结构力学课件：第九章《渐近法》.

1、12第九章第九章 渐近法渐近法91 引 言92 力矩分配法的基本原理93 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架92 力矩分配法的基本原理92 力矩分配法的基本原理391 引 言 计算超静定结构，不论采用力法或位移法，均要组成和解算典型方程，当未知量较多时，其工作量非常大。为了寻求较简捷的计算方法，自本世纪三十年代以来，又陆续出现了各种渐进法，力矩分配法就是其一。 渐进法的共同特点是，避免了组成和解算典型方程，而以逐次渐进的方法来计算杆端弯矩，其结果的精度随计算轮次的增加而提高，最后收敛于精确解。 这些方法的概念生动形象，每轮计算的程序均相同，易于掌握，适合手算，并可不经过计算结点位移而直接求得杆

2、端弯矩。在结构设计中被广泛采用。492 力矩分配法的基本原理 力矩分配法为克罗斯(H.Cross)于1930年提出，这一方法对连续梁和无结点线位移刚架的计算尤为方便。1.劲度系数、传递系数 劲度系数(转动刚度)Sij 定义如下：当杆件AB的A端转动单位角时，A端(又称近端)的弯矩MAB称为该杆端的劲度系数，用SAB表示。它标志着该杆端抵抗转动能力的大小，故又称为转动刚度。 则劲度系数与杆件的远端支承情况有关，由转角位移方程知 远端固定时： ABEIL1MAB=4iMBAABEI1MAB=3iSAB=MAB=4i远端铰支时：SAB=MAB=3iSAB=3iAB1远端滑动支撑时：EIMAB=iMB

3、ASAB=MAB=iSAB=i远端自由时：AB1MAB=oEISAB=MAB=0SAB=0SAB=4i5(2) 传递系数CijABEIL1MAB=4iABEI1MAB=3iSAB=MAB=4iSAB=MAB=3iAB1EIMAB=iMBA=-iSAB=MAB=iAB1MABEISAB=MAB=0 当近端A转动时，另一端B(远端)也产生一定的弯矩，这好比是近端的弯矩按一定比例传到远端一样，故将B端弯矩与A端弯矩之比称为由A端向B端的传递系数传递系数，用CAB表示。即ABBAABMMC或 MBA=CABMAB远端固定时：CAB=0.5远端铰支时：CAB=0远端滑动支撑： CAB=1由右图或表(10

4、1)可得MBA=2i62. 力矩分配法的基本原理现以下图所示刚架为例说明力矩分配法的基本原理。1234qP(a)1234(b)MP图F21MF12MF14MF41M 图(a)所示刚架用位移法计算时，只有一个未知量即结点转角Z1，其典型方程为r11Z1+R1P=0绘出MP图（图b),可求得自由项为R1P=Fj1F14F13F12MMMMR1P是结点固定时附加刚臂上的反力矩，可称为刚臂反力矩，它等于结点1的杆端固端弯矩的代数和Fj1M，即各固端弯矩所不平衡的差值，称为结点上的不平衡力矩不平衡力矩。R1P1F12MF13MF14MR1P7r11=式中S1j代表汇交于结点1的各杆端劲度系数的总和。12

5、34(c)1M图1Z12i124i123i13i141M绘出结构的图（见图c)， 计算系数为：解典型方程得Z1=11P1rR 然后可按叠加法 11ZMMMP计算各杆端的最后弯j1Fj1SM矩。4i12+3i13+i14= S12+S13+S14= S1j8M12=F12MM13=)M(SSMFj1j113F13M14=)M(SSMFj1j114F14以上各式右边第一项为荷载产生的弯矩，即固端弯矩。第二项为结点转动Z1角所产生的弯矩，这相当于把不平衡力矩反号后按劲度系数大小的比例分配给近端，因此称为分配弯矩，12 、13 、 14等称为分配系数分配系数，其计算公式为1j=j1j1SS(91)结点

6、1的各近端弯矩为：F12M)M(MFj113F13)M(MFj114F14)M(Fj1j112SS)M(Fj11291j =j1j1SS(91)显然，同一结点各杆端的分配系数之和应等于1，即 1j =1 。各远端弯矩如下M21=F21MM31=)M(CMFj11313F31M41=)M(CMFj11414F41各式右边的第一项仍是固端弯矩。第二项是由结点转动Z1角所产生的弯矩，它好比是将各近端的分配弯矩以传递系数的比例传到各远端一样，故称为传递弯矩传递弯矩。)M(Fj11212CF21M)M(Fj1j11212SSC10得出上述规律后，便可不必绘 MP、 图，也不必列出典1M 型方程，而直接按

