因式分解全章复习与巩固提高知识讲解

1、因式分解全章复习与巩固（提高）【学习目标】1 .理解因式分解的意义，了解分解因式与整式乘法的关系;2 .掌握提公因式法分解因式，理解添括号法则；3 .会用公式法分解因式；4 .综合运用因式分解知识解决一些简单的数学问题.【知识网络】*提公因式法L平方差公式"公式法卜因式分解完全彳方疝十字相乘法，分组分解法【要点梳理】要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.要点二、提公因式法把多项式海溶E+E分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式

2、是各项的公因式m,另一个因式是（鼻+8+G,即淮盘+雁h+偿e=憎S,而0+S+G正好是阀门+玻上+也除以m所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律.要点三、添括号的法则括号前面是“十”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是”号，括到括号里的各项都变号.要点四、公式法1 .平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：a2b2abab2 .完全平方公式两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方.1一22922即a2abbab,a2abbab.形如a22abb2,a22abb2的式子叫做完全平方式要点诠释：（1）平方差公式的特点：左边是两个数

3、（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.右边是两数的和（或差）的平方.（3）套用公式时要注意字母a和b的广泛意义，a、b可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点五、十字相乘法和分组分解法十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法,一.一，2pqc一,2对于一次二项式xbxc,若存在，则xbxcxpxqpqb分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各

4、组分别分解因式，然后再对整体作因式分解一一分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点六、因式分解的一般步骤因式分解的方法主要有：提公因式法，公式法，分组分解法，十字相乘法，添、拆项法等.因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解.（4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止.【典型例题】类型一、提公因式法分解因式2a2bc28ac24abc；32(2)m(mn)m(mn)m(mn)(mn).【答案与解析】解：2a2bc28ac24acb2ac(abc4c2b).32(2

5、)m(mn)m(mn)m(mn)(mn)2m(mn)(mn)(mn)(mn)22m(mn)(m2mnn2n).【总结升华】在提取公因式时要注意提取后各项字母，指数的变化，另外分解要彻底，特别是因式中含有多项式的一定要检验是否能再分，分解因式后可逆过来用整式乘法验证其正确与否.2、利用分解因式证明：257512能被120整除.【思路点拨】25=52,进而把257整理成底数为5的哥的形式，然后提取公因式并整理为含有120的因数即可.【答案与解析】证明：257512=527512=514512=512521=51224=51152411_=5120257512能被120整除.【总结升华】解决本题的关

6、键是用因式分解法把所给式子整理为含有120的因数相乘的形式.类型二、公式法分解因式3、放学时，王老师布置了一道分解因式题：xy24xy24x2y2,小明思考了半天，没有答案，就打电话给小华，小华在电话里讲了一句，小明就恍然大悟了,你知道小华说了句什么话吗？小明是怎样分解因式的.【思路点拨】把xy、xy分别看做一个整体，再运用完全平方公式解答.【答案与解析】解：把xy、xy看作完全平方式里的a,b;2一2原式=xy2xy22xyxy2=xy2xy3yx2【总结升华】本题主要考查利用完全平方公式分解因式，注意把xy、xy看作完全平方式里的a,b是解题的关键.举一反三：【变式】下面是某同学对多项式x

7、24x2x24x64进行因式分解的过程.解：设x24xy原式=y2y64（第一步）I2=y8y16（第二步）.2.=y4（第三步）22一一.=（x4x4）（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（）.A、提取公因式B.平方差公式C两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底.（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果.（3）请你模仿以上方法尝试对多项式x22xx22x21进行因式分解.【答案与解析】解：（1）运用了C,两数和的完全平方公式；24（2）x4x4还可以分解，分解不彻底；结果为x2.（3）设x22xy.

8、22x22xx22x21=yy21,22=(x22x1)2,41、,，1、,，1、-1、,，1、-2)(1)(1-2)(1-2)(1-2)23420042005一，,一，、,12006【思路点拨】先把括号里的式子通分，再把分子分解因式，利用乘法约分即可剩下1工006005【答案与解析】-111解：(1一)(1-)(1)(1223242120042)(1盛）221|3211421223242_22005120052120061003=.220052005【总结升华】本题既考查了对因式分解方法的掌握,键是正确运算和分解.举一反三：又考查了代数式求值的方法，解题的关【变式】设a13212,a2523

9、2,，4222n12n1(n为大于0的自然数）.（1）探究an是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”.试找出a1,a2，an,这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，an为完全平方数（不必说明理由）.【答案】,、一.2一.22.2.一斛：（1）an2n12n14n4n14n4n18n,又n为非零的自然数，an是8的倍数.这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数（2）这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16,64,144,256.n为一个完全平方数的2倍时，an为完全平方

10、数类型三、十字相乘法和分组分解法分解因式5、分解因式：（1）x222X2222 22x4xx4x203 3）4a24abb26a3b4【答案与解析】解：(1)原式X222x221x2x2x1x1o2ooo(2)原式=x4x(x4x)20x4x5x4x42x5x1x22(3)原式=2ab32ab42ab42ab1【总结升华】做题之前要仔细观察，注意从整体的角度看待问题举一反三：【变式】下列何者是22x783x621x5的因式？()56x511x3D.x62x7x511x32x7,2 ,.一A.2x+3B.x(11x7)C【答案】C;解：22x783x621x5x522x283x21则x2(11x

