曲线与方程(一)

1、曲线与方程曲线与方程思考思考1 1：下面的：下面的方程方程能否表示直角坐标系中的能否表示直角坐标系中的第一、三象限第一、三象限角平分线角平分线？ x x 2 2 y y 2 2 = 0 = 0； x x y = 0y = 0; 0 yx直线直线方程方程直线上的点的坐标直线上的点的坐标都是方程的解都是方程的解方程的解为坐标的方程的解为坐标的点都在直线上点都在直线上0 xy2yxM00(,)xy(1)抛物线上的点抛物线上的点 都都是方程是方程的解的解;2yx说这条抛物线的方程是说这条抛物线的方程是2yx2yx方 程表示的曲线是这条抛物线表示的曲线是这条抛物线.思考思考2: 的曲线的曲线2yx与方程

2、与方程 有什么关系有什么关系? 2yx 为坐标的点在抛物线上为坐标的点在抛物线上.(2)以方程以方程2yx00(,)xy的解的解 一般地一般地, ,在直角坐标系中在直角坐标系中, ,如果某曲线如果某曲线C C( (看作看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹点的集合或适合某种条件的点的轨迹) )与二元方与二元方程程f f( (x x, ,y y)=0)=0的实数解建立了如下的关系的实数解建立了如下的关系: : (1)(1)曲线上的曲线上的点坐标点坐标都都是是这个这个方程的解方程的解; ; (2)(2)以这个以这个方程的解为坐标的点方程的解为坐标的点都是都是曲线上的点曲线上的点. . 那么那么, ,

3、这个方程这个方程f f( (x x, ,y y)=0)=0叫做叫做这条曲线这条曲线C C的方程的方程; ; 这条曲线这条曲线C C叫做这个方程叫做这个方程f f( (x x, ,y y)=0)=0的曲线的曲线. .定义定义:说明说明:1.:1.曲线的方程曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系反映的是图形所满足的数量关系; ; 方程的曲线方程的曲线反映的是数量关系所表示的图形反映的是数量关系所表示的图形. .f(x,y)=00 xy例例1 1判断下列结论的正误并说明理由判断下列结论的正误并说明理由 （1 1）过点）过点A A（3 3，0 0）且垂直于）且垂直于x x轴的直线方程为轴的直线方程为x

4、=3x=3 （2 2）到）到x x轴距离为轴距离为2 2的点的轨迹方程为的点的轨迹方程为y=2y=2 （3 3）到两坐标轴距离乘积等于）到两坐标轴距离乘积等于1 1的点的轨迹方程为的点的轨迹方程为xy=1对错错例例2 2证明：圆心为坐标原点，半径为证明：圆心为坐标原点，半径为5 5的圆的方程的圆的方程是是2522 yx并判断并判断是否在圆上是否在圆上），（、252)4, 3(21 MM0 xy551M2M例例2 2 证明以坐标原点为圆心，半径等于证明以坐标原点为圆心，半径等于5 5的圆的方程是的圆的方程是x x2 2 +y +y2 2 = 25, = 25,并判断点并判断点M M1 1(3(3

5、，-4)-4)，M M2 2(-3(-3，2)2)是否在这个是否在这个圆上圆上. .证明：证明：(1)(1)设设M(xM(x0 0,y,y0 0) )是圆上任意一点是圆上任意一点. .因为点因为点M M到坐标原点到坐标原点的距离等于的距离等于5 5，所以，所以 也就是也就是xoxo2 2 +yo +yo2 2 = 25 = 25. . 即即 (x(x0 0,y,y0 0) ) 是方程是方程x x2 2 +y +y2 2 = 25 = 25的解的解. .,52020 yx( (2)2)设设 (x(x0 0,y,y0 0) ) 是方程是方程x x2 2 +y +y2 2 = 25 = 25的解的解

6、，那么，那么 x x0 02 2 +y +y0 02 2 = 25 = 25 两边开方取算术根，得两边开方取算术根，得 即点即点M (xM (x0 0,y,y0 0) )到坐标原点的距离等于到坐标原点的距离等于5 5，点，点M (xM (x0 0,y,y0 0) )是这个是这个圆上的一点圆上的一点. ., 52020 yx由由1 1、2 2可知，可知， x x2 2 +y +y2 2 = 25, = 25,是以坐标原点为圆是以坐标原点为圆心，半径等于心，半径等于5 5的圆的方程的圆的方程. . 第一步，设M (x0,y0)是曲线C上任一点，证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；归纳归纳:

