20VAR模型(a)高级计量经济学博士生讲义

1、第8章VAR模型与协整1980年Sims提出向量自回归模型( vector autoregressive model)。这种模型采用多方 程联立的形式，它不以经济理论为基础， 在模型的每一个方程中， 内生变量对模型的全部内 生变量的滞后值进行回归，从而估计全部内生变量的动态关系。向量自回归(VAR )模型定义VAR模型是自回归模型的联立形式，所以称向量自回归模型。假设 y1t, y2t之间存在关系，如果分别建立两个自回归模型yi, t = f (yi, t-1, yi, t-2, )y2, t = f (y2, t-i, y2, t-2, )则无法捕捉两个变量之间的关系。如果采用联立的形式，就

2、可以建立起两个变量之间的关系。VAR模型的结构与两个参数有关。一个是所含变量个数N, 一个是最大滞后阶数ko以两个变量yit, y2t滞后1期的VAR模型为例，yi, t = i + yi, t-i + y2, t-i + ui t其中 Ui t, U2 t IID (0,y2, t = 2 + yi, t-i + y2, t-i + u2 t2), Cov( Ui t, U2 t) = 0。写成矩阵形式是,yit111.1=+y2t221.112.1y1,t 1 uit+22.1y2,t 1 U2t设,Yt =yity2t11.112.1Uit1 =, Ut =21.122.1U2t则，Yt

3、 =+ i Yt-i + ut那么，含有N个变量滞后k期的VAR模型表示如下:Yt =+ i Yt-i +2 Yt-2 + + kYt-k + ut, ut IID (0,)其中，Yt = (yi, ty2, t yN, t)'=(12 N)'ii.j12.j=21.j22.jNi.jN2.jiN.j2N.jNN.jj = 1, 2,k，Ut = (Ui t U2,t UNt)',Yt为N 1阶时间序列列向量。为N 1阶常数项列向量。1,，k均为N N阶参数矩阵，ut IID (0,)是N 1阶随机误差列向量，其中每一个元素都是非自相关的，但这些元 素，即不同方程对应的

4、随机误差项之间可能存在相关。因VAR模型中每个方程的右侧只含有内生变量的滞后项，他们与ut是渐近不相关的，所以可以用OLS法依次估计每一个方程，得到的参数估计量都具有一致性。附录：用EViews估1t VAR (表格式、代数式两种输出方式，求残差序列)。VAR模型的特点是：(1)不以严格的经济理论为依据。在建模过程中只需明确两件事：共有哪些变量是 相互有关系的，把有关系的变量包括在VAR模型中；确定滞后期 ko使模型能反映出变量间相互影响的绝大部分。(2) VAR模型对参数不施加零约束。(对无显著性的参数估计值并不从模型中剔除)(3) VAR模型的解释变量中不包括任何当期变量，所有与联立方程模

5、型有关的问题在VAR模型中都不存在(主要是参数估计量的非一致性问题)。(4) VAR模型的另一个特点是有相当多的参数需要估计。比如一个 VAR模型含有三 个变量，最大滞后期 k = 3,则有k N 0(5/8)L (1/2)L1 (5/8)L(1/ 2)L| I - iL | = 0 1(1/4)L (5/8)L(1/4)L1 (5/8)L = 3 32 = 27个参数需要估计。当样本容量较小时， 多数参数的估计量误差较大。(5)无约束VAR模型的应用之一是预测。由于在 VAR模型中每个方程的右侧都不含 有当期变量，这种模型用于样本外一期预测的优点是不必对解释变量在预测期内的取值做任 何预测。

6、(6)用VAR模型做样本外近期预测非常准确。做样本外长期预测时，则只能预测出 变动的趋势，而对短期波动预测不理想。附录：用EViews做VAR模型的静态预测、动态预测和样本外动态预测。西姆斯(Sims)认为VAR模型中的全部变量都是内生变量。近年来也有学者认为具有 单向因果关系的变量，也可以作为外生变量加入VAR模型。VAR模型稳定的条件VAR模型稳定的充分与必要条件是1 (见 式)的所有特征值都要在单位圆以内(在以横轴为实数轴，纵轴为虚数轴的坐标体系中，以原点为圆心，半径为1的圆称为单位圆)或特征值的模都要小于1。1 .先回顾单方程情形。以 AR(2)过程yt = 1 yt-1 + 2 yt