7、以上结论计算各杆端弯矩。其 过程分为两步：(1)固定结点 即加入刚臂。此时各杆端有固端弯矩，而结点上有不平衡力矩，它暂时由刚臂承担。(2)放松结点 即取消刚臂，让结点转动。这相当于在结点上又加入一个反号的不平衡力矩，于是不平衡力矩被消除而结点获得平衡。此反号的不平衡力矩将按劲度系数大小的比例分配给各近端，于是各近端得到分配弯矩，同时各自向其远端进行传递，各远端弯矩等于固端弯矩加上传递弯矩。11例 91 试用力矩分配法作刚架的弯矩图。ABCD30kN/m50kN(a)解：(1)计算各杆端分配系数AB=445. 0942131414AC=333. 093AD=222. 092AB=0.445AC=

8、0.333AD=0.222(2)计算固端弯矩据表(101）FBAMFABMFADMFADMEI2EIEI4m2m2m4mmkN4012430212qL2=mkN40124302+12qL2=mkN7584503+83PL=mkN2584508PL=mkN40MFBAmkN40MFABmkN75MFADmkN25MFDA(3)进行力矩的分配和传递结点A的不平衡力矩为FAjMmkN357540ACD杆 端ABACADBACADA0.445 0.3330.222分配系数固端弯矩-40+40075-250-35-35分配弯矩 +15.5 +11.7+7.8+7.80-7.8-32.2+55.5最后弯矩

9、+11.7-67.2-32.80B55.56011.767.232.8 M图图(kN.m)(b)32.2(4)计算杆端最后弯矩并作矩图。+35+351293 用力矩分配法计算连续梁 对于具有多个结点转角但无结点线位移(简称无侧移)的结构，只需依次对各结点使用上节所述方法便可求解。作法是：先将所有结点固定，计算各杆固端弯矩；然后将各结点轮流地放松，即每次只放松一个结点，其它结点仍暂时固定，这样把各结点的不平衡力矩轮流地进行分配、传递，直到传递弯矩小到可略去时为止，以这样的逐次渐进方法来计算杆端弯矩。下面举例说明。13例92 用力矩分配法计算图示连续梁。012325kN/m400kN25kN/m解

10、： 固定1 2 结点。列表计 算如下:12m6m6m12m分配系数10=50i 4i 4i 412=50i 4i 4i 421=5710i 3i 4i 423=4290i 3i 4i 3固端弯矩MFmkN300121225M2F01-300mkN300121225M2F10+300mkN600812400MF12-600mkN600812400MF21+600-300-300mkN45081225M2F23-4500MF320+150+150结点1分配传递+150+150 +150+150+75+75+75+75结点2分配传递-129-129 -96-96-64-640结点1分配传递+32+3

11、2 +32+32+16+16+16+16结点2分配传递-9-9 -7-7-5-500.50.50.50.50.5710.571 0.4290.429结点1分配传递+2+2 +3+3+1+1+1+1结点2分配传递-1-10最后弯矩最后弯矩M-208-208+484+484 -484-484+553+553 -553-5530EIEIEI+225+225-225-22514例93 用力矩分配法计算图示连续梁。1.5kN/m8kN4kN5m8m3m5m5m1.5kN/m8kN4kN4kNm 0.375 0.6250.5 0.50.3750.625MF0+4.69 -8+8 -9.38+5.62 +2

12、+4分分 配配 及及 传传 递递-4.76 -2.86-2.380ABCDEFI2I2II0.8iii0.8i1mABCDE+1.24 +2.070+1.03+1.37 +1.36+0.68+0.68-0.43 -0.25-0.21-0.25 -0.43-0.21-7.62+3.31+2.73+0.42+0.21 +0.21+0.11+0.11-0.04 -0.07-0.03-0.07 -0.04-0.03+0.03+0.03+0.02+0.02-0.01 -0.01-0.01 -0.01M0+5.63 -5.63+10.40 -10.40+1.16 -1.16+4151.5kN/m8kN4k

13、NABCDEFI2I2IIM0+5.63 -5.63+10.40 -10.40+1.16 -1.16+45.634.691.88121.1615048.06M图图010.403.9816例9-5. 用力矩分配法作图示连续梁的弯矩图。3m3m6mEIEI200kN20kN/m（1 1）B点加约束点加约束ABC200kN20kN/mMAB=MBA=MBC=mkN 15086200mkN 150mkN 9086202MB=MBA+ MBC=mkN 60-150150-90（2 2）放松结点）放松结点B B，即加，即加-60-60进行分配进行分配60ABC-60设设i =EI/l计算转动刚度：计算转动

