第二章 自动控制系统数学模型3

1、1 1 数学模型基础数学模型基础2 2 线性系统的微分方程线性系统的微分方程3 3 线性系统的传递函数线性系统的传递函数4 4 系统的结构图系统的结构图5 5 信号流图及梅逊公式信号流图及梅逊公式 1.1.定义定义：数学模型是指出系统内部物理量（或变量）之间动数学模型是指出系统内部物理量（或变量）之间动态关系的表达式。态关系的表达式。2.5 2.2.建立数学模型的目的建立数学模型的目的 建立系统的数学模型，是分析和设计控制系统的首要工作建立系统的数学模型，是分析和设计控制系统的首要工作（或基础工作）。（或基础工作）。 自控系统的组成可以是电气的、机械的、液压或气动的等等，自控系统的组成可以是电

2、气的、机械的、液压或气动的等等，然而描述这些系统发展的模型却可以是相同的。因此，通过数学然而描述这些系统发展的模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研究自动控制系统，可以摆脱各种不同类型系统的外部特模型来研究自动控制系统，可以摆脱各种不同类型系统的外部特征，研究其内在的共性运动规律。征，研究其内在的共性运动规律。2.22.32.43.3.建模方法建模方法 微分方程（或差分方程）微分方程（或差分方程） 传递函数（或结构图）传递函数（或结构图） 频率特性频率特性 状态空间表达式（或状态模型）状态空间表达式（或状态模型） 5.5.由数学模型求取系统性能指标的主要途径由数学模型求取系统性能指标的主要

3、途径求解求解观察观察线性微分方程线性微分方程性能指标性能指标传递函数传递函数时间响应时间响应 频率响应频率响应拉氏变换拉氏变换拉氏反变换拉氏反变换估算估算估算估算计算计算傅傅氏氏变变换换S=j频率特性频率特性4.4.常用数学模型常用数学模型 系系统统辨辨识识课课研研究究实实验验法法本本课课研研究究分分析析法法 如果描述系统的数学模型是线性的微分方程，则该系统为线性系统，若方程中的系数是常数，则称其为线性定常系统。数学模型可以是标量方程和向量的状态方程。 本章主要讨论的是线性定常系统。我们可以对描述的线性定常微分方程进行积分变换，得出传递函数，方框图，信号流图，频率特性等数学描述。 线性系统实际

4、上是忽略了系统中某些次要因素，对数学模型进行近似而得到的。以后各章所讨论的系统，除特殊说明外，均指线性化的系统。2.2.1 微分方程的列写微分方程的列写 dticRiru11111 dticcu11rccuudtduCR 11,得得化简化简 R1 C1i1 (t)ur(t)uc(t)q微分方程的列写步骤微分方程的列写步骤 1）确定系统的输入、输出变量；）确定系统的输入、输出变量； 2）从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的）从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的物理定理写出各微分方程；物理定理写出各微分方程； 3）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程；）消去中

5、间变量，写出输入、输出变量的微分方程； 4）变换成标准形式。）变换成标准形式。2.52.12.32.42.2.22.2.32.2.4 试列写质量试列写质量m m在外力在外力F F作用下位移作用下位移y(t)y(t)的运动方程。的运动方程。dttdyftF)()(1 )()(2tkytF )()()()(2122tFtFtFdttydm )()()()(22tFtkydttdyfdttydm )()()()(tutRitudttdiLrc dttictuc)(1)()()()()(22tutudttduRCdttudLCrccc 例例2.1 图为机械位移系统。图为机械位移系统。RLCi(t)ur

6、(t)uc(t)F y(t)k fm 例例2.2 如图如图RLC电路，试列写以电路，试列写以ur(t)为输入量，为输入量，uc(t)为输出量为输出量的网络微分方程。的网络微分方程。整理得整理得:解解: 阻尼器的阻尼力阻尼器的阻尼力:弹簧弹性力弹簧弹性力: 解解:返回例例3例例4(kffMKMKMJfJf不考虑效率）,()()()(),Fma avx MJmab uyk uymyb uyk uymybykybuku平动即：二阶系统1011221020121010200,0iUUURRRiRURUURRUUUiU CiU C i0U由K I则： 运算放大器运算放大器 Ua 4解解：的的系系统统运运

