高数A第七章微分方程

1、第七章第七章 微微 分分 方方 程程微分方程微分方程: :含有未知函数的导数或微分的方程含有未知函数的导数或微分的方程. .例例,xyy , 0)(2 xdxdtxt一、微分方程的概念一、微分方程的概念微分方程的阶微分方程的阶: : 微分方程中出现的未知函数的最微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数高阶导数的阶数. .微分方程的解微分方程的解: :代入微分方程能使方程成为恒等式的函数代入微分方程能使方程成为恒等式的函数. . (1)(1)通解通解: : 微分方程的解中含有独立任意常数微分方程的解中含有独立任意常数的个数与微分方程的阶数相同的个数与微分方程的阶数相同. .(2)(2)特解特解

2、: : 确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解. ., yy 例例;xCey 通解通解二、一阶微分方程二、一阶微分方程dxxfdyyg)()( 可化成形如：可化成形如：解法：解法： dxxfdyyg)()(分离变量法分离变量法1. 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程例例1 1 求解微分方程求解微分方程.2的通解的通解xydxdy 解解分离变量分离变量,2xdxydy 两端积分两端积分,2 xdxydy12lnCxy .2为所求通解为所求通解xCey ，cosxsinydycos ysinxdx 40 xy例例2 求微分方程的满足初始条件的特解求微分方程的满足初始条件的特

3、解 练练 习习 题题练习题答案练习题答案2.2.齐次方程齐次方程()dyyfdxx 解法：解法：,xyu 作变量代换作变量代换,xuy 即即代入原式代入原式,dxduxudxdy ),(ufdxduxu .)(xuufdxdu 即即可分离变量的方程可分离变量的方程形如：形如：例例 1 1 求解微分方程求解微分方程. 0cos)cos( dyxyxdxxyyx，令令xyu ，则则udxxdudy , 0)(cos)cos( xduudxuxdxuuxx,cosxdxudu ,lnsinCxu .lnsinCxxy 微分方程的解为微分方程的解为解解22dyydxxyx 2,1yxyx ,xyu 令

4、令,udxxdudy 则则2,1uuxuu 22+.dydyyxxydxdx 例例 2 2 解方程解方程解解lnln,uuxC 微分方程的解为微分方程的解为lnyyCx1(1),dxduux练习：解微分方程练习：解微分方程 2201. 2 sin3 cos3 cos02.320,|1xyyyxydxxdyxxxyxdyxydxy 答案：答案：233221.sin2.yxCxyyx )()(xQyxPdxdy 标准形式标准形式:, 0)( xQ当当称为称为齐次的齐次的.称为称为非齐次的非齐次的., 0)( xQ当当3、线性微分方程、线性微分方程例如例如,2xydxdy , 32 xyyy, 1c

5、os yy线性的线性的;非线性的非线性的. 0)( yxPdxdy,)(dxxPydy ,)( dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)( dxxPCey（1） 线性齐次方程线性齐次方程解法解法常数变易法常数变易法(使用分离变量法使用分离变量法)（2）( )( )dyP x yQ xdx ( )P x dxyu x e 令令的解，则有的解，则有),()()(xQexudxxP 为方程为方程,)()()(CdxexQxudxxP 积分得积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为: dxxPdxxPeCdxexQy)()()(dxexQ

6、eCedxxPdxxPdxxP )()()()(对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP ,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin Cdxexxexxlnlnsin Cxdxxsin1 .cos1Cxx 解解例例1 1例例2 2 如图所示，平行于如图所示，平行于 y 轴的动直线被曲轴的动直线被曲 线线 与与 截下的线段截下的线段PQ之之长数值上等于阴影部分的面积长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线求曲线 .)(xfy )0(3 xxy)(xf,)()(230yxdxxfx xyxydx03,两边

7、求导得两边求导得,32xyy 解解解此微分方程解此微分方程xyoxPQ3xy )(xfy dxexCeydxdx23, 6632 xxCex, 0|0 xy由由, 6 C得得所求曲线为所求曲线为).222(32 xxeyx23xyy 练习：解微分方程练习：解微分方程 201.12cos02.tansec ,|0 xxyxyxdyyxx ydx 答案：答案：2sin1.12.cosxCyxxyx ( n )yfx 1、 型型方法：两边积分方法：两边积分121ysin x.x 求求方方程程的的通通解解例例 1三、可降阶的微分方程三、可降阶的微分方程 yp x , yp , 代代入入原原方方程程得得

8、特点：特点：右端不显含因变量右端不显含因变量y解法：解法： yfx, y 2、 型型则则 pfx, p 20 xyyx.求求方方程程的的通通解解例例 2练习：求微分方程的解练习：求微分方程的解 11210 xyyyey)(ypy 设设,dydPpdxdydydpy 则则代代入入原原方方程程得得特点：特点：右端不显含自变量右端不显含自变量 x解法：解法： yfy, y 3、 型型 dppfy, pdy .02的通解的通解求方程求方程 yyy解解,dydPpy 则则),(ypy 设设代入原方程得代入原方程得 , 02 PdydPPy, 0)( PdydPyP即即，由由0 PdydPy,1yCP 可

