第13讲因式分解及其应用

1、第13讲因式分解及其应用考点,方法,破译1 .因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式；2 .因式分解的基本方法有提公因式法、运用公式法、分组分解法等；3 .因式分解的基本原则：有公因式先提出公因式、分解必须进行到每一个多项式都不能再分解为止；4 .竞赛中常出现的因式分解问题，常用到换元法、主元法、拆项添项阿、配方法和待 定系数法等方法、另外形如x2 px q的多项式，当p=a+b, q=ab时可分解为(x+a) (x+ b)的形式；5 .利用因式分解求代数式的值与求某些特殊方程的解经典考题赏析例1 若x2 kxy 9y2

2、是完全平方式，则 k=若 x2 5xy ky2是完全平方式，贝U k =【解法指导】形如a2 2ab b2的形式的式子，叫做完全平方式.其特点如下：有三项；有两项是平方和的形式；还有一项是乘积的2倍，符号自由.解： x2 kxy 9y2 x2 kxy (3y)2 是完全平方式，kxy 6xy k 6； x2 5xy ky2 x2 2 x 52y ky2 是完全平方式， ky2 (-2 y)2/. k【变式题组】01 .若1m2 kmn 9n2是一个完全平方式，则 k=902.若 x2 y2 6x 10y 34 0 ,求 x、y 的值.03.若 a2 a2b2 4ab b2 1 0,求 a、b

3、的值.04.(四川省初二联赛试题)已知a、b、C满足 |2a 4| |b 2| J(a 3)b2a2 c2 2 2ac ,求a b c的值.【例2】(北京)把x3 2x2y xy2分解因式，结果正确的是()A.x(x y)(x y)B.x(x22xyy2)C.x(xy)2D. x(x y)2(杭州)在实数范围内分解因式x4 4=(安徽)因式分解 a2 b2 2b 1 =【解法指导】分解因式的一般步骤为：一提，二套，三分组，四变形解： x3 2x2 y xy2 x(x2 2xy y2) x(x y)2 x44(x22)( x22)(x22)( x . 2)( x . 2) a2b22b1 a2(

4、b22b1) a2 (b 1)2 (ab 1)(a b 1)【变式题组】 3x3y2 6x2y3 12x2y2 2a(x2 1)2 2ax2 20a2bx 45bxy2(4) 49(a b)2 16(b a)2(a2 5)2 8(5 a2) 16【例3】要使二次三项式x2 5x p在实数范围内能进行因式分解，那么整数P的取值可能有()A. 2个B. 4个 C. 6个D.无数多个【解法指导】由x2 (a b)x ab (x a)(x b)可知，在整数范围内分解因式x2 5x p , p为n(5 n)的积为整数，p有无数多个，因而选 D【变式题组】已知x2 ax 12能分解成两个整系数的一次因式的

5、乘积，则符合条件的整数a的个数是()A. 2个B. 4个C. 6个D. 8个在1100间，若存在整数n,使x2 x n能分解为两个整系数的一次因式的乘积，则这样的n有个【例4】分解因式：2x2 11x 12 x2 4y2 z2 4yz(x2 5x 2)(x2 5x 3) 12 x2 xy 6y2 x 13y 6【解法指导】解：2x2 11x 12 (2x 3)(x 4) x2 4y2 z2 4y2x2 (4 y2 4yz z2)x2 (2y z)2(x 2y z)(x 2y z)设x2 5x 2 5 ,则原式可变为t(t ，原式=(x2 5x 2 3)(x2 5x 2 4)1) 12 t2 t

6、 12 (t 3)(t 4)(x25x1)(x25x 6)(x25x1)(x2)(x 3)2 xxy6y2x 13y 6(x2xy6y2)(x 13y) 6(x2y)(x 3y)(x 13y) (x2y3)( x3y 2)(4)6【变式题组】01.分解因式：x24y2 9z2 12yz 4x2 4x y2 4y 3ab2a 3b 6(4) (x 1)(x 2)(x 3)(x 4) 16y219y 10【例5】（上海竞赛试题）求方程 6xy 4x 9y 7 0的整数解;（希望杯）设 x、y为正整数，且x2 y2 4y 96 0 ,求xy的值【解法指导】结合方程的特点对其因式分解，将不定方程转化为

7、方程组求解；将等式左边适当变形后进行配方，利用 x、y为正整数的特点，结合不等式求解2x(3 y 2) 3(3y 2)解：(1) 6xy 4x 9y 7 0 , (6xy 4x) (9y 6) 1 ,(2x3)(3y 2) 1 , x、y 都是整数(2x (3y3)2)1 或(2x 3)11(3y 2)1x2y2 4y 96.x为正整数，11, 方程的整数解为22,y 4y 4 100 x , (yx= 1 , 2,，10 ,又 (y11,2)2 100 x2 ,100x2 0x2 1002）2是平方数，x=6或8当 x = 6 时(y 2)2 = 64, y= 6,当 x = 8 时(y 2

8、)2 = 36, y =4,xy= 36 或 32【变式题组】01.设x、y是正整数，并且y02.（第二届宗沪杯）已知a、2 22x2 2132,则代数式2x xy y的值是x yb为整数，则满足 a+b+ab= 2008的有序数组（a, b）共有03.（北京初二年级竞赛试题）将2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示方法有(A. 16 种04.方程 x3 y3A. 0个x2yB. xy2B.14种C. 12 种05. 一个正整数，如果加上32的正整数解的个数为（1个C. 2个100是一个完全平方数:D. 10 种）E. 不少于3个如果加上168则是另外一个完全平方数，求这个正整数.