11、7)是多项式的一个因式.E6、已知长方形周长为300厘米，两邻边分别为x厘米、y厘米，3 223.,、一一一且xxy4xy4y=0,求长万形的面积.【思路点拨】把x3x2y4xy24y3=0化简成xyx2yx2y,可得x2y,x2y一由题息可得xy150,解万程组即可.xy150【答案与解析】解：-x3x2y4xy24y3=022xxy4yxy=0xyx2yx2y=0x2y,xy,x2y(不合题意，舍去)又由题意可得xy150解方程组7xy150解之得，x=100,y=50，长方形的面积=100X50=5000平方厘米.【总结升华】本题是因式分解在学科内的综合运用，主要考查了分组分解法，提取公

12、因式法和运用平方差公式法.举一反三：【变式】因式分解：14x24y28xy,正确的分组是()A.(14x2)(8xy4y2)B.(14x24y2)8xyC.(18xy)(4x24y2)D,1(4x24y28xy)【答案】D;当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解.本题中4x24y28xy正好符合完全平方公式，应考虑2,3,4项为一组.【巩固练习】一.选择题1.下列式子变形是因式分解的是(),22A.x5x6xx56B.x5x6x2x322C.x2x3x5x6D.x5x6x2x32.已知：ABC的三边长分别为aBC,那么代数式2acc2b2的值(A.大于零B.等于零C.小于零D不能

13、确定3.已知x312x16有一个因式是x4,把它分解因式后应当是(.一22A.(x4)(x2)B.(x4)(xx1)C.(x4)(x2)2D.(x4)(x2x1)4 .若xaxb2xpxq,且p0,q0,那么a,b必须满足条件()A.a,b都是正数C.a,b都是负数5 .下列因式分解错误的是()22A.xyxyxyB2C. xxyxxyDB.a,b异号，且正数的绝对值较大D. a,b异号，且负数的绝对值较大2x6x9x36.将下述多项式分解后，有相同因式x1的多项式有(1-7工+6.W+2工-1；/十5克-6；4尸-5”9.15尸小十8；12A.2个B.3个C.4个D.5个7 .已知19x31

14、13x1713x1711x23可因式分解成axb8xc,其中a,b,c均为整数，则abc()A.12B.32C.38D.728 .将x3x2yxy2y3分组分解，下列的分组方法不恰当的是()32233223、a.(xxy)(xyy)B.(xxy)(xyy)3322322、3C.(xy)(xyxy)D.(xxyxy)y二.填空题29 .15xy430xy4=,其中x=2,y=2.2210 .分斛因式：9abab=.11 .已知m22mn26n100,则mn=.12 .分解因式：a2a23a=.13 .若2x3x213xk有一个因式为2x1,则k的值应当是.14 .把多项式acbca2b2分解因式

15、的结果是.15 .已知ab5,ab3,则a3b2a2b2ab3=.42332216 .分解因式：(1)x45x24=;(2)amamam=.三.解答题17 .求证：817279913能被45整除.18 .把下列各式分解因式：(1) 4x39x(2) x22x8.19. (1)有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2.图2用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积;由此，你可以得出的一个等式为：.（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示.请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图;请你用拼图等方法推出2a25ab2b2因式分解的结果，画出你

16、的拼图.2220.下面是某同学对多项式x4x2x4x6+4进行因式分解的过程:解：设x24xy原式=y2y64（第一步）2=y8y16（第二步）2.=y4（第三步）=x24x4（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（）A.提取公因式B.平方差公式C.两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？（填彻底或不彻底）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果.（3）请你模仿以上方法尝试对多项式x22xx22x21进行因式分解【答案与解析】一.选择题1 .【答案】B;【解析】-2a.x5x6xx56右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选

17、项错误;2B.x5x6x2x3是整式积的形式，故是分解因式，故本选项正确；c.x2x3x25x6是整式的乘法，故不是分解因式，故本选项错误；2D.x5x6x2x3,故本选项错误.2 .【答案】C;【解析】a22acc2b2ac2b2acbacb,因为a、b>c为三角形三边长，所以abc0,abc0,所以原式小于零.3 .【答案】A【解析】代入答案检验.4 .【答案】B;【解析】由题意ab0,ab0,所以选B.5 .【答案】D;【解析】A是平方差公式，正确；B、是完全平方公式，正确；C、是提公因式法，正确；D两平方项同号，因而不能分解，错误；故选D.6 .【答案】C;【解析】，分解后有因式

18、x1.7 .【答案】A;【解析】原式=13x1719x3111x2313x178x8,二.可以分解成axb8xc,a13,b17,c8abc12.8 .【答案】D;【解析】A、B各组提公因式后，又有公因式可提取分解，所以分组合理，C第一组运用立方和公式，第二组提取公因式后，有公因式xy,所以分组合理，D第一组提取公因式后与第二组无公因式且又不符公式，所以分解不恰当二.填空题9.【答案】0;【解析】原式=15xy4x2.当x=2,y=2时，原式=15X2(2+4)(22)=0.10 .【答案】42aba2b；_.，_22_【解析】9abab3abab3abab=4a2b2a4b=42aba2b.11 .【答案】3;2222【斛析】m2mn6n10m1n30,m1,n3.12 .【答案】a1a4；【解析】a2a23a=a23a4=a1a4.13 .【答案】6；1 QO【解析】由题忌，当x时，2x3x213xk0,解得k=6.14 .【答案】ababc；【解析】acbca2b2=ca15 .【答案】39;一，一一，2【解析】原式=ababab16 .【答案】x1x1x2x422【解析