7、动动方方程程为为输输出出量量时时及及角角位位移移动动机机输输出出轴轴角角速速度度为为输输入入变变量量和和分分别别以以电电以以电电枢枢电电压压统统，如如图图所所示示，试试列列写写设设有有带带载载直直流流电电动动机机系系例例 LMECeM0iMCidJMfMdt而 电 动 机 的 反 电 动 势 与成 正 比 ， 即当 电 动 机 空 载 时 ，电 枢 电 流 在 恒 定 磁 场 中 产 生 的 电 磁 力 矩 为消 去 中 间 变 量 得 ：aaR iEUadiLdt根据基尔霍夫定律，直流电动机电枢回路的运动方程为：22aaaMMJLJRddCeUCdtCdt 非线性非线性系统：用非线性微分方程

8、描述。系统：用非线性微分方程描述。)(2tFykydtdyf )(tFkydtdyf )()(tFytkdtdyf 2.2.2 微分方程的类型微分方程的类型 线性线性定常定常系统：用线性微分方程描述，微分方程的系数是常数。系统：用线性微分方程描述，微分方程的系数是常数。 线性系统的线性系统的重要性质重要性质：满足叠加性和均匀性（齐次性）。即：满足叠加性和均匀性（齐次性）。即： 如果输入如果输入r1(t)输出输出y1(t)，输入，输入r2(t)输出输出y2(t) 则输入则输入a r1(t)+b r2(t) 输出输出a y1(t)+by2(t) 线性线性系统：用线性微分方程描述。系统：用线性微分方

9、程描述。 线性线性时变时变系统：用线性微分方程描述，微分方程的系数是系统：用线性微分方程描述，微分方程的系数是随时间而变化的。随时间而变化的。2.2.12.2.32.2.4)(,)(00 xfyyxf 22200)()(!21)()(00 xdxxfdxdxxdfxfyyyxxxxxdx)x(df)x( fyyy0 xx00 2.2.3 非线性元件微分方程的线性化非线性元件微分方程的线性化小偏差线性化：小偏差线性化：用泰勒级数展开，略去二阶以上导数项。用泰勒级数展开，略去二阶以上导数项。假设假设：x,y在平衡点（在平衡点（x0,y0)附近变化，即附近变化，即x=x0+x, y=y0+y 略去高

10、阶无穷小项略去高阶无穷小项 严格地说，实际控制系统的某些元件含有一定的非线性特性，而严格地说，实际控制系统的某些元件含有一定的非线性特性，而非线性微分方程的求解非常困难。如果某些非线性特性在一定的工非线性微分方程的求解非常困难。如果某些非线性特性在一定的工作范围内，可以用线性系统模型近似，称为非线性模型的线性化。作范围内，可以用线性系统模型近似，称为非线性模型的线性化。2.2.12.2.42.2.2 注意：不能为断点等本质非线性，范围不能过大等例.35sin,()()sin0sin0sin0sin/3!/5!0mamghhd laldthflflfmgmlflmlfl其中 为空气阻力为阻尼系数

11、则：其中为非线性，当时，原式：mg可以认为是一种数学方法。将微分方程代数方程，便于求解，分析。 可以用图解法而不用解方程进行分析 解方程时可同时获得稳态和瞬态 0112F( )( ) ( )( )ststjsf t edtLF sF s e ds通常用查表来求。 1常用信号的拉氏变换： a. 单位脉冲,0( ),( )10,0ttt dtt00L ( )( )( )1.sttt edtt dtb.单位阶跃11,0( )0,01( )( ) ( )ststf ttLtedttd l t其中，c.斜坡信号 21. ( )0( )stt l tF s以上信号互为积分关系d.指数函数：()1( ).(

