球的表面积与体积147

1、排液法：排液法：hHhOABCR1球的概念球的概念 定点叫做球心，定点叫做球心，定长叫做球的半径定长叫做球的半径 与定点的距离等于或小于定长的点与定点的距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球的集合，叫做球体，简称球 与定点距离等与定点距离等于定长的点的集合于定长的点的集合叫做球面叫做球面讲授新课讲授新课假设将圆假设将圆n等分，则等分，则n=6n=12A1A2OA2A1AnO1n3221OAAOAAOAASSSS正多边形)AAAAAA(p211n3221正多边形pC21圆正多边形时，当CC,Rpn2RR2R21S圆pA3 早在公元三世纪，我国数学家刘徽早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导

2、圆的面积公式而发明了为推导圆的面积公式而发明了“倍倍边法割圆术边法割圆术”。他用加倍的方式不断增加圆内接正他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面多边形的边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所谓积之差更小，即所谓“割之弥细，割之弥细，所失弥小所失弥小”。这样重复下去，就达。这样重复下去，就达到了到了“割之又割，以至于不可再割，割之又割，以至于不可再割，则与圆合体而无所失矣则与圆合体而无所失矣”。这是世界上最早的这是世界上最早的“极限极限”思想。思想。 当分割的当分割的层数不断层数不断增加，每增加，每一层就越一层就越接近一个接近一个圆柱体。圆柱体。OR)1( inR.,2,1

3、,)1(22niinRRri ir设球的半径为设球的半径为R，它的体积只与，它的体积只与半径半径R有关。有关。将半球分割成将半球分割成n层，每一层都近似层，每一层都近似于圆柱形状的于圆柱形状的“小圆片小圆片”。这些。这些“小圆片小圆片”的体积之和就是球的的体积之和就是球的体积。体积。选第选第i层（由下而上），如右图。层（由下而上），如右图。厚度：厚度：下底面半径：下底面半径：体积：体积：Rn 23211ninRnRrVii 12nVVVV半球322222212(1)1(1)(1)1Rnnnnn3222212(1)Rnnnn32(1)( 21)16nnRn612121222)(nnnn311(1

4、)(2)16nnVR半球1nn当 无限变大时， 趋于0323VR半球343VR球R332RV 半球半球331RV 圆锥圆锥3RV 圆圆柱柱高等于底面半径的旋转体体积对比高等于底面半径的旋转体体积对比球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，如何求球的表面积公式呢法用展开图求出，如何求球的表面积公式呢? 从球的体积公式的推导方法从球的体积公式的推导方法, 得到启发，可以借助得到启发，可以借助极限思想方法来推导球的表面积公式。极限思想方法来推导球的表面积公式。oiS o则球的体积为：则球的体积为：iV 设“小锥体”的体积为设“小锥体”的体积

5、为iVnVVVVV 321iSO OO O34133RsR24SR1.如图如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直圆柱的底面直径与高都等于球的直径径,求证求证:(1)球的表面积等于圆柱的侧面积球的表面积等于圆柱的侧面积.(2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二球的表面积等于圆柱全面积的三分之二.O O2.(1)把球的半径扩大为原来的把球的半径扩大为原来的3倍，则体积扩大为原来的倍，则体积扩大为原来的_倍倍.(2)把球队表面积扩大到原来的把球队表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大为原倍，那么体积扩大为原来的来的_倍倍.(3)三个球的表面积之比为三个球的表面积之比为1:2:3，则它们的体积之比为，则它

6、们的体积之比为_.(4)三个球的体积之比为三个球的体积之比为1:8:27，则它们的表面积之比为，则它们的表面积之比为_.用一个平面用一个平面去截一个球去截一个球O，截面是圆面，截面是圆面222dRrrdRO球的截面的性质：球的截面的性质：球心和截面圆心的连线垂直于截面球心和截面圆心的连线垂直于截面球心到截面的距离为球心到截面的距离为d，球的半径为，球的半径为R，则，则正方体的内切球直径正方体的内切球直径正方体的外接球直径正方体的外接球直径与正方体所有棱相切的球直径与正方体所有棱相切的球直径探究探究 若正方体的棱长为若正方体的棱长为a，则，则aa3a2：有三个球：有三个球,一球切于正方体的各面一

7、球切于正方体的各面,一球切一球切于正方体的各侧棱于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点一球过正方体的各顶点,求求这三个球的体积之比这三个球的体积之比.画出正确的截面：(1)中截面；(2)对角面找准数量关系21ar aaaa2ar222aa2ar2331.一球的球面面积为一球的球面面积为256cm2，过此球的一条半径的，过此球的一条半径的中点，作垂直于这条半径的截面，求截面圆的面中点，作垂直于这条半径的截面，求截面圆的面积积.变式：在球内有相距变式：在球内有相距9cm的两个平行截面，截面面的两个平行截面，截面面积分别为积分别为49cm2和和400cm2，求球的表面积，求球的表面积.两种情况2.

