x01-4函数的连续性ppt课件

1、1.函数在一点连续性函数在一点连续性定义定义(1) (1) 设函数设函数)(xf在在)(0 xU 内有定义内有定义, , 0lim0 yx 那末就称函数那末就称函数)(xf在点在点 0 x连续连续, , 0 x称为称为)(xf的连续点的连续点. . 定定义义( (2 2) ) 设设函函数数)(xf在在)(0 xU 内内有有定定义义, ,如如果果)()(lim00 xfxfxx 则则称称函函数数)(xf在在点点 0 x连连续续. . 1-41-4连续函数主要性质连续函数主要性质2.单侧连续单侧连续;)(),()0(,()(0000处左连续处左连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函

2、数xxfxfxfxaxf 定定理理.)()(00处处既既左左连连续续又又右右连连续续在在是是函函数数处处连连续续在在函函数数xxfxxf.)(),()0(,),)(0000处右连续处右连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfbxxf 二二.连续函数与连续区间连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上叫做在该区间上的连续函数的连续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.,)(,),(上连续上连续在闭区间在闭区间函数函数则称则称处左连续处左连续在右端点在右端点处右连续处右连续并且在左端点并且在左端点内连续内连

3、续如果函数在开区间如果函数在开区间baxfbxaxba 定理定理3-13-1.)0)()()(),()(),()(,)(),(000处也连续处也连续在点在点则则处连续处连续在点在点若函数若函数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如,),(cos,sin内连续内连续在在xxtan ,cot ,sec ,csc.xxxx故在其定义域内连续三.连续函数的运算（1连续函数的和差积商的连续性(2)复合函数复合函数: 设设y=f(u),uU，u=u(x), x X, 其值域为其值域为u(X)=uu= u(x), xX U，则称函数则称函数y=fu(x)为为x的复合函数。的复合函数。,自变量自变

4、量x,中间变量中间变量u,因变量因变量yu为内函数，为内函数，f为外函数为外函数0000000lim ( )(),( )(),lim ( )lim ( )( ().xxxxxxu xu xf uuu xf u xfu xf u x若函数在点连续 则定理定理1-6 若内函数若内函数u(x)在在x0连续连续,外函数外函数f(u)在在u0=u(x0)连续，则复合函数连续，则复合函数y=fu(x)在在x0连续连续定理定理 严格单调的连续函数必有严格单调的连续严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数反函数. .例如例如,2,2sin上单调增加且连续上单调增加且连续在在 xy. 1 , 1arcsin上

5、也是单调增加且连续上也是单调增加且连续在在故故 xy（3）.反函数的连续性定理定理 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的. .定理定理 一切初等函数在其定义区间内都是连续的一切初等函数在其定义区间内都是连续的. .定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间. .例如例如, 1cos xy,4,2, 0: xD四、初等函数的连续性四、初等函数的连续性 六六.闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质0000( ),( )() ( )()()( )().f xxIxIf xf xf xf xf xf xI对于在闭区间I=a,b上有定义函数如果有使得对

6、于任一都有则称是函数在 上的最大 小 值例如例如, 2max y,sin1xy ,2 , 0上上在在 ; 0min y定理定理1-7 最大值和最小值定理最大值和最小值定理在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.ab2 1 xyo)(xfy ).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabaCxf 有有使得使得则则若若注意注意:1.:1.若区间是开区间若区间是开区间, , 定理不一定成立定理不一定成立; ; 2. 2.若区间内有间断点若区间内有间断点, , 定理不一定定理不一定成立成立. .xyo)(xfy 211xyo2 )(xfy 定理定理

7、( (有界性定理有界性定理) ) 在闭区间上连续的函数一定在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界在该区间上有界. .证证,)(上上连连续续在在设设函函数数baxf,bax ,)(Mxfm 有有,maxMmK 取取.)(Kxf 则则有有.,)(上上有有界界在在函函数数baxf定义定义: :.)(, 0)(000的的零零点点称称为为函函数数则则使使如如果果xfxxfx .),(0)(内内至至少少存存在在一一个个实实根根在在即即方方程程baxf 证明在第二篇证明在第二篇ab3 2 1 几何解释几何解释:.,)(轴至少有一个交点轴至少有一个交点线弧与线弧与则曲则曲轴的不同侧轴的不同侧端点位于端点位于的