12、 )atatsts a ts af teF se eee.正余弦：222222221cos( sin)cossinj tss jsssssL ejLtL jtLtLt 2拉氏变换的基本定理：除a比较简单外， 其他都重要。a.线性：1212( )( )( )( )L af tbf taF sbF s根据积分 b.延迟定理：00Lf(t- )( )().( )()( ),sstsassseF sf tedttadaef a edad tdteF se-s(a+ )设则f(a)e(0- 为零，拉氏定义），则：所以称为延迟环节。c.衰减定理： ()Le( )( )()ats a tf tf t edt

13、F sa例： 222221123110.250.520.5130.250.50.511123(0.25) 0.50.25(0.5)-sssssssssssftfl tftl tffefefffee ， 延迟原式0.250.50.52221 0.5-11F(s)( )( )( ) .( )(1.)sssTsTsTsTsseeessesessee1111=FFFF考虑周期d.标度变换： ( )( )( )( )()(,tataasstttttaaaaasttaataL ffedtfeada fedaf assT设as即复域宽，时域窄）110 .25151( ),( )( ),( )5(5)tsts

14、fteLftfteLftFs例e.微分定理、积分定理： 211 ( )( )(0)(0), ( )( )(0).(0),nnnnL f ts F ssffL f ts F ssff解微分方程有用 ( )( )(0)L f tSF Sfg.初值定理： 0():() ()( 0)()0 () -( 0)0s ts FsLfts Fsffted ts Fsf sssf ( 0 + ) =由又 ：收 敛 条 件 ）即 ：。 可 得l i ml i ml i mh.终值定理： 000000000( )( ),( )(0)lim( )|( )(0)( )(0)( )(0)( )( )limlimlimli

15、msststssssfsF sedtsF sfedtdtf tffsF sfsF sffsF s df(t)dtdf(t)df(t)dtdt由微分定理：取极限：又：右边：例：0,( ).( )1limlimlimttsf tf ts1s(s+1)1s(s+1)已知 F(s)=求则：用于求稳态误差。拉氏反变换，自己看书拉氏反变换，自己看书2.4.1 传递函数的定义传递函数的定义1011110111( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnmmmmmmd c tdc tdc taaaa c tdtdtdtd r tdr tdr tbbbb r tdtdtdtnnnnmmmmasa

16、sasabsbsbsbsRsCSG 11101110)()()(10111011() ( )() ( )nnnnmmmma sa sasa C sb sbsbsbR s 线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为传递函数拉氏变换之比，称为传递函数 。2.52.12.42.22.3.22.3.32.3.4 1) 传递函数是复变量传递函数是复变量S的有理真分式函数，分子多项式的的有理真分式函数，分子多项式的次数次数m 低于或等于分母多项的次数低于或等于分母多项的次数n，所有系数均为实数；，所有系数均为实数； 2)

17、传递函数只取决于系统和元件的结构，与输入信号无关；传递函数只取决于系统和元件的结构，与输入信号无关；但表示输入与输出的关系，可以有但表示输入与输出的关系，可以有量纲量纲。 3) 传递函数与微分方程有相通性，可经简单置换而转换；传递函数与微分方程有相通性，可经简单置换而转换； 4) 传递函数的拉氏反变换是系统的脉冲响应。传递函数的拉氏反变换是系统的脉冲响应。 5) 传递函数是在零初始条件下定义的，它只反应系统的零传递函数是在零初始条件下定义的，它只反应系统的零状态特性；零初始条件含义要明确。状态特性；零初始条件含义要明确。 传递函数的性质传递函数的性质 求解方法：经典法、拉氏变换法。零状态响应、

18、零输入响应。求解方法：经典法、拉氏变换法。零状态响应、零输入响应。rccuudtduCR 11)()()0()(1111sUsUuCRssUCRrccc )()(1 . 0)(sUsUssUrcc 11 . 0)1(1)( ssssUcttceetu 1 . 01)(线性定常微分方程的求解线性定常微分方程的求解 R1 C1i 1(t)ur(t)uc(t)例例2.3 已知已知R1=1，C1=1F，uc(0)=0.1v, ur(t)=1(t)，求，求 uc(t) 拉氏变换法求解步骤：拉氏变换法求解步骤： 1. 考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，考虑初始条件，对微分方程中的每一项分

