函数的连续性

1、第一章函数极限连续第一章函数极限连续第五节函数的连续性第五节函数的连续性一、连续函数的概念一、连续函数的概念二、连续函数的基本性质二、连续函数的基本性质三、闭区间上连续函数的性质三、闭区间上连续函数的性质四、函数间断点及其分类四、函数间断点及其分类一、连续函数的概念一、连续函数的概念定义定义 1设函数设函数 y = f (x) 在在 x0 的一个邻域内有的一个邻域内有定义定义，. )()(lim00 xfxfxx 则称函数则称函数 y = f ( x ) 在在 x0 处处连续连续，或称或称 x0 为函数为函数 y = f (x) 的连续点的连续点 .且且记记 x = x - - x0，且称之为

2、自变量且称之为自变量 x 的改变量或增的改变量或增量量，记记 y = f (x) - - f (x0) 或或 y = f (x0+ + x) - - f (x) 称为函数称为函数 y = f (x) 在在 x0 处的增量处的增量. 那么函数那么函数 y = f (x) 在在 x0 处连续也可以叙述为处连续也可以叙述为：定义定义 2设函数设函数 y = f (x) 在在 x0 的一个邻域内的一个邻域内有定义有定义， 如果如果.0lim0 yx则称函数则称函数 y = f (x) 在在 x0 处处连续连续.若函数若函数 y = f (x) 在点在点 x0 处有处有：，或或 )()(lim )()(

3、lim0000 xfxfxfxfxxxx 则分别称函数则分别称函数 y = f (x) 在在 x0 处是处是左连续或右连续左连续或右连续. 由此可知，函数由此可知，函数 y = f (x) 在在 x0 处连续的充要处连续的充要条件可表示为条件可表示为：. )(lim)()(lim000 xfxfxfxxxx 即函数在某点连续的充要条件为函数在该点处左、即函数在某点连续的充要条件为函数在该点处左、右连续右连续若函数若函数 y = f (x) 在开区间在开区间 I 内的各点处均连续内的各点处均连续，若函数若函数 y = f (x) 在在闭区间闭区间 a, b 上连续上连续，则理解为除在则理解为除在

4、 ( (a, b) ) 内连内连续外续外， 在左端点在左端点 a 为右连续为右连续，在右端点在右端点 b 为左连续为左连续.定义定义 1 表明，函数在某点连续含有三层意思：表明，函数在某点连续含有三层意思：它在该点的一个邻域内有定义，极限存在且极限它在该点的一个邻域内有定义，极限存在且极限值等于该点处的函数值值等于该点处的函数值.则称该函数在开区间则称该函数在开区间 I 内连续内连续.例例 1证明函数证明函数 y = sin x 在其定义域内连续在其定义域内连续 .证证任取任取 x0 (- - , , + + )，则因，则因 y f (x0 + + x) - - f (x0) sin(x0 +

5、 + x) - - sinx0,2sin2cos20 xxx . 0lim 0 yx因此因此这表明这表明 y = sin x 在在 x0 处连续，处连续，由于由于 x0 的任意性可知它在定义域内连续的任意性可知它在定义域内连续 .故故有有且且|,|sin|xx2sin2cos2|00 xxxy . |2|12xx 例例 2. 0 0 , 0 0, 1sin)( 的的连连续续性性处处在在，试试证证 xxxxxxf解解因为因为， )0(01sinlim)(lim00fxxxfxx 所以所以 f (x) 在在 x = 0 处连续处连续.例例 3证证因为因为， 1coslim)(lim00 xxfxx

6、. 1)12(lim)(lim00 xxfxx且且 f (0) = 1，即，即 f (x) 在在 x = 0 处左，右连续，所以它在处左，右连续，所以它在 x = 0 处连续处连续 . 0 0 cos 0 12)(处处连连续续在在，试试证证明明 xxxxxxf二、连续函数的基本性质二、连续函数的基本性质定理定理 1若函数若函数 f (x) 和和 g (x) 均在均在 x0 处连续处连续，则则 f (x) + + g (x) ， f (x) - - g (x)， f (x) g (x) 在该点在该点亦均连续亦均连续，又若又若 g(x0) 0，)()(xgxf则则在在 x0 处也连续处也连续.故由

7、极限的运算法则可得故由极限的运算法则可得 )()(lim0 xgxfxx )(lim)(lim00 xgxfxxxx ， )()(00 xgxf 因此因此 f (x) g (x) 在在 x0 处连续处连续 .证证我们仅证明我们仅证明 f (x) g (x) 的情形的情形 .因为因为 f (x) ，g (x) 在在 x0 处连续，处连续，所以有所以有，)()(lim )()(lim0000 xgxgxfxfxxxx 定理定理 3若函数若函数 y = f (x) 在某区间上单值在某区间上单值、单单调且连续调且连续，即它们同为递增或同为递减即它们同为递增或同为递减. 则它的反函数则它的反函数 x =

8、 f - -1 ( y ) 在对应的区在对应的区间上也单值间上也单值、单调且连续单调且连续，且它们的单调性相同且它们的单调性相同，定理定理 4初等函数在其定义区间内是连续的初等函数在其定义区间内是连续的.定理定理 2 设函数设函数 y = f (u) 在在 u0 处连续处连续，函数函数 u = (x) 在在 x0 处连续处连续，且且 u0 = (x0) ，则复合函数则复合函数 f (x) 在在 x0 处连续处连续 .例例 4).1, 0)(arcsin(loglim aaxaax求求解解因为因为 arcsin(logax) 是初等函数，且是初等函数，且 x = a 为它的定义区间内的一点，为它