8、两个的两个连续曲线弧连续曲线弧xxxfy xyo)(xfy 几何解释几何解释:MBCAmab1 2 3 2x1xxyo)(xfy 证证,)()(Cxfx 设设,)(上连续上连续在在则则bax Cafa )()( 且且,CA Cbfb )()( ,CB , 0)()( ba 由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)( , 0)()( Cf 即即.)(Cf .)(至少有一个交点至少有一个交点直线直线与水平与水平连续曲线弧连续曲线弧Cyxfy 推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大在闭区间上连续的函数必取得介于最大值值 M M与最小值与最小值m m之间的任何值之间的任何值. .例例1.

9、证明方程证明方程01423 xx一个根 .证证: 显然显然, 1 ,014)(23Cxxxf又,01)0(f02) 1 (f故据零点定理, 至少存在一点, ) 1 ,0(使,0)(f即01423说明说明:,21x,0)(8121f内必有方程的根 ;) 1 ,(21取 1 ,21的中点,43x,0)(43f内必有方程的根 ;),(4321可用此法求近似根.二分法二分法4321x01在区间)1 ,0(的中点取1 ,0内至少有那么那么0)()()(212xfxff上连续 , 且恒为正 ,例例2. 设设)(xf在,ba对任意的, ),(,2121xxbaxx必存在一点证证:, ,21xx使. )()(

10、)(21xfxff令)()()()(212xfxfxfxF, 那么,)(baCxF)()(21xFxF)()()(2112xfxfxf)()()(2122xfxfxf)()(21xfxf221)()(xfxf0使,)()(21时当xfxf,0)(xf,0)()(21xFxF故由零点定理知 , 存在, ),(21xx,0)(F即. )()()(21xfxff当)()(21xfxf时, 取1x或2x, 则有)()()(21xfxff证明:3.( )0,2(0)(2 )0( )().f xaffaaffa例 已知在上连续，且则至少存在一个，使( )( )()F xf xf xa解：令，( )0,2(

11、 )0,f xaF xa由在上的连续性知在上连续.(0)(0)( ),( )( )(2 )(0)( )Fff a F af afaff a (0)( )0FF a由零点定理，至少存在一点(0, ),a使( )0,( )().Fffa即例例4 4均值定理）均值定理）证：证：因此有因此有再由介值定理的推论可知，再由介值定理的推论可知，至少有一点至少有一点121( ) , ,nnf xa baxxxbx x若在上连续，则在上必有一点 ，使12( )()()( )nf xf xf xfn11max( ), ,min( ), ,nnMf x xx xmf x xx x设，12()()()nmf xf x

12、f xnM1,( , ),nx xa b使12( )()()( )nf xf xf xfn例例5 5不动点定理）不动点定理）.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使使得得证证明明且且上上连连续续在在区区间间设设函函数数证证,)()(xxfxF 令令,)(上连续上连续在在则则baxFaafaF )()(而而, 0 由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)()( fFbbfbF )()(, 0 .)( f即即例例5 5. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e例例6 6.11lim20 xxx 求求解解解解)11()11)(11(lim2220

13、 xxxxx原原式式11lim20 xxx20 . 0 )()()(lim000定定义义区区间间 xxfxfxx 初等函数求极限的方法代入法）初等函数求极限的方法代入法）.0lim(1)/xxax求ealog1lna例例711,log (1).xxataat xt 解：设，原式原式=0limlog (1)tatt101limlog (1)ttat由此可见，极限符号和绝对值符号是可以交换的。由此可见，极限符号和绝对值符号是可以交换的。证明常用等价无穷小证明常用等价无穷小例800lim( )lim( )xxxxf xf x设存在，求002lim( )lim( )xxxxf xfx02lim( )xxfx0l