7、-2 + ut 为例。改写为(1- 1 L - 2 L 2) yt = (L) yt = utyt稳定的条件是(L) = 0的根必须在单位圆以外。2 .对于VAR模型，也用特征方程判别稳定性。以 式，Yt = + 1Yt-1 + ut,为例，改 写为(I - 1 L) Yt=+ ut保持VAR模型稳定白条件是| I - 1L | = 0的根都在单位圆以外。| I - 1L| = 0在此称作 相反的特征方程(reverse characteristic function )。(第2章称特征方程)例 以二变量(N = 2), k = 1的VAR模型y1t5/81/2y1,t1u1t=+y2t1/4

8、5/8y2,t1u2t其中1 = 5/8 1/2为例分析稳定性。相反的特征方程是 1/4 5/8L) L)=0=(1-(5/8) L)2 - 1/8 L 2 =求解得L 1 = 1/ = , L 2 = 1/ =因为L 1, L 2都大于1,所以对应的 VAR模型是稳定的。3. VAR模型稳定的另一种判别条件是，特征方程 特征方程| 1 - I尸0的根就是1的特征值。例 仍以VAR模型 为例，特征方程表达如下：| 1 - I | = 0的根都在单位圆以内。5/8 1/21/4 5/85/81/41/25/8即(5/8 - )2 - 1/8 = (5/8 - )2 -(<178)2= -

9、) - ) = 0得1 = , 2 =。 1, 2是特征方程| 1- I | = 0的根，是参数矩阵1的特征值。因为1 =,2 =,都小于1,该VAR模型是稳定的。注息：(1)因为L1 = 1/ =1/ 1, L2 =1/=1/ 2,所以特征方程与相反的特征方程的根互为倒数，L = 1/ 。(2)在单方程模型中，通常用相反的特征方程(L) = 0的根描述模型的稳定性，即单变量过程稳定的条件是(相反的)特征方程(L) = 0的根都要在单位圆以外；而在 VAR模型中通常用特征方程 | 1- I | = 0的根描述模型的稳定性。VAR模型稳定的条件是，特征方程| 1- I | = 0的根都要在单位圆

10、以内，或相反的特征方程| I -L 1 | = 0的根都要在单位圆以外。4.对于k>1的k阶VAR模型可以通过友矩阵变换(companion form ),改写成1阶分 块矩B的VAR模型形式。然后利用其特征方程的根判别稳定性。具体变换过程如下。给出k阶VAR模型，Yt =+再配上如下等式，1 Yt-1 +2 Yt-2 + +k Yt-k + UtYt -1 = Yt -1Yt -2 = Yt -2Yt -k +1 = Yt - k +1 把以上k个等式写成分块矩阵形式,Yt口1口 2k 1nkYt 1UtYt 10I000Yt 20Yt 2=0+ 0I00Yt 3+0Yt k 1 NK

11、 10 NK 100I0NK NK Yt k NK 10 NK 1其中每一个元素都表示一个向量或矩阵。令Yt = (Yt-1Yt-2 Yt-k+1) 'nk 1AO = (0 0 0) 'NK 1kiiik0000I0 NK NK口 1 口 2I0Ai =0I00Ut = （Ut 0 0 0） ' NK 1上式可写为Yt = A0 + Ai Yt -i + Ut注意，用友矩阵变换的矩阵（向量）用正黑体字母表示。k阶VAR模型用友矩阵表示成了 1阶分块矩阵的VAR模型。例如，2变量2阶VAR模型的友矩阵变换形式是Yt12 Yt 1Ut=+Yt 10 I 0Yt 20其中等