19、别进行拉氏变换，得到变量得到变量s的代数方程；的代数方程； 2. 求出输出量拉氏变换函数的表达式；求出输出量拉氏变换函数的表达式； 3. 对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。式，即为所求微分方程的解。解：解：) s (U) s (U) s (sUCRrcc11 1sCR1)s (U)s (U11rc 零初始条件下取拉氏变换：零初始条件下取拉氏变换：2.2.12.2.32.2.2 求零状态条件下阶跃响应求零状态条件下阶跃响应uc(t) ； 2) uc(0)=0.1v， ur(t)=1(t)，求，求 uc(t

20、) ; 3）求脉冲响应）求脉冲响应g(t)。1111)()()(11 ssCRsUsUsGrc)1(11)()( ssssUsUrctce1) t (u （前例已得）（前例已得） )()()(11sUsUssUCRrccrccuudtduCR 11)()()0()(1111sUsUuCRssUCRrccc )()(1 . 0)(sUsUssUrcc 11 . 0)1(1)( ssssUcttceetu 1 . 01)(tesLsGLtg 11)()(11例例2.4已知已知R1=1，C1=1F， 1）对上式进行拉氏反变换：对上式进行拉氏反变换：3）解解: 1）2） R1 C1i1 (t)ur(t

21、)uc(t) 电路的复数阻抗法例例2.5如图如图RLC电路，试列写网络传递函数电路，试列写网络传递函数 Uc(s)/Ur(s).)()()()(22tutudttduRCdttudLCrccc )()()()(2sUsUsRCsUsULCsrccc 11)()()(2 RCsLCssUsUsGrcRLCi(t)ur(t)uc(t)LsR1/sCI(s)Ur(s)Uc(s)解解:1) 零初始条件下取拉氏变换：零初始条件下取拉氏变换：传递函数：传递函数：2) 变换到复频域来求。变换到复频域来求。( )11( ), ( )( ),lLCdi tu tLu ti t dtRLS RdtcCS2( )(

22、 )11( )( )1( )1cCrUsUr sUsG SCSUsLCsRCsRLSCS3) 复数阻抗法：复数阻抗法： 传递函数分子多项式与分母多项式经因式分解可写为如下形式：传递函数分子多项式与分母多项式经因式分解可写为如下形式： njjmiinmpszsKpspspsazszszsbsG11*210210)()()()()()()( n1jjm1ii)sT1(s)s1(K)s (G K称为传递系数或增益，在频率法中使用较多。称为传递系数或增益，在频率法中使用较多。其它：多项式形式、留数形式其它：多项式形式、留数形式2.4.2 传递函数的零点和极点传递函数的零点和极点 0 j S平面平面 零

23、、极点分布图。零、极点分布图。 传递函数分子多项式与分母多项式也可分解传递函数分子多项式与分母多项式也可分解为如下形式：为如下形式： 传递函数分子多项式的根传递函数分子多项式的根zi称为传递函数的零点；分母多项式称为传递函数的零点；分母多项式的根的根pj称为传递函数的极点。称为传递函数的极点。K*称为传递系数或根轨迹增益。称为传递系数或根轨迹增益。2.3.32.3.42.3.1例例2.6 具有相同极点不同零点的两个系统具有相同极点不同零点的两个系统 ,它们零初始条件下的单位阶跃响应分别为它们零初始条件下的单位阶跃响应分别为 极点极点决定系统响应形式（模态），决定系统响应形式（模态），零点零点影