8、过球面上三点过球面上三点A、B、C的截面和球心的截面和球心O的距离等于的距离等于球的半径的一半，且球的半径的一半，且ABBCCA3，求球的体积，求球的体积.变式：在半径为变式：在半径为13cm的球面上有的球面上有A、B、C三点，三点，AB6cm，BC8cm，CA10cm，求经过，求经过A、B、C三点三点的截面与球心的截面与球心O之间的距离之间的距离.要点：准确画图，利用基本三角形两个几何体两个几何体:一个几何体的各个一个几何体的各个面与另一个几何体的各面相切面与另一个几何体的各面相切两个几何体两个几何体:一个几何体的所有顶点都一个几何体的所有顶点都在另一个几何体的表面上在另一个几何体的表面上解

9、决解决“接切接切”问题的关键是画出正确的问题的关键是画出正确的，把空间，把空间“接切接切”转化为平面转化为平面“接切接切”问题问题.，求求它它的的外外接接球球表表面面积积，侧侧面面面面积积分分别别为为长长方方体体的的共共顶顶点点的的三三个个，求求半半球球的的半半径径正正方方体体的的一一边边长长为为在在半半球球的的底底面面圆圆上上，若若，正正方方体体的的一一个个面面半半球球内内有有一一内内接接正正方方体体多多少少纸纸？有有盖盖纸纸盒盒中中，至至少少要要用用体体的的，把把钢钢球球放放入入一一个个正正方方钢钢球球直直径径，求求这这个个球球队队体体积积是是球球面面上上，它它的的棱棱长长一一个个正正方方

10、体体的的顶顶点点都都在在1553463.5cm2.4cm1.2222cbal长方体对角线长方体对角线：正四面体：正四面体ABCD的棱长为的棱长为a，求，求其内切球半径其内切球半径r与外接球半径与外接球半径R.：若正四面体变成正三棱锥，方法：若正四面体变成正三棱锥，方法是否有变化？是否有变化？1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等2、正多面体的内切球和外接球的球心重合3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理5、体积分割是求内切球半径的通用做法.,.)()(.球球的的半半径径，求求三三棱棱锥锥的的内内切切面

11、面，中中，在在三三棱棱锥锥正正三三棱棱锥锥的的体体积积的的内内接接正正三三棱棱锥锥，求求此此为为的的球球内内有有一一个个底底面面边边长长在在半半径径为为求求它它的的内内切切球球的的表表面面积积求求它它的的外外接接球球的的体体积积；，侧侧棱棱长长为为正正四四棱棱锥锥的的底底面面边边长长为为ABCSABACACABSAABCSaa901331215221211.半圆半圆O的直径为直角梯形垂直于底的的直径为直角梯形垂直于底的腰，且切腰，且切AB、BC、CD于于A、E、D点，将其绕点，将其绕AD所在直线旋转一周，所在直线旋转一周，得到一个球与一个圆台，若球的表面得到一个球与一个圆台，若球的表面积与圆台

12、侧面积的比为积与圆台侧面积的比为3:4，求球的，求球的体积与圆台体积之比体积与圆台体积之比.2.一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在此容器内注入水并且是正三角形，在此容器内注入水并且放入一个半径为放入一个半径为r的铁球，这时水面的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？出后，圆锥内水平面的高是多少？轴截面1.把半径为把半径为R的四个球垒成两层放在桌面，下的四个球垒成两层放在桌面，下层放三个，上层放一个，两两相切，求上层放三个，上层放一个，两两相切，求上层小球最高点离桌面的距离层小球最高

13、点离桌面的距离.2.四个半径为四个半径为R的大球上层一个，下层三个两的大球上层一个，下层三个两两相切叠放在一起，在它们围成的空隙内两相切叠放在一起，在它们围成的空隙内有一个小球与这四个大球都外切，另有一有一个小球与这四个大球都外切，另有一个更大的球与这四个大球都内切，求小球个更大的球与这四个大球都内切，求小球的半径的半径r和更大球的半径和更大球的半径R.化归为以各球球心为顶点的多面体问题平行于底面的截面与底面相似，且平行于底面的截面与底面相似，且SS121)hh(S底底截截S当平行于底面的截面过棱锥当平行于底面的截面过棱锥高的中点时，这个截面常被高的中点时，这个截面常被称为中截面，思考：称为中截面，思考：?S底底中截中截S原棱锥侧原棱锥侧小棱锥侧小