参数恒成立问题

1、含参数不等式恒成立问题中参数范围的确信、分离参数法12x例1:设fxlgxxu一上，其中a是实数，n是任意给定的自然数，且n>2,假设fx当x,1时成心义,求a的取值范围。分析一下这道题的特点：因为分母n是正数，要使得,1成心义，分子12xn1xnxa就必需也是正数。容易看出，能够将a分离出来。分析：当x,1时，fx成心义,故有令：xx11-n只要对,1上的最大值，此不等式成当即可。故能够利用函数的最值分离出参数a解：由x,1时，fx成心义得:12xXx_n1na0a由指数函数单调性知上式右边的函数x11-n的最大值是:故：a>112一样地，利用最值分离参数法来确信不等式fx,0,

2、xD为实参数）包成立中参数取值范围的大体步骤(1)将参数与变量分离，即化为flf2X或£2f2X的形式;(2)求f2x在乂D时的最大(或最小)值；(3)解不等式fif2maxX或f2minX得的取值范围。思想方式：把不等式中包成立问题转化为求函数最值问题。适用题型：(1)参数与变量能分离；(2)函数的最值易求出。例2:已知概念在R上函数f(x)为奇函数，且在0,上是增函数，关于任意xR,求实数m范围，使fcos23f4m2mcos0恒成立。解：f(x)在R上为奇函数，且在0,上是增函数，f(x)在，上为增函数乂:fcos23f4m2mcos0fcos23>f4m2mcos=f2

3、mcos4mcos232mcos4m即2m2cos3cos2242cos2cos2-cos1,3,3cos2一2m2cos2cos2m>2cos2cos2cos2，42cos2cos令2cost,t1,3,2m>4tt一-2即4m<t在t1,3上包成立t一2.即求gtt-在t1,3上的最小值t22一t26等号成立条件1=,即121,3成立tmin22m<2V2即m>»2<2的取值范围为（4-2<2,+oo设0<a5,假设知足不等式4b的一切实数x,亦知足不等式122，a由题设知AB,那么：于是得不等式组:1212(0a54),求正实数b

4、的取值范围。简析略解：此例看不出明显的包成立问题，能够设法转化设集合A=x|xB=x|xa2最小值为,一,1取小值为4；b的取值范围是0:二、主参换位法某些含参不等式包成立问题，在分离参数会碰到讨论的麻烦或即便能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度。即把变元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的成效。例4：假设关于任意a1,1,函数fxx2a4x42a的值恒大于0,求x的取值范围。分析：此题假设把它看成x的二次函数，由于a,x都要变，那么函数的最小值很难求出，思路受阻。假设视a为主元，那么给解题带来转机。解：设gax2ax24x4,把它看成关于a的直

5、线，由题意知，直线包在横轴下方。因此g101gi0解得：x1或x2或x3例5:关于(0,3)上的一切实数x,不等式x2m2x1恒成立，求实数m的取值范围。分析：一样的思路是求x的表达式，利用条件求m的取值范围。但求x的表达式时，两边必需除以有关m的式子，涉及对m讨论，显得麻烦。解：假设设fxx2m2x1m2x12m,把它看成是关于x的直线，由题意知直线包在x的轴的下方。因此kf00ff301解得：一m52三、构建函数法当参数难以分离而不等式是有关某个变量的一次或二次函数时，能够通过构建函数来解决。咱们明白，函数概念是高中数学的一个很重要的概念，其思想和方式已渗透到数学的各个分支。在某些数学问题

6、中，通过数式类比，构造适当的函数模型，然后利用函数的有关性质结论解题，往往收到意想不到的成效。那个地址，咱们要紧介绍如何通过构造一次函数，二次函数模型，并利用它们的性质来确信参数的取值范围。(1)构造一次函数例6:假设对一切p2,不等式log2x2plog2x12log2xp包成立，求实数x的取值范围。解：原不等式变形为plog2x1log2x22log2x10,此刻考虑p的一次函数：2fpplog2x1log2x2log2x12,2上包成立22log2x1log2x2log2x1022log2x1log2x2log2x10解得：x8或0x的取值范围为8,注：此题关于一切2不等式包成立，因此应

7、视p为主元，视x为参数,把不等式左侧变成关于p的一次函数型。(2)造二次函数例7:关于0,一,22cos2msin2m20恒成立，求实数m范围。解:原不等式变形为:.2sin2msin2m-2sin2msin2m1令sint,t0,1t22mt2m令ft=t22mt2m题意为ft>0在t0,1上包成立。2m2m2m2m2122m-4X1X(2m1)<0g112m2m1>01解得：一m0或0m1或m121m-,2即m的取值范围为:4数形结合法某些含参不等式包成立问题，既不能分离参数求解，又不能转化为某个变量的一次或二次函数时，那么可采纳数形结合法。因为辨正唯物主义以为：万物皆有

8、形。因此从宏观上讲，抽象的数学问题必存在着形象的直观模型，这是因为数学问题本身确实是客观世界事物的抽象。咱们在解题时，能够成心识地去熟悉，挖掘和制造抽象的直观形象，变抽象为直观，充分运用直感，由数思形，以形辅数。数形结合往往能迅速而简捷地找到解题途径。关于解含参不等式包成立问题，咱们能够先把不等式(或通过变形后的不等式)两头的式子别离看成两个函数，且画出两函数的图象，然后通过观看两图象(专门是交点时)的位置关系，从而列出关于含参数的不等式。例八、已知关于一切x,yCR,不等式x123求实数a的取值范围。解：x2822xy-J2y2a0xx不等式包成立ax281c18c22xyJ2ya0恒成立，

9、xx281c182；ax2xy<2y要使原xx8118:2,冒T2xy-V2ymin，又xx2c2r/92c/9、2c2-2r-x2xyy(-)2(-).2y2y2xx=(xy例9：假设不等式3x2logax0在x0,1内包成立，求实数a的取)(-x2y2)22,考虑到点M(x,9),xxN(y,-22y2)那么点M在曲线G：xy=9上，点N在曲线Q:x2+y2=2(y00)上。显然|MN|min=3j2氏2$万，现在a6.故知足条件的a的取值范围为(,6评析：对一些不等式两边的式子，函数模型较明显、函数图象较容易作出的，能够考虑作出函数图象，用函数图像的直观性解决不等式或方程的包成立的

10、问题，也超级容易患到意想不到的成效。值范围。1解：由题思知：3x2logax在x0,-内包成立。3在同一坐标系内别离作出y3x2和ylogax的图象因为x0,1时，ylogax的图象位于函数y3x2的图象上方,3当a>1时，显见不成立。故0<a<1由图可知：11ylogax的图象必需过点-，-3 311或在那个点的上方，那么：loga11331a27,，1由，知：a127一.a的取值范围为,127当前面的方式都难以解决问题时，咱们能够考虑从特殊到一样的思想，先考虑一些变量的特殊值，找出相应的知足题设的参数的取值，然后猜想出参数的取值范围，并将问题转化为：在已知参数取值范围的情形下，证明