第2章电阻电路分析

1、第2章电阻电路分析 1 1第第2 2章章 电路电路分析电路电路分析2.1支路电流法支路电流法2.2网孔分析法网孔分析法2.3节点电位法节点电位法2.4叠加定理、叠加定理、 齐次定理和替代定理齐次定理和替代定理2.5等效电源定理等效电源定理2.6最大功率传输定理最大功率传输定理2.7小结小结第2章电阻电路分析 2 2第一节第一节 支支 路路 电电 流流 法法 在一个支路中的各元件上流经的只能是同一个电在一个支路中的各元件上流经的只能是同一个电流，支路两端电压等于该支路上相串联各元件上电压的代流，支路两端电压等于该支路上相串联各元件上电压的代数和，由元件约束关系数和，由元件约束关系(VAR)(VA

2、R)不难得到每个支路上的电流与不难得到每个支路上的电流与支路两端电压的关系，即支路的支路两端电压的关系，即支路的VARVAR。如图所示，它的。如图所示，它的VAR VAR 为为 suRiu(2.1-1)(2.1-1)第2章电阻电路分析 3 32.1.1 2.1.1 支路电流法支路电流法 如图所示电路，它有如图所示电路，它有 3 3 条支路，设各支路电流分别为条支路，设各支路电流分别为 i i1 1, , i i2 2, , i i3 3, , 其参考方向标示在图上。问题是如何找到包含其参考方向标示在图上。问题是如何找到包含未知量未知量 i i1 1, , i i2 2, , i i3 3 的的

3、 3 3个相互独立的方程组。个相互独立的方程组。 第2章电阻电路分析 4 4 根据根据KCLKCL，对节点，对节点 a a 和和 b b 分别建立电流方程。分别建立电流方程。设流出节点的电流取正号，则有设流出节点的电流取正号，则有 节点节点 a a 节点节点 b b (2.1-2)(2.1-2)(2.1-3)(2.1-3)第2章电阻电路分析 5 5 根据根据KVLKVL，按图中所标巡行方向，按图中所标巡行方向( (或称绕行方向或称绕行方向) )对回路对回路、 分别列写分别列写KVLKVL方程方程( (注意：在列写方程中，若遇到电注意：在列写方程中，若遇到电阻，两端电压就应用欧姆定律表示为电阻与

4、电流乘积阻，两端电压就应用欧姆定律表示为电阻与电流乘积) )，得，得 13311suiRiR23322suiRiR212211ssuuiRiR回路回路 回路回路 回路回路 (2.1-4)(2.1-4)(2.1-5)(2.1-5)(2.1-6)(2.1-6)第2章电阻电路分析 6 6 当未知变量数目与独立方程数目相等时，未知变量才当未知变量数目与独立方程数目相等时，未知变量才可能有唯一解。我们从上述可能有唯一解。我们从上述 5 5 个方程中选取出个方程中选取出 3 3 个相互个相互独立的方程如下：独立的方程如下： 2332213311321000ssuiRiRuiRiRiii(2.1-7)(2.

5、1-7)应用克莱姆法则求解应用克莱姆法则求解(2.1-7)(2.1-7)式。系数行列式式。系数行列式和各未知量和各未知量所对应的行列式所对应的行列式j j( (j j=1, 2, 3)=1, 2, 3)分别为分别为 第2章电阻电路分析 7 7313221323100111RRRRRRRRRR2313123223211110sssssuRuRuRRRuRRu第2章电阻电路分析 8 8122132113231321323112000110101sssssssssuRuRuRuRuRuRuRRuRuR第2章电阻电路分析 9 9所以求得支路电流所以求得支路电流 31322112213331322123

6、13212231322123131211RRRRRRuRuRiRRRRRRuRuRuRiRRRRRRuRuRuRissssssss第2章电阻电路分析 10 10解出支路电流之后，再要求解电路中任何两点之间的电解出支路电流之后，再要求解电路中任何两点之间的电压或任何元件上消耗功率那就是很容易的事了。例如，压或任何元件上消耗功率那就是很容易的事了。例如，若再要求解图电路中的若再要求解图电路中的 c c 点与点与 d d 点之间电压点之间电压u ucdcd 及电压及电压源源 u us1s1所产生的功率所产生的功率 P Ps1s1，可由解出的电流，可由解出的电流i i1 1、i i2 2、i i3 3

