时　利用二次函数解决最优化问题

1、21.4二次函数的应用第1课时利用二次函数解决最优化问题知识要点基础练知识点1面积最优化问题1.用60 m长的篱笆围成矩形场地,矩形的面积S随着矩形的一边长L的变化而变化,要使矩形的面积最大,L的长度应为(B)A.6 mB.15 mC.20 mD.103 m2.如图,在ABC中,B=90,AB=12 mm,BC=24 mm,动点P从点A开始沿边AB向点B以2 mm/s的速度移动(不与点B重合),动点Q从点B开始沿边BC向点C以4 mm/s的速度移动(不与点C重合).如果P,Q分别从A,B两点同时出发,那么经过3s,四边形APQC的面积最小.知识点2销售利润最优化问题3.某超市的小王对该超市苹果

2、的销售情况进行了统计,某种进价为2元/千克的苹果每天的销售量y(千克)和当天的售价x(元/千克)之间满足y=-20x+200(3x5),若要使该种苹果当天的利润达到最高,则其售价应为(A)A.5元/千克B.6元/千克C.3.5元/千克D.3元/千克4.(沈阳中考)某商场购进一批单价为20元的日用商品,如果以单价30元销售,那么半月内可销售出400件,根据销售经验,提高销售单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件,当销售单价是35元时,才能在半月内获得最大利润.5.某商店销售一种成本为40元/千克的水产品,若按50元/千克销售,一个月可售出500千克,销售单价每上涨1元

3、,月销售量就减少10千克.(1)写出月销售利润y与销售单价x之间的函数表达式;(2)销售单价定为55元时,计算月销售量与销售利润;(3)当销售单价定为多少元时,会获得最大利润?求出最大利润.解:(1)月销售利润y=(x-40)500-(x-50)10=(x-40)(1000-10x)=-10x2+1400x-40000.(2)月销售量为500-(55-50)10=450(千克),月销售利润为(55-40)450=6750(元).(3)由(1)可知y=-10(x-70)2+9000,当x=70时,会获得最大利润,ymax=9000(元).综合能力提升练6.为搞好环保,某公司准备修建一个长方体的污

4、水处理池,池底矩形的周长为100 m,则池底的最大面积是(B)A.600 m2B.625 m2C.650 m2D.675 m27.现有一个生产季节性产品的企业,其一年中获得的利润y和月份n之间的函数表达式为y=-n2+14n-24,当它的产品无利润时就会及时停产,则该企业一年中应停产的月份是(C)A.1月,2月,3月B.2月,3月,4月C.1月,2月,12月D.1月,11月,12月8.将一根长为20 cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形,则这两个正方形面积之和的最小值是12.5cm2.9.某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20x30,且x为

5、整数)出售,可卖出(30-x)件.若使利润最大,每件商品的售价应为25元.10.某小商场以每件20元的价格购进一种服装,先试销一周,试销期间每天的销售量t(件)与每件的销售价x(元/件)如下表:x(元/件)38363432302826t(件)481216202428假定试销中每天的销售量t(件)与销售价x(元/件)之间满足一次函数.(1)试求t与x之间的函数表达式;(2)在商品不积压且不考虑其他因素的条件下,每件服装的销售价定为多少时,该小商场销售这种服装每天获得的毛利润最大?每天的最大毛利润是多少?(注:每件服装销售的毛利润=每件服装的销售价-每件服装的进货价)解:(1)设t与x之间的函数关

6、系式为t=kx+b,则可得38k+b=4,36k+b=8,解得k=-2,b=80,故t=-2x+80.(2)设每天的毛利润为W元,则W=(x-20)(80-2x)=-2x2+120x-1600=-2(x-30)2+200,当x=30时,获得的毛利润最大,最大毛利润为200元.11.(济宁中考)某商店经销一种学生用双肩包,已知这种双肩包的成本价为每个30元.市场调查发现,这种双肩包每天的销售量y(个)与销售单价x(元)有如下关系:y=-x+60(30x60).设这种双肩包每天的销售利润为w元.(1)求w与x之间的函数表达式;(2)这种双肩包销售单价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少

7、元?(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元,该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润,销售单价应定为多少元?解:(1)w与x的函数表达式为w=-x2+90x-1800(30x60).(2)w=-x2+90x-1800=-(x-45)2+225,当x=45时,w有最大值,w最大值为225.答:销售单价定为45元时,每天销售利润最大,最大销售利润225元.(3)当w=200时,可得方程-(x-45)2+225=220.解得x1=40,x2=50.5042,x2=50不符合题意,应舍去.答:销售单价应定为40元.12.某超市销售一种商品,成本每千克10元.经市场调查,每天的销售量y千克与每千克售价x元(10x30)之间的函数关系的图象如图所示:(1)求y与x之间的函数表达式;(2)设商品每天的总利润为W(元),求W与x之间的函数表达式(利润=收入成本);(3)试求出(2)中,当售价为多少元时获得最大利润,最大利润是多少?解:(1)设y=kx+b,根据题意得10k+b=60,30k+b=20,解得k=-2,b=80,y=-2x+80.(2)W=(x-10)(-2x+80)=-2x2+100x-