9、【例6】已知k、a都是正整数，2004k+a、2004 (k+1) + a都是完全平方数请问这样的有序正整数(k、a)共有多少组？试指出a的最小值，并说明理由.解：2004k a m22004(k 1) a n2，这里m、n都是正整数，则 n2 m2 2004 故(n m)(n m) 2004 2 2 3 167nm1002 瑞n m334翻泸 m 500瑞m 164任忌到，m n、n ”偶庄相叫则门m2或n m6，解信n 502或n 170当 n=502, m=500 时，由得 2004k+a= 250000,所以 a 2004(124 k) 1504 由于k、a都是正整数，故k可以取值1,

10、 2, 3,，124,相应得满足要求的正整数数组(k、a)共124组当 n=170, m=164 时，由得 2004k+a= 26896所以 a 2004(13 k) 844 由于k、a都是正整数，故 k可以取值1,2, 3,，13,相应得满足要求的正整数数组(k、a)共13组从而，满足要求的正整数组(k、a)共有124+ 13 = 137 (组)满足式的最小正整数a的值为1504,满足式的最小正整数a的值为844,所以,所求的a的最小值为844【变式题组】01.(北京竞赛)已知 a是正整数，且a2 2004a是一个正整数的平方，求 a的最大值.02.设x、y都是整数，y dx 524 Jx

11、500 ,求y的最大值演练巩固反馈提高01.如果分解因式81 xn (9 x2)(3 x)(3 x),那么n的值为()A. 2B. 4 C. 6D. 802.若多项式x2 pxy qy2 (x 3y)(x 3y),则p、q的值依次为(A.12 ,9 B. 6,9C.9,9 D. 0,903.下列各式分解因式正确的是()A.9x2 1 (9x1)(9x 1)B,a4 1(a21)(a2 1)C.81a2b2(9a b)(9ab) D.( a)3ab2 a(a b)(ab)04.多项式(x y z)(x y z) (y z x)(z x y)的公因式是(A. x y z B. x y z C. y

12、 z xD.不存在05. (m n)2 4m(m n) 4m2分解因式的结果是()A. (m n)2 B. (m 2n)2 C. (m n)2D. (m 2n)206.若x2 ax 18能分解成两个因式的积，则整数 a的取值可能有(A. 4个B. 6个C. 8个D.无数个07.已知 a2 b2 4a 2b 5 0 ,则 ab 的值为()a bA. 3B. 1C. 3D.13308.分解因式：(x 2)( x 4) x2 4 =09.分解因式：a2 b2 4a 2b 3 =10 .分解因式：x3y3 2x2y2 xy =11 .已知a b 5 , ab 4 ,那么a2b 3a2b2 ab2的值等

13、于12 .分解因式：x2 4y2 x 2y =13 .分解因式：(a b)2 6(b a) 9 =14 .分解因式：(4a2 1)2 16a2 =15 .已知 m 2n 0 ,则 m3 2mn(m n) 4n3 的值为16 .求证：817 279 913能被45整除17 .已知296-1可被在60到70之间的两个整数整除，求这两个整数培优升级奥赛检测01.（四川省初二数学联赛试题）使得3n 81为完全平方数的正整数 n的值为（）A. 2B. 3C. 4 D. 502.（四川省初数学联赛试题）设 m、n是自然数，并且I9n2 98n m 0 ,则m + n的最小 值是（）A. 100B. 102

14、 c. 200 D.不能确定03.（四川省初二数学联赛试题）满足方程x3 6x2 5x 27y3 9y2 9y 1的正整数对（x, y）有（）A. 0对B. 1对C. 3对D.无数对04.（全国初中数学竞赛试题）方程x3 6x2 5x y3 y 2的整数解（x, y）的个数是（）A. 0B. 1C. 3 D,无穷多05.（四川省初二数学试题）已知 M p4（p2q 1）,其中p、q为质数，且满足q p 29 ,则MA. 2009B. 200506.（仙桃竞赛试题）不定方程2（x07.已知多项式2x2 3xy 2y2 x 8yC. 2003D. 2000y） xy 7的所有整数解为6可以分解为（x 2y m）（2x y n）的形式，那么m_J的n 1值是08.对于一个正整数 n,如果能找到a、b,使得n=a+b + ab,则称n为一个"好数"，例 如：3=1 + 1+1X1, 3就是一个好数，在 120这20个正整数中，好数有 个09 .一个正整数a恰好等于另一个正整数b的平方，则称正整数a为完全平方数，如64 82,64就是一个完全平方数；若 a 29922 29922 29932 29932 ,