7、: 证明已知曲线的方程的方法和步骤证明已知曲线的方程的方法和步骤 第二步，设(x0,y0)是f(x,y)=0的解，证明点M (x0,y0)在曲线C上.变式训练：写出下列半圆的方程变式训练：写出下列半圆的方程yyy-5y5555555-5-5-5-500 xxxx课堂练习1:下列各题中，下图各曲线的曲线方程是所列出的方程吗？为什么？ (1)(1)曲线曲线C C为过点为过点A(1A(1，1)1)，B(-1B(-1，1)1)的折线的折线( (如图如图(1)(1)其方程为其方程为( (x x- -y y)()(x x+ +y y)=0;)=0; (2)曲线C是顶点在原点的抛物线其方程为x + =0;

8、(3)曲线C是, 象限内到x轴，y轴的距离乘积为1的点集其方程为y= 。10 xy-110 xy-11-2210 xy-11-221y 课堂练习2:下述方程表示的图形分别是下图中的哪一个？ - =0 xy|x|-|y|=0 x-|y|=011OXY11OXY11OXY-1-111OXY-1ABCD课堂练习3:1）已知方程 的曲线经过点 ,则m=_,n=_.0422nymx) 1 , 2(),2, 1 (BA2)235)(31)0 xyx方程（表示的曲线为( )A A、两条直线、两条直线 B B、两条射线、两条射线C C、两条线段、两条线段 D D、一条直线与一条射线、一条直线与一条射线练习：练

9、习：1、说出下列方程所表示的曲线：、说出下列方程所表示的曲线：(1) x = a (2) y = b(1) 过点过点 ( a , 0 ) 垂直于垂直于 x 轴的直线轴的直线(2) 过点过点 ( 0 , b ) 垂直于垂直于 y 轴的直线轴的直线2、判断两点、判断两点 P1(2 , 2 )、 P2(2 , )是否在方程是否在方程 x 2 + y 2 = 25 所表示的曲线上所表示的曲线上555代入验证代入验证P1 不在，不在， P2 在在3、已知方程、已知方程 x 2 + y 2 = 5 表示的曲线经过点表示的曲线经过点A ( , m )，求，求 m 的值。的值。2解：由题解：由题 2 + m

10、2 = 5 得得3m4、证明：以、证明：以 ( a , b ) 为圆心，为圆心，R 为半径的圆为半径的圆方程是方程是 ( x a ) 2 + ( y b ) 2 = R 2解：设圆上任一点解：设圆上任一点 P ( x , y )则则 | PC | = R ( x a ) 2 + ( y b ) 2 = R 25、过点、过点 A ( 1 , 1 )、B (1 , 1 ) 且圆心在且圆心在直线直线 x + y 2 = 0 上的圆的方程是上的圆的方程是 ( )A. ( x 3 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 4B. ( x + 3 ) 2 + ( y 1 ) 2 = 4C. ( x 1 )

11、2 + ( y 1 ) 2 = 4D. ( x + 1 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 4C圆心不在直圆心不在直线上线上不过点不过点Bxyo小结小结 在轨迹的基础上将轨迹和条件化为曲在轨迹的基础上将轨迹和条件化为曲线和方程，当说某方程是曲线的方程线和方程，当说某方程是曲线的方程或某曲线是方程的曲线时就意味着具或某曲线是方程的曲线时就意味着具备上述两个条件，只有具备上述两个备上述两个条件，只有具备上述两个方面的要求，才能将曲线的研究化为方面的要求，才能将曲线的研究化为方程的研究方程的研究, ,几何问题化为代数问题，几何问题化为代数问题，以数助形正是解析几何的思想，本节以数助形正是解析几何

12、的思想，本节课正是这一思想的基础。课正是这一思想的基础。例例2 2、设、设A A，B B两点的坐标分别是两点的坐标分别是(-1,-1),(-1,-1),(3,7),(3,7),求线段求线段ABAB的垂直平分线的方程。的垂直平分线的方程。思思考考1 1：我：我们有哪些可们有哪些可以求直线方程的方法？以求直线方程的方法？0 xyAB例例2 2、设、设A A，B B两点的坐标分别是两点的坐标分别是(-1,-1),(-1,-1),(3,7),(3,7),求线段求线段ABAB的垂直平分线的方程。的垂直平分线的方程。例例2 2、设、两点的坐标是、设、两点的坐标是 (-1, -1)(-1, -1)、(3,7