14、刚度：SBA=4iSBC=3i分配系数分配系数：571. 0344iiiBA429. 073iiBC0.5710.429分配力矩分配力矩:3 .34)60(571. 0BAM7 .25)60(429. 0BCM-34.3-25.7-17.20+(3) (3) 最后结果。合并前面两个过程最后结果。合并前面两个过程ABC0.5710.429-150150-90-34.3-25.7-17.20-167.2115.7-115.70167.2115.730090M图图(kNm)ABC=17CB例例9-6.9-6.用力矩分配法列表计算图示连续梁。用力矩分配法列表计算图示连续梁。ABCD6m6m4m4mEI

15、=1EI=2EI=120kN/m100kN61ABi4182BCi61CDi141432614BCBASS6 . 04 . 032132BCBA216131414CDCBSS333. 0667. 02111CDCB0.4 0.60.667 0.333m-6060-100100分配与传递-33.3-66.7-33.429.4442214.7-14.7-7.3-7.34.42.92.2-1.5 -0.7-0.70.30.41.50.2-43.692.6 -92.641.3-41.3Mij043.692.6133.141.3ABCD21.9M图（图（kNm）18ABCD6m6m4m4mEI=1EI=

16、2EI=120kN/m100kN43.6133.141.321.9M图（kNm）92.6ABCDABCD51.868.256.443.66.9Q图（kN）求支座反力求支座反力68.256.4B124.619上题若列位移法方程式，用逐次渐近解法：上题若列位移法方程式，用逐次渐近解法：020030240310CBCB(1)将上式改写成将上式改写成BCCB334. 067.663 . 024(2)余数余数BCCB334. 03 . 0(3)BC第一次第一次近似值近似值24-66.67-8202.4-6.672-0.80.24-0.670.2-0.08结结 果果B=48.84C=-82.89精确值精确

17、值48.88-82.06 MBC= 4iBCB+2 iBCC-100 =6 .92100)96.82(41284.4841420 1 1）单结点力矩分配法得到精确解；多结点力矩分配法得到渐近解。）单结点力矩分配法得到精确解；多结点力矩分配法得到渐近解。 2 2）首先从结点不平衡力矩绝对值较大的结点开始。）首先从结点不平衡力矩绝对值较大的结点开始。 3 3）结点不平衡力矩要变号分配。）结点不平衡力矩要变号分配。 4 4）结点不平衡力矩的计算：）结点不平衡力矩的计算：结点不平结点不平衡力矩衡力矩（第一轮第一结点）（第一轮第一结点）固端弯矩之和固端弯矩之和（第一轮第二、三（第一轮第二、三结点）结点）

18、固端弯矩之和固端弯矩之和 加传递弯矩加传递弯矩传递弯矩传递弯矩（其它轮次各结点）（其它轮次各结点）总等于附加刚臂上的约束力矩总等于附加刚臂上的约束力矩5 5）不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数），但可）不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数），但可 以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。力矩分配法小结：力矩分配法小结：210.2221114321ABCDFEB3 . 04 . 03 . 0BEBCBAC222. 0333. 0445. 0CFCDCBmBA= 40kNm mBC= - 41.7kNm mCB= 41.

19、7kNm0.30.40.30.4450.33340-41.7-41.7-18.5-9.3 -13.9-9.33.33.34.42.2-1.0-0.5 -0.7-0.50.15 0.150.2-4.651.65-0.250.0743.45 3.45 -46.924.4-9.8 -14.61.72-4.9043.546.924.514.73.451.79.84.89M图)(mkN 例例9-79-74m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE22ABC1m5m1mEI=常数常数D50kN5/6 1/65025-20.8 -4.2-20.8 +20.8+50例例9-8. 9-8. 带悬臂杆件的结构

20、的力矩分配法。带悬臂杆件的结构的力矩分配法。50kNmABMM/2ABC1m5m1mEI=常数常数D50kN234EI4EI2EI2EI例例9-9 9-9 用力矩分配法计算，用力矩分配法计算，作作M图。图。取取EI=5i=4i=4i=2.5i=2.510kN/m20kN5m5m1m4m20kN20结点结点杆端杆端AEBCFABEBBEBABCCBCFFCm0.2630.3160.4210.6150.38500031.25 20.83 20.8300(20)2.74 3.29 4.391.372.20MB=31.2520.83=10.42MC=20.83202.2=1.370.84 0.530.