12、式的每一个元素（项）都表示一个4 1阶向量或4 4阶矩阵。例如，2变量3阶VAR模型的友矩阵变换形式是Yt123 Yt 1UtYt 1= 0+ I00Yt2+ 0Yt 200I0Yt30其中等式的每一个元素（项）都表示一个6 1阶向量或6 6阶矩阵。| A 1 - I | = 0的全部根必须在VAR模型的稳定性要求 A1的全部特征值，即特征方程单位圆以内或者相反的特征方程| I - L A 1| = 0的全部根必须在单位圆以外。I| I - A1L| = 0注意：特征方程中的 A 1是Nk Nk阶的。特征方程中的I也是Nk Nk阶的。 以2阶VAR模型的友矩阵变换为例，12 . I 1 0 0

13、| I - A1L| = 0 I 00 0 IL =I 0IL=1- 1 L - 2 L2 = 0的全部根必须在单位圆以外。以3阶VAR模型的友矩阵变换为例,2L3 LI0ILII 1L00 L = ILI 00=| I- 1 L - 2 L2- 3 L3 | = 0的全部根必须在单位圆以外。因此，对于k阶VAR模型的友矩阵变换形式，特征方程是,| I - 1 L - 2 L 2-例 用以具体数字为系数的 2变量、2阶VAR模型做进一步说明。有yt15/85/161/81/4y1t1u1ty2t2+3/43/161/43/4y2t1+u2ty1t 101000yt20y2t 100100y2t

14、20Yt 10Yt 20其中,Yt =+1 Yt-i +2 Yt-2 + ut5/8 5/16 i =3/4 3/16友矩阵变换形式是1/81/42 =1/43/4Yt1 =+IYt 1ut2 +0或 Yt = A0 + A1 Yt -1 + U tN=2, k=2,所以A1的阶数为4 4),所以有4个特因为A1的阶数为4 4 (注意，因为 征根。特征方程是| A 1 - I | =3/43/1610015/8 5/161/81/410001/43/401000000100000015/85/161/83/43/161/4100101/43/404个根见下表：根模1 =2 =3 = i4 =

15、i尽管有3个根在单位圆内，因为有一个根为1,落在单位圆上，所以平稳性条件未能得到满足。VAR模型的稳定性(stability )特征现在讨论 VAR模型的稳定性特征。稳定性是指当把一个脉动冲击施加在VAR模型中某一个方程的新息(innovation )过程上时，随着时间的推移，这个冲击会逐渐地消失。如 果是不消失，则系统是不稳定的。下面分析一阶VAR模型Yt =+1 Yt-1 + ut为例。当 t = 1 时，有Y1 =+1 Y0 + u1当 t = 2 时，采用迭代方式计算，Y2 =+1Y1+u 2 =+1 (+1 Y0 +u1) + u 2= (I+1)+12 Y0+1 u1+u2当 t

16、= 3 时，进一步迭代，Y3 =+1Y2+u3 =+1 ( I+1)+12 Y0 + 1 u 1 + u2 + u3= (I+1+12)+13Y0 +12 u1+1u2 + u3对于 t 期，按上述形式推导ttt1 iYt = (I +1 +12+ + 1-1)+/ Yo + n 11 ut-ii0由上式可知，10 = I。通过上述变换，把 Yt表示成了漂移项向量、初始值向量 Y0和新息向量ut的函数。可见系统是否稳定就决定于漂移项向量、初始值向量 Y0和新息向量ut 经受冲击后的表现。假定模型是稳定的，将有如下3 个结论。( 1)假设 t = 1 时，对 施加一个单位的冲击，那么到 t 期的

17、影响是(I +1 +12 + + it-1)当 t 时，此影响是一个有限值， (I - 1 ) -1 。( 2) 假设在初始值Y0 上施加一个单位的冲击。 到 t 期的影响是1t。 随着 t ，1t0，影响消失(因为对于平稳的VAR 模型， 1 中的元素小于1，所以随着t ，取 t 次方后， 1 t0) 。t1t1(3)从 口ut-i项可以看出，白噪声中的冲击离t期越远，影响力就越小。 口二(Ii0i0t1-1)-1,称作长期乘子矩阵，是对 口，ut-i求期望得到的。i0对单一方程的分析知道， 含有单位根的自回归过程对新息中的脉动冲击有长久的记忆能力。同理，含有单位根的 VAR 模型也是非平稳

