工程磁场学第四章

1、基本方程与边界条件时谐电磁场电磁场能量 坡印廷定理电磁位4.1 动态电磁场基本方程与边界条件4.1.1 电磁场基本方程组电磁场基本方程组 (Maxwell方程)为SDJlHDJHd)t(dtlsSBlEBEdtdtlk0d0sSBBsqdSDD全电流定律电磁感应定律磁通连续性原理 全电流定律麦克斯韦第一方程, 表明传导电流和变化的电场都能产生磁场； 电磁感应定律麦克斯韦第二方程 , 表明电荷和变化的磁场都能产生电场； 磁通连续性原理表明磁场是无源场,磁力线总是闭合曲线； 高斯定律表明电荷以发散的方式产生电场(变化的磁场以涡旋的形式产生电场)。 麦克斯韦第一、二方程是独立方程，后面两个方程可以从

2、中推得。 静态场和恒定场是时变场的两种特殊形式。高斯定律四个方程所反映的物理意义 时变电磁场中媒质分界面上的衔接条件的推导方式与前三章类同，归纳如下： 试推时变场中导理想导体与理想介质分界面上的衔接条件。),(C,0t常数BBE4.1.2 分界面上的衔接条件只有所以即的建立过程中必有由若,0,0t0,0EJEBCBC0 CB解： 理想导体中 为有限值，当EJ,;0E 在理想导体内部没有电磁场，即 E E=0，B B=0 ；为此：折射定律2121tantan2121tantan 媒质分界面 分界面介质侧的衔接条件为01212EEekHHenn12120DDeBBenn12nnBB12ttHHk2

3、1ttEE21nnDD22eHkeE0nn22e B0e Dnn22220,0tntnEDHkB 例例4-1：图示两无限大理想导体平板间的无源自由空间中，动态电磁场的：图示两无限大理想导体平板间的无源自由空间中，动态电磁场的磁场强度为磁场强度为H = ， 为常数。试求：为常数。试求：(1)板间电场强度；板间电场强度；2)两导体表面的面电流密度和电荷面密度。两导体表面的面电流密度和电荷面密度。 )cos(cosxtzdH0ye 两无限大理想导体平板解解：(1)由麦克斯韦方程第一式，得由麦克斯韦方程第一式，得xHzH11tyzyxeeHE eeee1 ee1000 xtzdxtzddHdtxtzd

4、HxtzdHddtxHzHEzxzxyzyx coscossinsinsincoscossin(2)由边界条件，在由边界条件，在z0的导体表面上的导体表面上xtH0 xzncoseHeHeKxtH0zncosDeDe在在zd的导体表面上的导体表面上xtH0 xzncoseHeHeK)cos(xtH0znDeDe rrerrerrerEmmmzzzyyyxxxtEtEtEtcoscoscos),(（三要素）（三要素） 是角频率，是角频率，Exm、Eym、Ezm及及 x、 y、 z 分别是电分别是电场强度在直角坐标系下的三个分量的振幅和初相位。场强度在直角坐标系下的三个分量的振幅和初相位。 采用相

5、量表示法，上式可表示为如下复矢量采用相量表示法，上式可表示为如下复矢量(相量相量)，即，即)()()()(rerererEzmzymyxmxmEEE rjmmerxxxErE rjmmerryyyEE rjmmerrzzzEE 瞬时矢量被复矢量表示如下瞬时矢量被复矢量表示如下 tttjjme2ReeRe,rErErE4.2.1 时谐电磁场的复数表示4.2 时谐电磁场采用复矢量表示时谐电磁场后，麦克斯韦方程组可写为如采用复矢量表示时谐电磁场后，麦克斯韦方程组可写为如下复数形式（频域形式）下复数形式（频域形式）mcmmjDJHmmjBE0mBmmD不再含有场量对时间不再含有场量对时间t的偏导数，从

6、而使时谐电磁场的分析得的偏导数，从而使时谐电磁场的分析得以简化。以简化。 例例4-2：写出与时谐电磁场对应的复矢量：写出与时谐电磁场对应的复矢量(有效值有效值)或瞬时矢量，或瞬时矢量，)sin()cos(xtExtEzzyymmeeEsin)coscos(sinz0 xexjHHj解解： )j(z)j(y)2j(zm)j(ymejEeEe2Ee2EzyzyeeeerE)sinsin()coscos(sin)sincos()coscos(sin,ztxH22ztxH2tH00 x r4.2.2 有损媒质的复数表示有损媒质的复数表示在实际中上，媒质非理想，一方面导体的电导率是有限的；在实际中上，媒

7、质非理想，一方面导体的电导率是有限的；另一方面介质是有损耗的另一方面介质是有损耗的(如电极化损耗、或磁化损耗、或欧如电极化损耗、或磁化损耗、或欧姆损耗等姆损耗等)。对于时谐电磁场中介电常数为。对于时谐电磁场中介电常数为 的导电媒质，的导电媒质， EDjDEHjjj这类有损媒质的欧姆损耗是以负虚数形式反映在媒质的构成这类有损媒质的欧姆损耗是以负虚数形式反映在媒质的构成方程中。方程中。类似地，为表征存在电极化损耗的有损电介质的极化性能可以类似地，为表征存在电极化损耗的有损电介质的极化性能可以定义如下定义如下复介电常数复介电常数： j为表征有损磁介质的磁化性能也可以定义如下为表征有损磁介质的磁化性能