7、 方方便地求得为便地求得为 1112211iupiRiRusscd第2章电阻电路分析 11 112.1.2 2.1.2 独立方程的列写独立方程的列写 (1) (1) 从从 n n 个节点中任意择其个节点中任意择其n n-1-1个节点个节点，依，依KCLKCL列节点列节点电流方程，则电流方程，则 n n-1-1个方程将是相互独立的。个方程将是相互独立的。 (2) (2) n n个节点个节点 b b 条支路的电路，用支路电流法分析条支路的电路，用支路电流法分析时需时需 b b 个相互独立的方程，由个相互独立的方程，由KCLKCL已经列出了已经列出了n n1 1 个相个相互独立的互独立的KCLKCL

8、方程，那么剩下的方程，那么剩下的b b( (n n1)1)个独立方程当然个独立方程当然应该由应该由KVLKVL列出列出。由由KVLKVL能列写且仅能列写的独立方程数为能列写且仅能列写的独立方程数为b b( (n n1)1)个个。第2章电阻电路分析 12 12 独立回路可以这样选取：独立回路可以这样选取：使所选各回路都包含一条其他回使所选各回路都包含一条其他回路所没有的新支路。路所没有的新支路。对平面电路，如果它有对平面电路，如果它有 n n 个节点个节点 、b b 条支路，它的网孔数恰为条支路，它的网孔数恰为 b b( (n n1)1)个，个， 按网孔由按网孔由KVLKVL列列出的电压方程相互

9、独立。出的电压方程相互独立。 第2章电阻电路分析 13 13 归纳、明确支路电流法分析电路的步骤。归纳、明确支路电流法分析电路的步骤。 第一步：第一步：设出各支路电流，标明参考方向。任取设出各支路电流，标明参考方向。任取n n1 1个节点，依个节点，依KCLKCL列独立节点电流方程列独立节点电流方程( (n n 为电路节点数为电路节点数) )。 第二步：第二步：选取独立回路选取独立回路( (平面电路一般选网孔平面电路一般选网孔) )，并，并选定巡行方向，依选定巡行方向，依KVLKVL列写出所选独立回路电压方程。列写出所选独立回路电压方程。第2章电阻电路分析 14 14第五步：第五步：如果需要，

10、再根据元件约束关系等计算电路中任如果需要，再根据元件约束关系等计算电路中任何处的电压、功率。何处的电压、功率。 第三步：第三步：如若电路中含有受控源，还应将控制量用未知电流如若电路中含有受控源，还应将控制量用未知电流表示，多加一个辅助方程。表示，多加一个辅助方程。第四步：第四步：求解一、求解一、 二、二、 三步列写的联立方程组，就得到各三步列写的联立方程组，就得到各支路电流。支路电流。在分析之前，先标出每条支路的在分析之前，先标出每条支路的电流参考方向电流参考方向，以及以及网孔的绕行方向网孔的绕行方向。第2章电阻电路分析 15 15 例例1 1 图示电路中，已知图示电路中，已知R R1 1=1

11、5=15，R R2 2=1.5=1.5，R R3 3=1, =1, u us1s1=15V=15V，u us2s2=4.5V, =4.5V, u us3s3=9V=9V。 求电压求电压u uabab及各电源产生的功率。及各电源产生的功率。 第2章电阻电路分析 16 16 解解 设支路电流设支路电流i i1 1, , i i2 2, , i i3 3 参考方向如图中所标。参考方向如图中所标。依依 KCLKCL列写节点列写节点 a a 的电流方程为的电流方程为 0321iii选网孔作为独立回路，并设绕选网孔作为独立回路，并设绕行方向于图上，由行方向于图上，由KVLKVL列写网孔列写网孔、的电压方程

12、分别为的电压方程分别为6i0i1531网孔网孔 (2.1-9)(2.1-9)(2.1-10)(2.1-10)(2.1-11)(2.1-11)网孔网孔5 . 4ii 5 . 1032第2章电阻电路分析 17 17用克莱姆法则求解用克莱姆法则求解(2.1-9)(2.1-9)、(2.1-10)(2.1-10)、(2.1-11)(2.1-11)三元一三元一次方程组。次方程组。与与j j分别为分别为 3915 . 1010151115 .1915 . 15 . 41061101第2章电阻电路分析 18 187815 . 40161510125 .585 . 45 . 1000150113第2章电阻电路分