24、响各模态在响应中影响各模态在响应中所占比重。所占比重。 )2)(1(24)(1 ssssG)2)(1(25 . 1)(2 ssssGtteessssLtc211321)2)(1(24)( tteessssLtc2125 . 05 . 01)2)(1(25 . 1)( 2.4.3 传递函数的零点和极点对输出的影响传递函数的零点和极点对输出的影响 2.3.22.3.42.3.1比例环节比例环节 : G(s)=K ，如放大器、变速器、杠杆，也可能是量纲变换，如放大器、变速器、杠杆，也可能是量纲变换， 如测速电机，汽缸等，对闭环系统，实际是放大误差使控制加强。如测速电机，汽缸等，对闭环系统，实际是放大

25、误差使控制加强。积分环节积分环节 : G(s)=1/s，输出是输入对时间的积分，如加速度、速度、位移，输出是输入对时间的积分，如加速度、速度、位移， 电容的电流与电压，流量和容积等。电容的电流与电压，流量和容积等。微分环节微分环节 G(s)=s，积分相反，通常没有纯粹的微分环节。积分相反，通常没有纯粹的微分环节。11)( TssG1)( ssG 222222121)(nnnssTssTsG 2.4.4 典型环节的传递函数典型环节的传递函数 惯性环节惯性环节: 一阶微分环节一阶微分环节: 振荡环节振荡环节 : 二阶振荡环节二阶振荡环节 是最典型重要的环节或系统是最典型重要的环节或系统延迟环节：延

26、迟环节：G（S）=e-ts 延迟环节存在大多数系统，只是程度问题，延迟环节存在大多数系统，只是程度问题，延迟大，则容易造成系统振荡甚至不稳定延迟大，则容易造成系统振荡甚至不稳定2.3.22.3.32.3.1系统由很多环节组成，可分为基本的典型环节，了解这些环节对分析系统、简化系统有用，包括其频域、时域、复域性能、形式如RC电路一一,单容水箱单容水箱例例 液位控制系统液位控制系统(过程控制过程控制)()222.2.,.( )( )( ),( )1dVd hQiQoAdtdtQiKu u KuQoAoghdAoghQoQoAoghhdhhggghAoghAohQoAohRhhQoAod hH SK

27、RAhKuR u tG SQodtU STS 为阀门流量系数，液阻和的关系相同2 有延迟环节( )()( )( )1sd hH SKRAhKuR u tG SedtU STS 3 无延迟的双容水箱1212212222222122122222222.,2,22,1211,122.hhgQoAohQ ohRRdVd hhhd hQoQ oCCdtdtRRdtd hhd hdhR d hhR CR CdtRdtdtR dtdhd hhKuudtdt 12212221 21代入（1）：R A.R C（R A+R C ）K拉氏变换：G(S)=TT S +(T +2T )S+1负载效应 R1 C1i1 (

28、t)ur(t)uc(t) R2 C2i2 (t)uc(t)uo(t)22111( ),2( ),1 112 2111( ) 2( )1 2 1 2( 1 12 2)1111/( 2)( )112( ),( )( )()11121/( 2)121( )1( )( )1 2 1 2( 1 12 21 2)1G SGSR C SR C SG S GSR R C C SR CR CSRUi sC SC SI SUO SI sC SRRC SC SC SUO SG SUi sR R C C SR CR CR CS代入，得，2.5.1 结构图的组成和绘制结构图的组成和绘制) s (IR) s (U) s

29、(U11cr sC) s (I) s (U11c R(s)C(s)E(s)G(s)H(s)(- -) 例例2.7 绘出绘出RC电路的结构图。电路的结构图。Ur(s)Uc(s)I1(s)1/R11/sC1(- -) 信号线：信号线：表示信号传递通路与方向。表示信号传递通路与方向。 方框：方框：表示对信号进行的数学变换。方框中写入元件或系统的表示对信号进行的数学变换。方框中写入元件或系统的传递函数。传递函数。 比较点：比较点：对两个以上的信号进行加减运算。对两个以上的信号进行加减运算。“+”表示相加，表示相加，“-”表示相减。表示相减。 引出点：引出点：表示信号引出或测量的位置。同一位置引出的信号