8、也可以定义如下复磁导率复磁导率： j通常的介电常数通常的介电常数表征电介质中的表征电介质中的电极化损耗电极化损耗通常的磁导率通常的磁导率 表征磁介质中的表征磁介质中的磁化损耗磁化损耗 在高频时谐电磁场以上参数通常是频率的函数在高频时谐电磁场以上参数通常是频率的函数 当电介质同时存在电极化损耗和欧姆损耗时，其等效复介电当电介质同时存在电极化损耗和欧姆损耗时，其等效复介电常数可写为常数可写为 je为了表征电介质中损耗的特性，通常采用损耗角的正切为了表征电介质中损耗的特性，通常采用损耗角的正切 tan和和 是在时谐电磁场中表征电介质特性的两个重要参数。是在时谐电磁场中表征电介质特性的两个重要参数。

9、tan工程上，称工程上，称 1的媒质的媒质被称为良导体。被称为良导体。tantantantan在单位体积导电媒质中消耗的电功率为 电场能量密度与磁场能量密度为ED21ewHB21mwtDHEJE由恒等式 )()()(HEHEHE上式为 )()()(HEBHDE HEEHDEJEttt对于各向同性的线性媒质twtttttteDEEDDEDEDEDE2121212121twttmBHBH214.3 电磁场能量 坡印亭定理由此可得JEHEmewwt对任意闭合曲面 S 包围的体积V求积，并由散度定理得 PWWtVVwwtVVSmemedd dJEdddSdHEV V内电磁能量的增量内电磁能量的增量V

10、V内焦尔热损耗功率内焦尔热损耗功率传入传入V V内电磁功率内电磁功率HES坡印廷矢量坡印廷矢量，单位面积上的电磁功率令对于时谐电磁场，导电媒质吸收的复功率体密度为)(DjHEJE仿照上述的推导过程，可得)()(DEHBjJEHE坡印廷定理坡印廷定理这是时谐电磁场坡印廷定理的微分形式，其积分形式为VSVdDEHBjJESdHE)()(在时谐电磁场中，定义复坡印廷矢量为HES媒质吸收的有功功率密度，等于电磁功率流面密度的平均值： Red,10avHErSSTttT 例 4-3 用坡印亭矢量分析直流电源沿同轴电缆向负载传送能量的过程。设电缆为理想导体，内外半径分别为a和b。解： 理想导体内部电磁场为

11、零。电磁场分布如图所示。电场强度eE)a/bln(UeH2Iba2AUId2a/bln2UIdPAS 穿出任一横截面的能量相等，电源提供的能量全部被负载吸收。 电磁能量是通过导体周围的介质传播的，导线只起导向作用。这表明：z2I)a/bln(UeHES单位时间内流入内外导体间的横截面A的总能量为磁场强度坡印亭矢量 同轴电缆中的电磁能流 4.4 动态位及其积分解4.4.1 电磁位 洛伦兹规范仍从电磁场基本方程组出发,0B由t BE由0)t(AEtAEt DJH)t(t1AJA D)t(A经整理后，得称为动态电磁场的电磁位。 ,A由由t)(t222AJAAAt2（2）（1）洛仑兹条件（规范）t A

12、AB定义A A 的散度JA22) 若场不随时间变化，波动方程蜕变为泊松方程 简化了动态位与场源之间的关系，使得A单独由J决定，j单独由r决定，给解题带来了方便； 洛仑兹条件是电流连续性原理的体现。1） 洛仑兹条件（Luo lunci Condition)的重要意义/2这是非齐次波动方程达朗贝尔方程 (Dalangbaier Eguation)222222ttJAAt A洛仑兹条件 确定了 的值，与 共同唯一确定A A；AAB对于时谐电磁场，电磁位的非齐次波动方程的复数(有效值)形式为 JAA22k22k式中k称为波数，单位为弧度/米 (rad/m). 令：1为电磁波的传播速度。在自由空间中 8

13、001031m/s4.4.2 4.4.2 非齐次波动方程非齐次波动方程4.4.2 电磁位的积分解 以位于坐标原点时变点电荷为例，然后推广到连续分布场源的情况。 0t222222t)r(v1r)r(22,为具有球对称性的展开式在球坐标系下)vrt (fr1)vrt (fr1211）通解的物理意义：的物理意义)vrt (f1tvrr, ttt信号从当时间从 f1 在 时间内经过 距离后不变,说明它是以有限速度 v 向 r 方向传播，称之为入射波。t r其通解为的一维齐次波动方程这是,)r(式中 具有速度的量纲 ，f1，f2 是具有二阶连续偏导数的任意函数。1v （除q点外）)vrt(f)vtvrt

14、t(f11 有图4.3.1 的物理意义 )vrt(f1的物理意义)vrt (f2有时信号从当时间从,tvrr, ttt)vrt (f)vtvrtt (f22无限大均匀媒质）(r4q由此推论，时变点电荷的动态标量位为可以证明：该解满足齐次波动方程。在无限大均匀媒质中没有反射波，即 f2=0。它表明： f2 在 时间内, 以速度v 向( -r )方向前进了 距离,故称之为反射波。 ttv r4)vrt(q)t(无反射）(2）解的表达式连续分布电荷产生的标量位可利用迭加原理获得Vdr)vrt ,z ,y ,x(41) t , z , y , x(V无反射 波的入射、反射与透射 当点电荷不随时间发生变化时，波动方程蜕变为 ，其特解为02当场源不随时间变化时，蜕变为恒定磁场中的磁矢位A。 达朗贝尔方程解的形式表明：t 时刻的响应取决于 时刻激励源的情况。故又称 A、 为滞后位。)vrt ( 若激励源是时变电流源时，仿上述方法推导，得到A的表达式Vdr)vrt ,z ,y,x(4) t , z , y, x(VJA（无反射） 电磁波是以有限速度传播的，这个速度称为波速1vm/s v具有速度的量纲；且通解中的 经过 后