性空间。 如果零空间的维数为0，则该空间仅包含一个零向量。 如果维数为k，则方程Ax=0有k个线性无关的向量解。472.4 状态方程的对角线规范型和约当规范型广义特征向量广义特征向量广义特征向量链广义特征向量链1 ()0 ()0 iikiikiiAkAA称一个非零向量是矩阵 的属于 的 级广义特征向量()(1)(1)(1)() ()iikiikiiikiiivAkkvvvA vvAvk设 是矩阵 的

33、属于 的 级广义特征向量，则如下定义的 个向量必是线性无关的：并且称此向量组为长度是 的广义特征向量链。482.4 状态方程的对角线规范型和约当规范型 化为约当形的变换矩阵的构成化为约当形的变换矩阵的构成设i为A的代数重数为i的特征值，计算秩直到m=m0 且m0= i为止,再按如下方式生成广义特征向量链，(为使符号不过于复杂，假定n=10， i =8，m0=4，且设v0 =0, v1 =3, v2 =6, v3 =7, v4 =8):v4-v3=1v3-v2=1v2-v1=3v1-v0=3(4)11iivv(3)11()iiivIA v (2)33(2)22(2)211()iiiiiiivvv

34、vvIA v(1)33(1)22(1)311()()()iiiiiiiiivIA vvIA vvIA v (),1,2,3mimrankIAAm492.4 状态方程的对角线规范型和约当规范型(1)(2)(3)(4)(1)(2)(1)(2)1111223323iiiiiiiiQ4311123(2)21232223300,0000iiiiiiiiiiiiiiiiivA viA vvvvvvIA vIAvIA vIAv其中，为满足（）和（）的非零列向量，和为满足线性无关（），（）（），（）的列向量( )( )( )123( )( )()111212121 2 3 41 21 21 21 2()iii

35、ikjjiiiiikjiiiiiiiiiiiiivkvvjvkrjrvrrrrrrr则如表生成的个广义特征向量， ， ， ，必是线性无关的，推广为更一般的情况，个广义特征向量， ， ， ；， ， ，； ；， ， ，必是线性无关的，其中且有12()(1)(2)1 2,1,2,iilsliiiiirikikikikiliQQQnnQQQQnQnril k 阵 阵， ，阵 其中，50第2章 线性系统的状态空间描述 2.1 系统的状态空间描述系统的状态空间描述 2.2 系统按其状态空间描述的分类系统按其状态空间描述的分类 2.3 化输入化输入-输出描述为状态空间描述输出描述为状态空间描述 2.4 状态

36、方程的对角线规范型和约当规状态方程的对角线规范型和约当规范型范型 2.5 由状态空间描述导出传递函数矩阵由状态空间描述导出传递函数矩阵 2.6 线性系统在坐标变换下的特性线性系统在坐标变换下的特性 2.7 组合系统的状态空间描述组合系统的状态空间描述512.5 由状态空间描述导出传递函数矩阵定义：单输入单输出线性时不变系统，在零初始条件下，输出变量拉普拉斯变换和输入变量拉普拉斯变换之比，称为系统的传递函数，即 )( )( )(susysg多输入多输出线性时不变系统，在零初始条件下，输出变量拉普拉斯变换和输入变量拉普拉斯变换因果关系：)( )()( susGsy称G(s)为系统的传递函数矩阵。其

37、中 111111( )( )( )( )( ),( )( )( )( )( )( )pqpqqpy su sgsgsy su sG sysusgsgs，522.5 由状态空间描述导出传递函数矩阵(1) G(s)的函数属性 传递函数矩阵G(s)在函数属性上是复变量s的qp有理分式矩阵。 (2) G(s)的真性和严真性 当且仅当G(s)是真或严真时， G(s)才是物理上可实现的 零阵是严真的非零常阵是真的)(lim)()(lim)(sGsGsGsGss(3) G(s)的特征多项式和最小多项式 阶子式的最小公分母的所有的最小多项式阶子式的最小公分母、阶、阶、的所有的特征多项式1)()()(),min

38、(21)()()(sGssGpqsGssGGG532.5 由状态空间描述导出传递函数矩阵(5) G(s)的循环性 若若 常数ksksGG),()(称G(s)是循环的 (6) G(s)正则性和奇异性 是非正则的为奇异满足方有理分式矩阵是正则的)()(0)(det)()(sGsGsGsGsG(4) G(s)的极点 G(s)的极点定义为方程式 0)( sG的根 542.5 由状态空间描述导出传递函数矩阵 G(s)基于基于(A,B,C,D)的表达式的表达式考虑连续时间线性时不变系统考虑连续时间线性时不变系统 DuCxyBuAxx则则DBAsICsG1)()(2.83)( )( )( ) (2.86)(

39、 )( )(2.86) (-) ( )( ) sx sAx sBu sy sCx sDu ssIA x sBu s证 对做拉普拉斯变换，可导出进而，由的第一个关系式又可得到1 (2.87)(-)( )( ) (2.88)sIAx sBu s且考虑到作为多项式矩阵必须是非奇异的，因此(2.87)可以改写为：(sI-A)552.5 由状态空间描述导出传递函数矩阵11(2.88)(2.86) ( )() ( ) (2.89)(1.84) ()() det() (2.90)()y sC sIABD u ssIAadj sIAsIAadj sIA把带入的第二个关系式，即可得到从而可以导出考虑到且的每个元

40、多项式的最高1det() lim()0 (2.91)(2.91)(2.84)(2.85)0()(1.84)( )0()( )ssIAsIADGG sDGG s次幂均小于，所以必须有于是，由和即可导出。进一步易知，当时，为非零常阵，故由给出的为真；当时，为零矩阵，所以相应的严格为真。证明完毕562.5 由状态空间描述导出传递函数矩阵 结论结论 G(s)的实用计算关系式的实用计算关系式令令 CBBCABCAECBBCABCAECBCABECBEsssAsIsnnnnnnnnnnnn12110231211210111)det()(则则)(1)(012211EsEsEsEssGnnnn57第2章 线性

41、系统的状态空间描述 2.1 系统的状态空间描述系统的状态空间描述 2.2 系统按其状态空间描述的分类系统按其状态空间描述的分类 2.3 化输入化输入-输出描述为状态空间描述输出描述为状态空间描述 2.4 状态方程的对角线规范型和约当规状态方程的对角线规范型和约当规范型范型 2.5 由状态空间描述导出传递函数矩阵由状态空间描述导出传递函数矩阵 2.6 线性系统在坐标变换下的特性线性系统在坐标变换下的特性 2.7 组合系统的状态空间描述组合系统的状态空间描述582.6 线性系统在坐标变换下的特性坐标变换的实质是把系统在空间一个坐标系上的表征化为另一个坐标系上的表征。 线性时不变系统状态空间描述为 xAxBuyCxDu：引入坐标变换 xPx1则变换后系统的状态空间描述为 xAxBuyCxDu:DDCPCBPBAPPA,11592.6 线性系统在坐标变换下的特性 结论结论 线性时不变系统引入坐标变换，其传递函数矩阵在线性非奇异变换下保持不变。 具有相同输入和输出的两个同维线性时不变系统代数等价，当且仅当它们的系统矩阵之间满足状态空间描述坐标变换中给出的关系。代数等价的系统