30、数表示信号引出或测量的位置。同一位置引出的信号数值和性质完全相同。值和性质完全相同。 结构图由许多对信号进行单向运算的结构图由许多对信号进行单向运算的方框和一些信号流向线组成，它包括：方框和一些信号流向线组成，它包括：2.52.12.22.3 R1 C1i1 (t)ur(t)uc(t)2.4.2例例)()(1)(11sUsURsIi )()()(21sIsIsIc sCsIsUc1)()( )()(1)(22sUsURsIo sCsIsUo22)()( 例例2.8 绘出图示双绘出图示双RC网络的结构图。网络的结构图。uiuouC2C1ici1R1R2i22.19U(s)I2(s) Uo(s)(

31、d)21R (- -)IC(s)U(s)(c)sC11 IC(s)I1(s)I2(s) (- -)(b)Ui(s)I1(s) U(s) (- -)(a)11RsC21I2(s) Uo(s)(e)Ui(s)Uo(s) I2(s) U(s)IC(s) I1(s) (- -) (- -) (- -)(f)11RsC11sC2121R返回动画演示动画演示串联方框的简化串联方框的简化(等效等效)：) s (V) s (G) s (C2 ) s (R) s (G) s (V1 ) s (R) s (G) s (G) s (C12 ) s (C) s (C) s (C) s (C321 ) s (R)s (

32、G) s (G) s (G321 R(s)C(s)E(s)G(s)H(s) - -) s (R) s (H) s (G1) s (G) s (C 2.4.2 结构图的等效变换和简化结构图的等效变换和简化 C(s)G2(s)G1(s)V(s)R(s) (a)(a) 变换前变换前 R(s) C1(s)C3(s) C2(s) (- -) G1(s) G2(s) G3(s) C(s)C(s) G2(s)G1(s)R(s)(b) G1(s)+G2(s)- -G3(s)(b) 变换后变换后 R(s) C(s)反馈连接方框的简化（等效）：反馈连接方框的简化（等效）：并联方框的简化（等效）：并联方框的简化（等

33、效）：C(s)=G(s)E(s) E(s)=R(s) - H(s) C(s) C(s)=G(s)R(s) - H(s)C(s) 例例2.4.1 比较点和引出点的移动比较点和引出点的移动： 等效原则：前向通道和反馈通道传递函数都不变。等效原则：前向通道和反馈通道传递函数都不变。)()()(1)(sRsGsGsR 632236G)GG(G 4554GGG 154236236GGG1GG 例例2.9G(s)R(s)C(s)C(s)G(s)G(s)C(s)C(s)R(s) G(s)R(s)C(s)R(s)(1sG G(s)C(s)R(s)R(s)G4(s)(- -)G2(s)G6(s)(- -)C(s

34、)R(s)G3(s)G5(s)G1(s) 引出点移动引出点移动： 1. 引出点前移引出点前移 C(s)=G(s)R(s)2. 引出点后移引出点后移1. 相加点前移相加点前移)()(1)()(sBsGsRsG G(s)(- -)B(s)C(s)R(s)(1sGG(s)B(s)C(s)R(s)(- -)C(s)R(s)G(s)(- -)B(s)C(s)G(s)G(s)R(s)B(s)(- -)R(s)V1(s)V2(s)E1(s)C(s)(- -)V2(s)V1(s)(- -)C(s)R(s)V1(s)V2(s)C(s)R(s)(- -)或或 相加点的移动相加点的移动 3. 交换或合并相加点交换或

35、合并相加点 2 2. 相加点后移相加点后移C(s)=G(s)R(s)-B(s)C(s)=G(s)R(s)-B(s) = G(s)R(s)-G(s)B(s)C(s)=E1(s)+V2(s) = R(s)-V1(s)+V2(s) = R(s)+V2(s)-V1(s)例例2.10 结构图化简结构图化简(1) (1) 结构图化简方案结构图化简方案H1H2G1G2G3G4(- -)(- -)RY RH H2 2+ +G G3 3H H1 1G1G2G3H2G4(- -)Y(a)G4G3H2Y R13222211HGGHGGG (b)G4Y R221132223211HGGHGGHGGGG(c)返回2.4