18、过程。当新息中存在脉动冲击时， VAR 模型中内生变量的响应不会随时间的推移而消失。平稳变量构成的一定是稳定 ( stability ) 的模型， 但稳定的模型不一定由平稳变量构成。也可能由非平稳( nonstationary )变量(存在协整关系)构成。VAR 模型滞后期 k 的选择建立 VAR 模型除了要满足平稳性条件外， 还应该正确确定滞后期 k 。 如果滞后期太少，误差项的自相关会很严重，并导致参数的非一致性估计。正如在第 4 章介绍 ADF 检验的原理一样，在VAR 模型中适当加大k 值(增加滞后变量个数) ，可以消除误差项中存在的自相关。但从另一方面看， k 值又不宜过大。 k 值

19、过大会导致自由度减小，直接影响模型参数估计量的有效性。下面介绍几种选择k 值的方法。1 用 LR 统计量选择k 值。 LR (似然比)统计量定义为，2LR = - 2 ( log L (k) - log L (k+1) ) (N2)其中log L(k)和log L(k+1)分别是VAR(k)和VAR(k+1)模型的极大似然估计值。k表示VAR模型中滞后变量的最大滞后期。 LR统计量渐近服从 2(N2)分布。显然当VAR模型滞后期的 增加不会给极大似然函数值带来显著性增大时，即LR统计量的值小于临界值时， 新增加的滞后变量对VAR模型毫无意义。应该注意，当样本容量与被估参数个数相比不够充分大时，

20、LR的有限样本分布与 LR渐近分布存在很大差异。2.用赤池(Akaike )信息准则(AIC)选才i k值。AIC = logut22k + T其中&表示残差，T表示样本容量,k表示最大滞后期。选择 k值的原则是在增加 k值的过程中使AIC的值达到最小。EViews的计算公式是AIC = -2log L2 k+3.用施瓦茨(Schwartz )准则(SC)选才i k值。SC = logt 1u?t2klogT+TT其中3表示残差，T表示样本容量，k表示最大滞后期。选择最佳k值的原则是在增加 k值的过程中使SC值达到最小。EViews的计算公式是log LSC =-2+klogT例 以第

21、8章案例为例，k =1、2、3、4时的logL、Akaike AIC 和Schwarz SC的值见 卜表。VAR(1) VAR(2) VAR(3) VAR(4) logL Akaike AIC Schwarz SC建立?t后2期或3期的VAR模型是可以的。VAR模型的脉冲响应函数和方差分解由于VAR模型参数的OLS估计量只具有一致性，单个参数估计值的经济解释是很困 难的。要想对一个 VAR模型做出分析，通常是观察系统的脉冲响应函数和方差分解。(1)脉冲响应函数。脉冲响应函数描述一个内生变量对误差冲击的反应。具体地说，它描述的是在随机误 差项上施加一个标准差大小的冲击后对内生变量的当期值和未来值

22、所带来的影响。对于如下VAR模型，y1, t表示GDP, y2, t表示货币供应量，y1, t =1 +y1, t-1 +y2,t-1+ U1 ty2, t =2 +y1, t-1 +y2,t-1+ U2 t在模型()中，如果误差 Ult和u2t不相关，就很容易解释。 uit是yi, t的误差项；u2t是 y2, t的误差项。脉冲响应函数衡量当期 Uit和u2t 一个标准差的货币冲击分别对 GDP和货币 存量的当前值和未来值的影响。对于每一个 VAR模型都可以表示成为一个无限阶的向量MA( 8)过程。具体方法是对于任何一个VAR(k)模型都可以通过友矩阵变换改写成一个VAR(1)模型(见节)。

23、Yt = Ai Yt -i + Ut (I - L A i) Yt = UtYt = (I - L A i)-i Ut = Ut + AiUt-i + Ai2 Ut-2 + + Ais Ut-s + 这是一个无限阶的向量MA( 8)过程。或写成，Y t+s = Ut+s + A iUt+s -i + A i2 Ut+s -2 + + Ais Ut + Yt+s = Ut+s + iUt+s -i +2 Ut+s -2 + + s Ut + 其中i = Ai, 2 = Ai2,， s= Ai s, 显然，由 式有下式成立，_ Yt s s = Uts中第i行第j列元素表示的是，令其他误差项在任何