21、270.420.10 0.14 0.180.050.09 ABCEF242.85结点结点杆端杆端AEBCFABEBBEBABCCBCFFCm0.2630.3160.4210.6150.38500031.25 20.83 20.8300(-20)2.74 3.29 4.391.372.200.84 0.530.270.420.10 0.14 0.180.050.090.06 0.030.020.030.01 0.01 0.01M01.4227.8024.96 19.940.560.29k计算之前计算之前, ,去掉静定伸臂去掉静定伸臂, ,将其上荷载向结点作等效平移。将其上荷载向结点作等效平移。k

22、有结点集中力偶时有结点集中力偶时, ,结点不平衡力矩结点不平衡力矩= =固端弯矩之和结点集中固端弯矩之和结点集中 力偶力偶( (顺时针为正顺时针为正) )2520kN/m3m3m3m2iiiiii4i2iSAG=4i20kN/m1.5miiACEGHSAC=4i SCA=4iSCH=2iSCE=4iAG=0.5AC=0.5CA=0.4CH=0.2CE=0.4mkNmAG.1535 . 1202结点杆端ACEAGACCACHCECHm0.50.50.40.20.415 例例9-10 用力矩分配法作用力矩分配法作M图。图。260.50.50.40.20.4157.5 7.53.751.50 0.7

23、5 1.50 0.75 0.750.37 0.380.190.08 0.03 0.08 0.04 0.040.02 0.02结点杆端ACEAGACCACHCECHmM7.117.112.360.781.580.7920kN/m7.110.791.582.630.791.587.112.630.78M图（kN.m)27例例9-11 9-11 求矩形衬砌在上部土压力作用下的弯矩图。求矩形衬砌在上部土压力作用下的弯矩图。l1l2qqABDCEI1I2qEBF解：取等代结构如图。解：取等代结构如图。 设梁柱的线刚度为设梁柱的线刚度为i1，i22i12i222iSBF21iSBE212iiiBF211i

24、iiBE12)2(32121qllqmBE212iiii211ii BEBF28ABDCEFBEBF212iiii211ii m1221ql1221211qliii1221212qliii1221212qliii1221212qliiiM1221212qliii1221212qliiiM图k当竖柱比横梁的刚度大很多时(如i220i1),梁端弯矩接近于固端弯矩ql2/12。此时竖柱对横梁起固定支座的作用。k当横梁比竖柱的刚度大很多时(如i120i2),梁端弯矩接近于零。此时竖柱对横梁起铰支座的作用。k由此可见：结构中相邻部分互为弹性支承，支承的作用不仅决定于构造作法，也与相对刚度有关。k如本例中

25、只要横梁线刚度i1 超过竖柱线刚度i2的20倍时，横梁即可按简支梁计算；反之只要竖柱i2 超过横梁线刚度i1的20倍时，横梁即可按两端固定梁计算。i2i1i2i1299-4 无剪力分配法一、应用条件一、应用条件：结构中有线位移的杆件其剪力是静定的。：结构中有线位移的杆件其剪力是静定的。PPPPPPABCDPPPABCDP2P3P柱剪力图柱剪力图即即：刚架中除了无侧移杆外，其余杆件全是剪力静定杆。：刚架中除了无侧移杆外，其余杆件全是剪力静定杆。30二、单层单跨刚架二、单层单跨刚架BACBACAASAB= iAB SAC= 3iAC只阻止转动只阻止转动放松放松单元分析：单元分析：ABABMAB-M

26、BAAQ=0等效等效ABAMABSAB=iAB CAB=-1上面两个过程主要讨论剪力静定杆件的变形和受力特点。上面两个过程主要讨论剪力静定杆件的变形和受力特点。（2 2）剪力静定杆件的转动刚度）剪力静定杆件的转动刚度S=i；传递系数；传递系数C=-1。（3 3）ACAC杆的计算与以前一样。杆的计算与以前一样。 （1 1）求剪力静定杆的固端弯矩时，求剪力静定杆的固端弯矩时， 先由平衡条件求出杆端剪力；将先由平衡条件求出杆端剪力；将杆端剪力看作杆端荷载，按该端滑动，远端固定杆件计算固端弯矩。杆端剪力看作杆端荷载，按该端滑动，远端固定杆件计算固端弯矩。311 1、剪力静定杆的固端弯矩：、剪力静定杆的