36、.22.4.1(3) (3) 结构图化简方案结构图化简方案(2) (2) 结构图化简方案结构图化简方案H1+H2/G3H2/G3G2G3G1G4(- -)RY(a)H2/G3G4RY132223211HGGHGGGG(b)G1G2G3H1/G1G4RY(- -)1(1132GGH(a)3231211GHGGHGHG4G1G2G3YR(- -)(b)1. 等效为单位反馈系统等效为单位反馈系统)()(1)()(1)()()(sRsHsHsGsHsGsC 其它等价法则其它等价法则R(s) (- -)C(s)G(s)H(s)(1sHG(s)H(s) (- -)C(s)R(s)G(s)H(s)R(s)C

37、(s)- -1E(s)C(s)R(s)G(s) -H(s)E(s) 2. 负号可在支路上移动负号可在支路上移动 E(s)=R(s)-H(s)C(s) =R(s)+(-1)H(s)Cs) =R(s)+-H(s)C(s) 3. 相加点、引出点等之间如果没有其它环节，则相互移动没有影响例例2.11 双双RC网络的结构图简化。网络的结构图简化。U Ui i(s)(s)R R1 1(-)(-)(-)(-)(-)(-)U Uo o(s)(s)(b)(b)11RsC1121RsC21sT111U Ui i(s)(s)(-)(-)(-)(-)U Uo o(s)(s)R R1 1(c)(c)21RsC21 R

38、R1 1C C2 2s ssT211 U Ui i(s)(s)Uo(s)Uo(s)(-)(-)( (e e) )sT111返回返回动画演示动画演示21R(d)(d)U Ui i(s)(s)R R1 1C C2 2s s(-)(-)U Uo o(s)(s)(-)(-)sT111sC21U Ui i( (s s) )(-)(-)(-)(-)(-)(-)I I1 1(s)(s)I IC C(s)(s)U(s)U(s)I I2 2(s)(s)U Uo o(s)(s)(a)(a)11R21RsC21sC11q信号流图中常用的名词术语：信号流图中常用的名词术语： 源节点源节点（输入节点）：（输入节点）：o

39、在源节点上，只有信号输出在源节点上，只有信号输出 支路而没有信号输入的支路，支路而没有信号输入的支路， 它一般代表系统的输入变量。它一般代表系统的输入变量。 q 信号流图的信号流图的： 1) 节点节点标志系统的变量，节点标志的变量是所有流向该节点信标志系统的变量，节点标志的变量是所有流向该节点信号的代数和，用号的代数和，用“O”表示；表示； 2) 信号信号在支路上沿箭头单向传递；在支路上沿箭头单向传递； 3) 支路支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变成另一信号；成另一信号； 4) 对一个给定系统，信号流图不是唯一的。对一个给定系统

40、，信号流图不是唯一的。1+R1C1s x2x5x4 x6 -1 x3 x7I(s) R2 1/R1 x1 信号流图信号流图是由节点和支路组成的一种信号传递网络。是由节点和支路组成的一种信号传递网络。阱节点阱节点（输出节点）：（输出节点）：在阱节点上，只有信号输入的支路而没有信号输出的支路，它在阱节点上，只有信号输入的支路而没有信号输出的支路，它一般代表系统的输出变量。一般代表系统的输出变量。2.12.22.32.42.5.2例例2.5.12.5.3 混合节点混合节点：在混合节点上，既有信号输出的支路而又有信号输在混合节点上，既有信号输出的支路而又有信号输入的支路。入的支路。2.5.1 信号流图