9、的定义区间内的一点，所以有所以有.21arcsin)arcsin(log)arcsin(loglim axaaax例例 5.11lim0 xxx 求求 应当先将该函应当先将该函数的分子有理化，数的分子有理化，消去为零的因子消去为零的因子 x， 再计算极限，再计算极限， 即即)11(lim11lim00 xxxxxxx.211011111lim0 xx. ,111lim0为为正正整整数数其其中中有有nnxxnx 一般地，一般地，解解 这是一个这是一个 型的极限问题型的极限问题.”00“例例 7).2(lim2xxxx 计计算算解解)2(lim2xxxx xxxxxxxxxx2)2)(2(lim2

10、22 xxxxxxx24lim222 .21113lim xxx例例 8.tantanlimaxaxax 计计算算解解.cossincossinlimtantanlimaxaaxxaxaxaxax xaaxaxaxcoscos)()sin(lim 令令 x a t ，由，由 x a，则，则 t 0.cos1)cos(cos1lim)cos(cossinlim200aataatatttt 上上式式三、闭区间上连续函数的性质三、闭区间上连续函数的性质定理定理 5若函数若函数 y = f (x) 在闭区间在闭区间 a, b 上上连续连续, ( (2) ) 在在 a, b 上至少存在一点上至少存在一点

11、 x x2 2，( (1) ) 在在 a, b 上至少存在一点上至少存在一点 x x1 1， 使得对于任何使得对于任何 x a, b ，恒有恒有 f (x x1 1) f (x).使得对于任何使得对于任何 x a, b ，恒有恒有 f (x x2 2) f (x).x x1 1x x2 2y = f (x)bayxO则则若函数在开区间内连续，若函数在开区间内连续， f (x x1 1)， f (x x2 2) 分别称为函数分别称为函数 y = f (x) 在区间在区间 a, b 上的最大值和最小值上的最大值和最小值，定理定理 5 又称最大值又称最大值和最小值存在定理和最小值存在定理 . 如函数

12、如函数 y = x2 在在区间区间 ( (0, 1) ) 内就无最大值和最小值内就无最大值和最小值 . 则它在该区间内则它在该区间内未必能取得最大值和最小值，未必能取得最大值和最小值， 则它在则它在 a,b 内取得介于其最小值和最大值之间的任何数内取得介于其最小值和最大值之间的任何数.定理定理 6 若若 f (x) 在在 a, b 上连续上连续，推论推论若若 f (x) 在在 a, b 上连续上连续，且且 f (a) f (b) 0， f (1) = - - 2 0， 因此由推因此由推论可知，至少存在一点论可知，至少存在一点 c (0, 1) ，使得，使得 f (c) = 0. 这表明所给方程

13、在这表明所给方程在 (0, 1) 内至少有一个实根内至少有一个实根 . 四、函数间断点及其分类四、函数间断点及其分类定义定义设函数设函数 y = f (x) 在在 x0 的一个邻域有定义的一个邻域有定义( (在在 x0 可以没有定义可以没有定义) )， 则则称称 x0 是函数是函数 y = f (x) 的间断点的间断点. 也称函数在也称函数在该点间断该点间断. 如果函数如果函数 f (x) 在点在点 x0 处不处不连续连续，1. .第一类间断点第一类间断点若若 x0 为函数为函数 y = f (x) 的间断点的间断点，则称则称 x0 为为 f (x) 的第一类间断点的第一类间断点.即左即左、右

14、极限都存在的间断点为右极限都存在的间断点为第一类间断点第一类间断点 . . )(lim )(lim 00都存在都存在和和且且xfxfxxxx 例例 10 证明证明 x = 0 为函数为函数. |)( 断断点点的的第第一一类类间间xxxf 证证因为该函数在因为该函数在 x = 0 处没有定义处没有定义, 所以所以 x = 0 是它的间断点，是它的间断点，又因为又因为，1lim|lim00 xxxxxx.1lim|lim00 xxxxxx所以所以 x = 0 为该函数的第一类间断点为该函数的第一类间断点 .yxO| xxy 例例 11证明函数证明函数 0,0,0,sin)(xxxxxf在在 x =

15、 0 处是第一类间断点处是第一类间断点.因此因此 x = 0 是该函数的第一类间断点是该函数的第一类间断点 . 这类间断点又这类间断点又称为称为可移去间断点可移去间断点. 证证. 1sinlim0 xxx因因为为即该函数在即该函数在 x = 0 处处的左、右极限存在，的左、右极限存在，, 0)0(1)(lim0 fxfx但是由于但是由于1xyO 22 2 2 0,1, 0,sin)(xxxxxf因为，如果修改定义因为，如果修改定义 f (0) = 1，所以，左、右极限存在且相等的间断点称为所以，左、右极限存在且相等的间断点称为可移去间断点可移去间断点.在在 x = 0 连续连续.则函数则函数1

16、xyO 22 2 22. .第二类间断点第二类间断点若若 x0 是函数是函数 y = f (x) 的间断点，的间断点， 且在该点至且在该点至少有一个单侧极限不存在，少有一个单侧极限不存在， 则称则称 x0 为为 f (x) 的的第二第二类间断点类间断点., 0 1)(处处无无定定义义在在函函数数 xxxf故故 x = 0 是该函数的间断点是该函数的间断点. ，又因为又因为 1lim0 xx即该函数在即该函数在 x = 0 处的左、右极限都不处的左、右极限都不存在，存在， 所以所以 x = 0 是该函数的第二类间断点是该函数的第二类间断点.， 1lim0 xx例如，例如，例例 12证明证明 x = 1 是是 的第二类间的第二类间断点断点.113)( xxf证证所给函数在所给函数在 x = 1 处没有定义，因此处没有定义，因此 x = 1 是它的间断点，是它的间断点，又因为又因为.3lim , 03lim111111 xxxx因此，因此， x