9、得可得.12xceCy 原方程通解为原方程通解为,1yCdxdy 例例 3练习：求微分方程的解练习：求微分方程的解 002131220 xxyy, y|, y |yyy四、线性微分方程的解的结构四、线性微分方程的解的结构1.1.二阶齐次方程解的结构二阶齐次方程解的结构: :定定理理 1 1 如如果果函函数数)(1xy与与)(2xy是是方方程程( (1 1) )的的两两个个解解, ,那那末末2211yCyCy 也也是是( (1 1) )的的解解. .（21, CC是是常常数数）问题问题: :一一定定是是通通解解吗吗？2211yCyCy )1(0)()( yxQyxPy说明说明:定理定理 2 2：

10、如果：如果)(1xy与与)(2xy是方程是方程(1)(1)的两个线的两个线性无关的特解性无关的特解, , 那么那么2211yCyCy 就是方程就是方程(1)(1)的通解的通解. .例如例如, 0 yy,sin,cos21xyxy ,tan12常数常数且且 xyy.sincos21xCxCy 2.2.二阶非齐次线性方程的解的结构二阶非齐次线性方程的解的结构: :定理定理 3 3 设设*y是二阶非齐次线性方程是二阶非齐次线性方程)2()()()(xfyxQyxPy 的一个特解的一个特解, , Y是与是与(2)(2)对应的齐次方程对应的齐次方程(1)(1)的通的通解解, , 那么那么*yYy 是二阶

11、非齐次线性微分方程是二阶非齐次线性微分方程(2)(2)的通解的通解. .定理定理 4 4 设非齐次方程设非齐次方程(2)(2)的右端的右端)(xf是几个函是几个函数之和数之和, , 如如)()()()(21xfxfyxQyxPy 而而*1y与与*2y分别是方程分别是方程, , )()()(1xfyxQyxPy )()()(2xfyxQyxPy 的特解的特解, , 那么那么*2*1yy 就是原方程的特解就是原方程的特解. .解的叠加原理解的叠加原理五、二阶常系数线性微分方程五、二阶常系数线性微分方程,rxey 设设将其代入上方程将其代入上方程, 得得0)(2 rxeqprr, 0 rxe故有故有

12、02 qprr特征方程特征方程,2422,1qppr 特征根特征根0 qyypy1.齐次线性微分方程齐次线性微分方程 有两个不相等的实根有两个不相等的实根,2421qppr ,2422qppr ,11xrey ,22xrey 两个线性无关的特解两个线性无关的特解得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为;2121xrxreCeCy )0( 特征根为特征根为 有两个相等的实根有两个相等的实根,11xrey ,221prr )0( 一特解为一特解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为;)(121xrexCCy 代入原方程并化简，代入原方程并化简，将将222yyy , 0)()2(1211 uqprrup

13、ru, 0 u知知,)(xxu 取取,12xrxey 则则,)(12xrexuy 设设另另一一特特解解为为特征根为特征根为 有一对共轭复根有一对共轭复根1,ri2,ri()1,ixye ()2,ixye )0( 重新组合重新组合)(21211yyy ,cos xex 2121()2yyyi,sin xex 得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为).sincos(21xCxCeyx 特征根为特征根为4-50yyy.求求方方程程的的通通解解解解特征方程为特征方程为24 -50rr,解得解得1215rr ，故所求通解为故所求通解为512xxyC eC e 例例1 1.044的通解的通解求方程求方程 y

14、yy解解特征方程为特征方程为,0442 rr解得解得,221 rr故所求通解为故所求通解为.)(221xexCCy 例例2 2.052的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,0522 rr解得解得,2121jr ，故所求通解为故所求通解为).2sin2cos(21xCxCeyx 例例3 3二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程）写出相应的特征方程;（2）求出特征根）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况）根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解. (见下表见下表)02 qprr0 qyypy 特征根的情

15、况特征根的情况 通解的表达式通解的表达式实根实根21rr 实根实根21rr 复根复根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 练练 习习 题题练习题答案练习题答案)(xfqyypy 2. 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程对应齐次方程, 0 qyypy通解结构通解结构*,yYy(1)( )( )xmf xePx 设非齐次方程特解为设非齐次方程特解为*( )xyQ x e 代入原方程代入原方程)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm 不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若 )1(, 02 qp

16、 ),()(xQxQm 可可设设是特征方程的单根，是特征方程的单根，若若 )2(, 02 qp , 02 p ),()(xxQxQm 可设可设*( );xmyQx e *( );xmyxQx e 是特征方程的重根，是特征方程的重根，若若 )3(, 02 qp , 02 p ),()(2xQxxQm 可可设设综上讨论综上讨论*( ),kxmyx eQx 是重根是重根是单根是单根不是根不是根2,10k2*( ).xmyx Qx e .232的通解的通解求方程求方程xxeyyy 解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程, 0232 rr特征根特征根，2121 rr,221xxececY

17、是单根，是单根，2 ,)(2xeBAxxy 设设代入方程代入方程, 得得xABAx 22,121 BAxexxy2)121( 于是于是原方程通解为原方程通解为.)121(2221xxxexxeCeCy 例例1 1(1)(2)*( )cos( )sin,kxmmyx eRxxRxx 次次多多项项式式，是是其其中中mxRxRmm)(),()2()1( nlm,max 01ik,i ，不不是是特特征征方方程程的的根根，是是特特征征方方程程的的根根( )( )cos( )sinxlnf xeP xxP xx (2)型(2)型.sin4的通解的通解求方程求方程xyy 解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解,sincos21xCxCY 作辅助方程作辅助方程,4jxeyy ,是是单单根根j ,*jxAxey 故故代入上式代入上式, 42 Aj,2jA ,)cos2(sin22*jxxxxjxeyjx 所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为,cos2xxy 原方程通解为原方程通解为.cos2sincos21x