41、的绘制信号流图的绘制 1. 由系统微分方程绘制信号流图由系统微分方程绘制信号流图 1）将微分方程通过拉氏变换，得到）将微分方程通过拉氏变换，得到S的代数方程；的代数方程； 2）每个变量指定一个节点；）每个变量指定一个节点； 3）将方程按照变量的因果关系排列；）将方程按照变量的因果关系排列； 4）连接各节点，并标明支路增益。）连接各节点，并标明支路增益。 前向通路：前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通过一次的通路，叫前向通路。前向通路上各支路增益之乘积称过一次的通路，叫前向通路。前向通路上各支路增益之乘积称前前向通路总增益向通路总增益

42、，一般用，一般用Pk表示。表示。 回路：回路：起点和终点在同一节点，而且信号通过每一节点不多于起点和终点在同一节点，而且信号通过每一节点不多于一次的闭合通路称回路。回路上各支路增益之乘积称一次的闭合通路称回路。回路上各支路增益之乘积称回路增益回路增益，一般用一般用La表示。表示。 不接触回路：不接触回路：回路之间没有公共节点时，称它们为不接触回路。回路之间没有公共节点时，称它们为不接触回路。2.5.2例例2.5.3 上式拉氏变换上式拉氏变换 C1 ui R1 R2 uo i1i) t (u) t (uR) t (iio11 2oR) t ( i) t (u dt)ii (C1R) t (i11

43、1 ) s (U) s (UR) s (Iio11 2oR) s ( I) s (U s)0(u)s () s (sC1R) s (c1111 ) s (U) s ( I) s (I) s (U) s (U) s (Uo1oii 例例2.12 信号传递流程：信号传递流程：)0(uC) s () sCR1() s ()0(uCsCR) s () s (c11111c1111 Ui(s)Ui(s)- -Uo(s)Uo(s)Uo(s) uC(0)-1I1(s)I(s)R21+R1C1s1/R1-C1 1) 用小圆圈标出传递的信号，得到节点。用小圆圈标出传递的信号，得到节点。 2) 用线段表示结构图中

44、的方框，用传递函数代表支路增益。用线段表示结构图中的方框，用传递函数代表支路增益。 注意信号流图的节点只表示变量的相加。注意信号流图的节点只表示变量的相加。 G(s) C(s) R(s)G1(s)G2(s) H(s)R(s)E(s)D(s)V(s)C(s) (- -)(a) 结构图结构图(节点节点)C(s)R(s) G(s)(节点节点) (支路支路)C(s)1R(s)E(s)G1(s) G2(s) -H(s) Y(s)D(s)V(s)11(b) 信号流图信号流图2. 由系统结构图绘制信号流图由系统结构图绘制信号流图例例2.13 绘制结构图对应的信号流图绘制结构图对应的信号流图(1) 。U Ui

45、 i( (s s) )U Uo o( (s s) )I I2 2( (s s) )U U( (s s) )I IC C( (s s) )I I1 1( (s s) )(-)(-) (-) (-) (-) (-)11RsC11sC2121RU Ui i( (s s) )U Uo o( (s s) )U Uo o( (s s) )U U( (s s) )I I2 2( (s s) )I IC C( (s s) )-1-1-1-1-1-11/1/R R1 11/1/C C1 1s s1/1/C C2 2s s1/1/R R2 2动画演示动画演示2.5.22.5.12.5.32e例例2.14 绘制结构

46、图对应的信号流图绘制结构图对应的信号流图(2) 。 特征式特征式 ： 所有单独回路增益之和；所有单独回路增益之和； 在所有互不接触的单独回路中，每次取其中两在所有互不接触的单独回路中，每次取其中两 个回路增益乘积和；个回路增益乘积和； 在所有互不接触的单独回路中，每次取其中三在所有互不接触的单独回路中，每次取其中三个回路增益的乘积之和。个回路增益的乘积之和。 梅逊公式梅逊公式为为： n1kKKP1P fedcbaLLLLLL1 aL cbLL fedLLL 余因子式余因子式，即在信号流图中，把与第，即在信号流图中，把与第K条前向通路条前向通路相接触的回路去掉以后的相接触的回路去掉以后的值。值。K 2.5.2 梅逊增益公式梅逊增益公式 其中：其中：