24、时期都不变的条件下，当第j个变量对应的误差项Ujt在t期受到一个单位的冲击后，对第i个内生变量在t+ s期造成的影响。把s中第i行第j列元素看作是滞后期s的函数yi,t s,s = i, 2, 3, ujt称作脉冲响应函数 (impulse-response function ),脉冲响应函数描述了其他变量在t期以及以前各期保持不变的前提下，yi, t+s对yj, t时一次冲击的响应过程。对脉冲响应函数的解释出现困难源于实际中误差项从来都不是完全非相关的。当误差 项相关时，它们有一个共同的组成部分，不能被任何特定的变量所识别。为处理这一问题， 常引入一个变换矩阵 M与ut相乘，vt = M u

25、t (0,)从而把ut的方差协方差矩阵变换为一个对角矩阵 。现在有多种方法。其中一种变换方法称 作乔利斯基(Cholesky )分解法，从而使误差项正交。原误差项相关的部分归于 VAR系统中的第一个变量的随机扰动项。在上面的例子里， ui t和u2t的共同部分完全归于 uit,因为uit在u2 t之前。虽然乔利斯基分解被广泛应用，但是对于共同部分的归属来说，它还是一种很随意的 方法。所以方程顺序的改变将会影响到脉冲响应函数。因此在解释脉冲响应函数时应小心。注意：对于ut中的每一个误差项，内生变量都对应着一个脉冲响应函数。这样，一个含有4个内生变量的 VAR将有i6个脉冲响应函数。附录：VAR模

26、型残差序列及其方差、协方差矩阵的求法。点击VAR窗口中的Procs键，选Make Residuals (生成残差)功能，工作文件中就会生成以residOi, resid02,为编号的残差序列(残差序列的顺序与VAR模型估计对话框中输入的变量顺序相一致)，并打开残差序列数据组窗口。在这个残差序列数据组窗口中点击View键，选择Covariances功能，即可得到残差序列的方差、协方差矩阵。选择 Correlation功能，即可得到残差序列的相关系数矩阵。附录：脉冲响应的EViews操作点击VAR窗口中的Impulse键。在随后弹出的对话框中做出各项选择后点击OK键。例 美国民用燃油价格、储量、生

27、产量的脉冲响应图。Response 济 FHO to One 8.0. InnovatiocisResponse of OHO io One 5.D. Innovations(2)方差分解。Fesponst of NHOto Ont 8.0. Inrwiratior;另一个评价VAR模型的方法是方差分解。VAR的方差分解能够给出随机新息的相对重要性信息、。EViews对于每一个内生变量都计算一个独立的方差分解。3个变量的VAR观察10期的方差分解如下图。Variance Decomposition of LNGP.LNCPLNIPPeriodS.E.LNGP1a.050570100.0000o

28、.ooaoooo.raooo20.08065896.399014 03F-053.S009503,09152689,401897 2411783.35693440 105E4367.2789628.124014.597D3050.126176J 7.9894040.1543011 856300.14445136.8632042.0340621.102750.15095930.8608540.257932B.88122016977027.7154438.0782134 206350.17992025 2654337.022353771222100.19060022.5963337.0193540

29、.33432.所对应的列是相对于不同预测期的变量的预测误差。这种预测误差来源于新息的当期 值和未来值。其他的几栏给出关于源于某个特定的新息所引起的方差占内生变量总方差的百 分比。向前一个时期，一个变量的所有变动均来自其本身的新息。因此第一个数字总是 100%。同样，方差分解主要取决于方程的顺序。格兰杰非因果性检验VAR模型还可用来检验一个变量与另一个变量是否存在因果关系。经济计量学中格兰杰(Granger )非因果性定义如下：格兰杰非因果性：如果由yt和xt滞后值所决定的yt的条件分布与仅由yt滞后值所决定 的条件分布相同，即(yt yt -1, . * -1, ) = ( yt yt -1,