13、),(3,7),求线求线 段的垂直平分线方程段的垂直平分线方程 . .y0 xABM我们的目标就是要找我们的目标就是要找x与与y的关系式的关系式先找曲线上的点满足的几何条件先找曲线上的点满足的几何条件例例2 2、设、设A A，B B两点的坐标分别是两点的坐标分别是(-1,-1),(-1,-1),(3,7),(3,7),求线段求线段ABAB的垂直平分线的方程。的垂直平分线的方程。例例2 2、设、设A A，B B两点的坐标分别是两点的坐标分别是(-1,-1),(-1,-1),(3,7),(3,7),求线段求线段ABAB的垂直平分线的方程。的垂直平分线的方程。xy0MBA( , )x y由上面的例子

14、可以看出，求曲线（图形）的方由上面的例子可以看出，求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：程，一般有下面几个步骤：说明：说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明可适当予以说明.另外，根据情况，也可以省略另外，根据情况，也可以省略步骤（步骤（2），直接列出曲线方程），直接列出曲线方程.(1)用有序实数用有序实数对（对（x,y）表示曲线上任意一点）表示曲线上任意一点M的坐标；的坐标；(2)写出适合条件写出适合条件p的点的点M集合集合P=M|p(M)(3)用坐标表示

15、条件用坐标表示条件p(M),列出方程列出方程f(x,y)=0;(4)化方程化方程f(x,y)=0为最简形式；为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上都在曲线上. 通过上述两个例题了解坐标法的解题方法，通过上述两个例题了解坐标法的解题方法，明确建立适当的坐标系是求解曲线方程的基础；明确建立适当的坐标系是求解曲线方程的基础；同时，根据曲线上的同时，根据曲线上的点所要适合的条件列出等点所要适合的条件列出等式式，是求曲线方程的，是求曲线方程的重要环节重要环节，在这里常用到，在这里常用到一些基本公式，如一些基本公式，如，等等。练习练习2.已知一条直线已

16、知一条直线l和它上方的一个点和它上方的一个点A，点，点A到到l的距离是的距离是2,一条曲线也在一条曲线也在l的上方，它上面的上方，它上面的每一点到的每一点到A的距离减去到的距离减去到l的距离的差都是的距离的差都是2,建立适当的坐标系，求这条曲线的方程建立适当的坐标系，求这条曲线的方程.取直线取直线l为为x轴轴,过点过点A且垂直于直线且垂直于直线l的直线为的直线为y轴轴,建立坐标系建立坐标系xOy,解：解：2MAMB22(0)(2)2xyy218yx21(0)8yxx2)列式列式3）代换）代换4)化简化简5）审查）审查(0,2)AMB1）建系设点）建系设点因为曲线在因为曲线在x轴的上方，所以轴的

17、上方，所以y0, 所以曲线的方程是所以曲线的方程是 设点设点M(x,y)是曲线上任意一点，是曲线上任意一点，MBx轴，垂足是轴，垂足是B，思考思考:(37P练习第练习第 3 题题) 如图如图,已知点已知点 C 的坐标是的坐标是(2 , 2) , 过点过点 C 直线直线 CA与与 x 轴交于点轴交于点 A,过点过点 C 且与直线且与直线 CA 垂直的直线垂直的直线 CB与与 y轴交于点轴交于点 B,设点设点 M 是线段是线段 AB 的中点的中点,求点求点 M的的轨迹方程轨迹方程. xy0CBAM( , )x y练习练习3 3：已：已知动圆知动圆P P过定过定点点A A（-3-3，0 0），），且

18、在定圆且在定圆B B：（：（x-3x-3）2 2+y+y2 2=64=64的内部与其的内部与其相内相内切，求切，求动圆圆心动圆圆心P P的轨迹方程。的轨迹方程。注意：两圆内切的等量关系是两圆注意：两圆内切的等量关系是两圆R-r= 其中其中 为圆心距为圆心距120 0120 0例例3 3、已知抛物线、已知抛物线y y2 2=x+1=x+1，定点，定点A A（3 3，1 1），），B B为抛物线上任意为抛物线上任意一点，点一点，点P P是线是线段段ABAB中点，当中点，当点点B B在抛物线上运动时，求点在抛物线上运动时，求点P P的的轨迹方程。轨迹方程。2.2.相关点法相关点法练习：已知圆的方程是 过圆上任意一点P坐x轴的垂线，垂足为M求PM中点的轨迹方程224xyxy0( , )x yCABDM练习、已知练习、已知ABC,A(-2,0),B(0,-2