任意角三角函数公开课

1、1.2.1 1.2.1 任意角的三角函数任意角的三角函数 东升西落照苍穹，东升西落照苍穹，影短影长角不同。影短影长角不同。昼夜循环潮起伏，昼夜循环潮起伏，冬春更替草枯荣。冬春更替草枯荣。 新新 课课 引引 入入 日出日落，冬去春来，自然界中存在许多日出日落，冬去春来，自然界中存在许多“按一定规律周按一定规律周而复始而复始”的现象，我们把它们称为周期现象，用怎样的数学模的现象，我们把它们称为周期现象，用怎样的数学模型来刻画周期现象呢？型来刻画周期现象呢？ 周期现象与周期运动有关，一个简单的例子就是：周期现象与周期运动有关，一个简单的例子就是：圆周上一点的旋转运动圆周上一点的旋转运动.请看下面实例

2、请看下面实例. 新 课 引 入问问 题题 探探 索索问题问题1 1：如图，摩天轮的半径为如图，摩天轮的半径为10m10m，中心，中心O O离地面为离地面为20m20m，现在小明坐上了摩天轮，并，现在小明坐上了摩天轮，并从点从点P P开始以每秒开始以每秒1 1度的速度逆时针转动，当度的速度逆时针转动，当转动转动3030秒后小明离地面的高度是多少？秒后小明离地面的高度是多少？PO. .10m20m30300 0P P1 1M M问问 题题 探探 索索问题问题2 2：设转动设转动 度后小明离地面的高度为度后小明离地面的高度为h, h, 为为0 00 090900 0, ,试着写出试着写出h h和和

3、的关系式。的关系式。POP P1 1问题问题3 3：当当 推广到任意角后，你觉得上述关系推广到任意角后，你觉得上述关系式还能适用吗式还能适用吗 ？M MP P2 2 在初中阶段在初中阶段, ,我们对在直我们对在直角三角形中锐角的三角函数角三角形中锐角的三角函数定义如下：定义如下：cba正弦函数：正弦函数：余弦函数余弦函数 ( (邻邻边边比比斜斜边边) )cosaBc 正切函数：正切函数： ( (对对边边比比邻邻边边) )tanbBa BAC ( (对对边边比比斜斜边边) )sinbBc 你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？表示锐角三角

4、函数吗？ 我们先在平面上我们先在平面上建立一个直角坐标系建立一个直角坐标系xoy, ,将锐角将锐角的顶点的顶点放在坐标原点放在坐标原点, ,始始边边放放在在x轴轴的非负半轴的非负半轴上上, ,设设OP为它的终边为它的终边, ,如右图：如右图：xyo用坐标形式表示锐角三角函数用坐标形式表示锐角三角函数: :sincostanyryxryx答案P（x,y)Ox的终边M设点设点P(x,y)是锐角是锐角终边上的任意一点，终边上的任意一点，记记OP=r（r0）则：）则：22 rxy【探究探究】比值比值 是否因为是否因为P (x, y)点在终点在终边上的位置发生变化而变化？边上的位置发生变化而变化？,yy

5、xrrx结论结论: :三个比值都三个比值都不会随点不会随点P在在终边上的终边上的位置位置变化而改变变化而改变. .xyoPM 1P1M 的终边的终边cosxr sinyr tanyx r=1cosx siny tanyx 当点当点P(x,y)满足满足x2 + y2 =1时时,正弦、余弦、正切正弦、余弦、正切函数值会有什么样的结果？函数值会有什么样的结果？x xA(1,0)A(1,0)y yO OP(x,y)P(x,y)M单位圆单位圆的交点的坐标的交点的坐标来表来表示。示。sin y cosx tanyx yxO( , )P x yxy推广推广任意角三角函数的定义任意角三角函数的定义任意角三角函

6、数的定义任意角三角函数的定义: : 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数。的函数。 三角函数三角函数xysinxycosxytan,2|Zkkxx如何求如何求三角函数值三角函数值?关键：关键： 求出求出例例1：求：求 的正弦的正弦,余弦和正切值余弦和正切值.3553 12AB1r 13,22P 2335sin y2135cos x335tanxy32O摩天轮有个美丽的传说，当摩天轮转到最摩天轮有个美丽的传说，当摩天轮转到最高点时许下的愿望一般能实现，你能求出高点时许下的愿望一般能实

7、现，你能求出小明第一次到达最高点许愿时转过的角小明第一次到达最高点许愿时转过的角 的正弦、余弦、正切值吗的正弦、余弦、正切值吗?问 题 回顾问题2：设转动度后小明离地面的高度为h, 为00900,试着写出h和的关系式。PO. .P1 1问题3：当推广到任意角后，你觉得上述关系式还能适用吗 ？20+10sinh 20+10sinh POPM20m10m20+10sin 是是否否一一定定成成立立？h 角转到第二象限时：角转到第二象限时：20hPM20pysin10py20+10sin 成成立立h POPM20m10m20+10sinh 角转到第三象限时：角转到第三象限时：20hPM20pysin10py20+10sin 成成立立h 当角转到第四象限的时候，同学们可以证明，该式也一定成立。当角转到第四象限的时候，同学们可以证明，该式也一定成立。谈一下你的收获谈一下你的收获! !任意角三角函任意角三角函数的定义数的定义知识结构知识结构三角函数的