30、),则称Xt -1对yt存在格兰杰非因果性。格兰杰非因果性的另一种表述是其他条件不变，若加上Xt的滞后变量后对yt的预测精度不存在显著性改善，则称Xt -1对yt存在格兰杰非因果性关系。为简便，通常总是把 Xt-1对yt存在非因果关系表述为xt (去掉下标-1)对yt存在非因果关系(严格讲，这种表述是不正确的)。在实际中，除了使用格兰杰非因果性概念外，也使 用“格兰杰因果性”概念。顾名思义，这个概念首先由格兰杰( Granger 1969 )提出。西姆 斯(Sims 1972)也提出因果性定义。这两个定义是一致的。根据以上定义，xt对yt是否存在因果关系的检验可通过检验 VAR模型以yt为被解

31、释 变量的方程中是否可以把 xt的全部滞后变量剔除掉而完成。比如 VAR模型中以yt为被解 释变量的方程表示如下：kkyt =i yt i +ixt i + ui t1 1i 1如有必要，常数项，趋势项，季节虚拟变量等都可以包括在上式中。则检验xt对yt存在格兰杰非因果性的零假设是Ho：1 = 2 = , = k = 0显然如果()式中的 xt的滞后变量的回归参数估计值全部不存在显著性，则上述假设不能 被拒绝。换句话说，如果 xt的任何一个滞后变量的回归参数的估计值存在显著性，则结论 应是xt对yt存在格兰杰因果关系。上述检验可用 F统计量完成。l(SSEr SSEu) kF =SSEU (T

32、 kN)其中SSEr表示施加约束(零假设成立)后的残差平方和。SSEu表示不施加约束条件下的残差平方和。k表示最大滞后期。N表示VAR模型中所含当期变量个数，本例中 N = 2 , T 表示样本容量。在零假设成立条件下，F统计量近似服从F ( k, T - k N )分布。用样本计算的 F值如果落在临界值以内，接受原假设，即xt对yt不存在格兰杰因果关系。例：(file: stock)以661天()的上海(SH)和深圳(SZ)股票收盘价格综合指数为 例，滞后10期的Granger因果性检验结果如下：(当概率小于时，表示推翻原假设)Pai twice Granger Causality Tesl

33、s 口at日：M/1M4 Time： 19:56 Sample: 1 661 Lags: 10Null Hypothesis:ObsF-StalisticProbabilitySHnot GrangerC<iuse SZSZ does not Granger Cause SH6511,363 乃23,4395Q193160.00000上表中概率定义为,P(F> =图示如下:P(F> =因为F值()落在原假设接受域，所以原假设“上海股票价格综合指数对深圳股票价 格综合指数不存在 Granger因果关系”被接受。因为F值()落在原假设拒绝域，所以原假设“深圳股票价格综合指数对上海

34、股票价 格综合指数不存在 Granger因果关系”被推翻。附录：格兰杰因果关系检验EViews操作方法是，打开数剧组窗口，点View键，选Granger Causility 。在打开的对话窗口中填上滞后期(上面的结果取滞后期为10),点击OK键。用滞后5, 10, 15, 20, 25期的检验式分别检验，结果见下表：k=5k=10k=15k=20k=25H 0： SH does not Granger Cause SZ接受HoH 0： SZ does not Granger Cause SH拒绝Ho结论都是上海股票价格综合指数不是深圳股票价格综合指数变化的原因，但深圳股票价格综合指数是上海股票

35、价格综合指数变化的原因。注息：(1)滞后期k的选取是任意的。实质上是一个判断性问题。一般来说要试检验若干个不 同滞后期k的格兰杰因果关系检验，且结论相同时，才可以最终下结论。(2)当做xt是否为导致yt变化的格兰杰原因检验时，如果zt也是yt变化的格兰杰原因，且zt又与xt相关，这时在 xt是否为导致yt变化的格兰杰因果关系检验式的右端应加入zt的滞后项(实际上是3个变量VAR模型中的一个方程)。(3)不存在协整关系的非平稳变量之间不能进行格兰杰因果关系检验。先有鸡，还是先有蛋？ 这是东西方文化的古老命题。Thurman W N 和Fisher M E (1988) 用19301983年美国年