27、固端弯矩： 将杆端剪力看作杆端荷载，按将杆端剪力看作杆端荷载，按 该端滑动，另端固定的杆计算该端滑动，另端固定的杆计算 固端弯矩。固端弯矩。2 2、剪力静定杆的转动刚度和传递系数：、剪力静定杆的转动刚度和传递系数：AABMAB=4iA6i/lMBA=2iA6i/l QBA=（MAB+MBA）/l=0 MBA= MAB ，MAB=iA剪力静定杆的剪力静定杆的 S= i C=1/l=A /2MBA=-iA 求剪力静定杆的固端弯矩时求剪力静定杆的固端弯矩时 先由平衡条件求出杆端剪力；先由平衡条件求出杆端剪力；32例：例：2m2m4m5kNABC1kN/mi1=4i2=3（1）m755. 345163

28、BCm67. 2641622qlmBA33. 532qlmAB（2）S、C123312iSiSBCBA8 . 02 . 01233BCBA1BAC0.2 0.8-2.67 -3.75-5.331.285.14-1.28-1.391.39-6.611.395.706.61M图图(kNm)33三、三、 多跨单层刚架多跨单层刚架P1P2ABCDEP1P2ABP1mABmABBCmBCmCBP1+P2(1)(1)求固端弯矩求固端弯矩AB、BC杆是剪力静定杆。杆是剪力静定杆。1 1）由静力条件求出杆端剪力；）由静力条件求出杆端剪力；2 2）将杆端剪力作为荷载求固端弯矩）将杆端剪力作为荷载求固端弯矩34B

29、CDEASBA= iABSBE=3iBESBC= iBCBCiBCQ=0iABAB（2 2）分配与传递）分配与传递 在结点力矩作用下，剪力静定的杆件其剪力均为零，也在结点力矩作用下，剪力静定的杆件其剪力均为零，也就是说就是说在放松结点时，弯矩的分配与传递均在零剪力条件下在放松结点时，弯矩的分配与传递均在零剪力条件下进行进行，这就是无剪力分配法名称的来源。，这就是无剪力分配法名称的来源。CBC= -1CBA= -135C8kN17kN27273.53.5553.3m3.6mABC4kN8.5kN4kNAB3.555454-6.6-6.6BC12.5kN-22.5-22.65ABCAB0.0211

30、0.97890.02930.02060.9501-6.6-6.6-22.5-22.50.627.650.85-0.85 -0.60.157.05-0.1500.010.14-0.01-7.057.05-6.1527.79-21.64-23.36例：例：由结点由结点B 开始开始368m6=48m5n4kN4kN4kN6kN6kN2kN4kN6kN(3)(3)(3)(3)(3)(3)(4)(4)(4)(4)(5)(5)(5)(5)(2)(2)(1)(1)(1)2kN3kN 6kN 6kN 2kN 3kN2kN3kN 6kN 6kN 2kN 3kN2kN3kN 6kN6kN2kN3kN(3)(5)(

31、4)(2)(6)(4)M=012kN372kN3kN 6kN6kN2kN3kN(3)(5)(4)(2)(6)(4)ABCDGFE1、求求：717631818ABAE1941931912341212BCBABF1551541565466CDCBCG2、求求m：248621BAABmm168421BCCBmm 6kN 4kN 1kNBCBAB结点结点杆端杆端ACDAEABBFCBCGDCm6/71/712/196/154/1524CD3/194/19532 25.26 8.426.328.4225.99 4.334.337.58 11.37 9.477.589.47481

32、21DCCDmm38BCBAB结点结点杆端杆端ACDAEABBFCBCGDCm6/71/712/196/154/1524CD3/194/19532 25.26 8.426.328.4225.99 4.334.337.58 11.37 9.477.589.471.88 7.52 2.511.882.510.67 1.00 0.840.670.841.61 0.270.270.15 0.59 0.20M20.2527.6033.37 13.12 18.6812.376.31 14.3127.60请自己完成弯矩图的绘制请自己完成弯矩图的绘制 AEFGBCD399-49-4* * 无剪力分配法的应用无剪力分配法的应用符合倍数关系的多跨刚架符合倍数关系的多跨刚架 在一定条件下多跨刚架可以分解成几个单跨对称刚架，多跨刚架的变形在一定条件下多跨刚架可以分解成几个单跨对称刚架，多跨刚架的变形（内力）状态可以分解成几个单跨对称刚架的变形（内力）状态。（内力）状态可以分解成几个单跨对称刚架的变形（内力）状态。先讨论刚架在什么条件下才可能合并成一个多跨刚架。先讨论刚架在什么条件下才可能合并成一个多跨刚架。一、倍数定理一、倍数定理独立倍数刚架独立倍数刚架ADB1E1i1i2i1P1B2E2ni1ni2ni1CFnP1hCBBA21CBBA