36、鸡蛋产量和年鸡产量数据分别用滞后14期的检验式对先有鸡还是先有蛋做了格兰杰因果关系检验。注意只有在检验出单向因果关系后，检验才是有效的。Thurman和Fisher的检验结果是先有蛋！据说他们下一步的检验目标是“骄必败"。(见Chicken eggs and causality or which came first? ", American Journal of Agricultural Economics, pp237-238, May 1988 )VAR模型与协整如果VAR模型Yt = 1 Yt-1 + 2 Yt-1 + + kYt-k + ut, ut IID (0

37、,)的内生变量都含有单位根，那么可以用这些变量的一阶差分序列建立一个平稳的VAR模型。Yt = 1* Yt-1 + 2* Yt-2 + + k* Yt-k + ut*然而，当这些变量存在协整关系时，采用差分的方法构造VAR模型虽然是平稳的，但不是最好的选择。如果YtI(1) ，且非平稳变量间存在协整关系。那么由这些非平稳变量组成的线性组合则是平稳的。建立单纯的差分VAR 模型将丢失重要的非均衡误差信息。因为变量间的协整关系给出了变量间的长期关系。 同时用这种非均衡误差以及变量的差分变量同样可以构造平 稳的 VAR 模型。从而得到一类重要的模型，这就是向量误差修正模型。下面推导向量误差修正( V

38、EC )模型的一般形式。对于k = 1的VAR模型，Yt =i Yt-i + ut,两侧同减Yt-i,得Yt= ( i -I )Yt-i + ut对于k=2的VAR模型，Yt=i Yt-i+2Yt-2+ut,两侧同减Yt-i,在右侧加、减2 Yt-i,并整理得Yt = ( i +2 - I ) Yt-i - 2 Yt-i + ut对于k=3的VAR模型，Yt=i Yt-i+2Yt-2+3Yt-3+ut,两侧同减Yt-i,在右侧加、减2 Yt-i 和3 Yt-i 并整理得2 Yt-2 +3 Yt-3 + u tYt = ( i +2 +3 - I ) Yt-i -2 Yt-i -3 Yt-i +

39、= ( i +2 +3 - I ) Yt-i2Yt-i -3 Yt-i +3 Yt-3+ ut在右侧加、减3 Yt-2 并整理得Yt = ( i + 2 +3 - I ) Yt-i -2 Yt-i -3 Yt-i +3 Yt-2 -3 Yt-2 +3 Yt-3+ ut3Yt-2 + ut3 - I ) Yt-i -2Yt-i - 3Yt-i -2 +3 - I ) Yt-i- ( 2 + 3 )Yt-i -3 Yt-2 + ut对于 k 阶 VAR 模型，Yt =i Yt-i +2 Yt-2 + +k Yt-k + ut， 利用 k=i, 2, 3 的 VAR 模型 式，其向量误差修正模型(

40、VEC )的表达式是Yt = ( i + 2 + +k - I ) Yt -i- ( 2 + 3 + ,1 +k)Yt-i- ( 3 +k)Yt-2 -kYt - (k-i) +utk令j = - i , j = i , 2, k-,i ,iji=-0 - I = i - I = i +2 + 1 + k - I ,ii则上式写为Yt =Yt-i + i Yt-i + 2 Yt-2 + + k-i Yt - (k-i) + ut这是向量误差修正模型( VEC )的一般表达式(与计量经济分析中的推导略有不同) 。称为 压缩矩阵 ( impact matrix ， 影响矩阵 ) 。 是全部参数矩阵

41、的和减一个单位阵。 为多项式矩阵， 其中每一个元素都是一个多项式。 运算规则于一般矩阵相同。 滞后期的延长不影响对协整向量个数的分析。根据 Granger 定理，向量误差修正模型( VEC )的表达式是A?(L) (i- L) Yt =' Yt-i + d (L) ut其中A?(L)是多项式矩阵A(L)分离出因子(i-L)后降低一阶的多项式矩阵，d (L)是由滞后算子表示的多项式矩阵。上式与 式完全相同。其中A?(L)(1- L) Yt = A?(L) Yt = Yt- 1 Yt-i - 2 Yt-2 -k-1 Yt - (k-i) d(L) ut = ut在这里d (L)退化为单位列

42、向量。若Yt CI(1, 1),比较 和 式必然有 ='其中 是协整矩阵， 是调整系数矩阵。 和 都是N r阶矩阵。表示有r个协整向量，1 2，r,存在r个协整关系。因为 Yt I(1),所以Yt 1(0)。从模型变换为模型称为协整变换(cointegrating transformation )。压缩矩阵决定模型中是否存在，以及以什么规模存在协整关系。因为 Yt I(0),所以除了Yt-k ,模型 中各项都是平稳的。而对于 Yt-k有如下三种可能。1 .当Yt的分量不存在协整关系，的特征根为零， =0。2 .若rank ( ) = N (满秩)，保证Yt-k平稳的唯一一种可能是Yt

43、I(0)。3 .当Yt I(1),若保证 Yt-k平稳，只有一种可能，即Yt的分量存在协整关系。'Yt I(0)VEC模型是带有误差修正机制的关于Yt的VAR模型。增加Yt-1滞后项的目的是吸收ut中的自相关成分，使其变为白噪声。没有这些项，等于丢掉了动态成分。假定Yt I(1)具有一般性。如果某个变量的单整阶数高于1,可通过差分取其相应单整阶数为1的序列加入模型。上式也可以加入位移项与趋势项。若 =成立，且存在r个协整关系，则Yt-1的一般表达式是'Yt-1=11211r2r111Ny1,t 1y2,t 1N1Nr n rr1rN r Ny N,t 1 n 111211r2r

44、11y1,t 1.1N y N,t 1N1Nr N rr1y1,t 1.rN y N,t 1 r 111 (11 y1,t1 .1N yN ,t 1)1r ( r1 y1,t 1rN y N,t 1 )N1(11 y1,t1 .1N yN ,t 1)Nr ( r1 y1,t 1. rN yN,t 1 )为便于理解，现在以 例有VEC模型N =2, k=1的VEC模型为例,说明 VEC模型中的协整关系。1 一、.y2, t-1) + ui t 8y2, t = - ( y1, t-1 - y2, t-1) + u2 t28看式，令误差修正项y, t-1 - (1/8) y2, t-1 = v1,

45、 t-1。当v1, t-1增加，系统偏离了均衡点,y2, t-1,因为调整系数为负(-1/2 ),在t期将导致 向均衡点。反之亦然。把 式改写如下，yi, t减小，也即yi, t减小。y1, t-1 > (1/8)从而使y1, t移y2, t = - ( y2, t-1 - 8 y1, t-1) + v 2 t16误差修正机制的解释与上类似。把，写成矩阵形式。y1,ty2,t1/21/161/21/16y1,t 1y2,t 1uitYt-i +ut现在分析矩阵O因为1/21/2u2t1/161/16=0,是降秩的。为求的特征值，解如下特征方程,两个根是1 = 01当0。于是=0,说明1/

46、21/21/161/161/21/21/161/16=1/32 + 9/16 +=2 + 9/162 = - 9/16。是降秩的。-1/32(+ 9/16) = 0般来说，非零根的个数既是的秩。完全降秩，即rank( ) = 0时，任意形式的通过适当线性变换,0式变为，可以得到Yt= ut模型中没有协整这是一阶差分形式的平稳的VAR模型。说明Yt中含有一个单位根。VAR向量。现在讨论多于一个协整关系的情形。例设三个变量的k = 1的误差修正模型如下，y y1, t = - (1/2) y1, t-1 - (1/8) y21-1 + (1/4) y2,t-1 - (1/4) y3 t-1+ u1 ty2, t = (1/8) y1, t-1 - (1/8) y2 t-1 - (5/8) y2,t-1 -