13、析 19 19所以电流所以电流 i1, i2, i3 分别为分别为 AiAiAi5 . 1395 .58239785 . 0395 .19332211电压电压 Vuiusab5 . 7915 . 1133第2章电阻电路分析 2020设电源设电源us1, us2, us3 产生的功率分别为产生的功率分别为ps1, ps2, ps3, , 由求得由求得的支路电流，可算得的支路电流，可算得 WiupWiupWiupssssss5 .135 . 19925 . 45 . 75 . 015333221111第2章电阻电路分析 21 21例例2 2 如图所示电路中含有一电流控制电压源，如图所示电路中含有一

14、电流控制电压源， 求电求电流流i i1 1、 i i2 2和电压和电压u u。第2章电阻电路分析 2222解解 本电路虽有本电路虽有3 3个支路，个支路， 但有一个支路的电流是但有一个支路的电流是6 6 A A的电流源，的电流源， 所以只有两个未知电流所以只有两个未知电流i i1 1、i i2 2。 另外，另外， 虽虽然本电路中含有受控电压源，然本电路中含有受控电压源， 但它的控制量是电路中的一但它的控制量是电路中的一个未知电流，个未知电流， 不需要再另外增加辅助方程。不需要再另外增加辅助方程。 对对b b点列写点列写KCLKCL方程，方程， 有有i2=i1+6(2.1-12)第2章电阻电路分

15、析 2323对回路对回路A A列写列写KVLKVL方程方程( (注意把受控电压源视为独立电压注意把受控电压源视为独立电压源一样看待参与列写基本方程源一样看待参与列写基本方程) )， 有有1i1+3i2+2i1=12(2.1-13)联立联立(2.1-12)式和式和(2.1-13)式式, 解得解得i1=1 A， i2=5 A再应用再应用KVL求得电压为求得电压为u=3i2+2i1=35+2(1)=13 V第2章电阻电路分析 2424例例3 3 如图所示电路中包含有电压控制的电压源，如图所示电路中包含有电压控制的电压源， 试以支路电流作为求解变量，试以支路电流作为求解变量， 列写出求解本电路所必需的

16、列写出求解本电路所必需的独立方程组。独立方程组。 ( (对所列方程不必求解。对所列方程不必求解。) )第2章电阻电路分析 2525解解 设各支路电流、设各支路电流、 各网孔绕向如图所示。各网孔绕向如图所示。 应用应用KCLKCL、 KVLKVL及元件及元件VARVAR列写方程为列写方程为上述上述3 3个方程有个方程有i1、i2、i3及及u14 4个未知量，个未知量， 无法求解，无法求解， 还必须寻求另一个独立方程。还必须寻求另一个独立方程。将控制量将控制量u u1 1用支路电流表示用支路电流表示, , 即即u1=R1i1对节点对节点ai1+i2+i3=0对网孔对网孔R1i1+R2i2+0=us

17、对网孔对网孔0R2i2+(R3+R4)i3=u1第2章电阻电路分析 2626例例 图示电路中，求图示电路中，求（1 1）各支路的电流。）各支路的电流。（2 2）计算）计算1010电阻的端电压。电阻的端电压。（3 3）计算各元件的功率。）计算各元件的功率。第2章电阻电路分析 2727解解 （1 1）求各支路电流）求各支路电流标定各支路电流参考方向如图所示，以节点标定各支路电流参考方向如图所示，以节点b b为参为参考节点，对独立节点考节点，对独立节点a a列出列出KCLKCL方程。选取两个网方程。选取两个网孔，以顺时针绕行方向列出孔，以顺时针绕行方向列出3-3-（2-12-1）=2=2个独立的个独

18、立的KVLKVL方程，得到方程，得到即即解此方程组得解此方程组得050105030505203221321IIIIIII50105205203221321IIIIIIIA825A415A85321III第2章电阻电路分析 2828I1为负值，表明该支路电流的实际方向与标定的为负值，表明该支路电流的实际方向与标定的方向相反，方向相反，30V30V电源被充电。电源被充电。（2 2）计算）计算1010电阻的端电压电阻的端电压（3 3）计算元件的功率）计算元件的功率两个电源发出的功率为：两个电源发出的功率为：可见第一条电源支路吸收功率，第二条电源支路可见第一条电源支路吸收功率，第二条电源支路提供功率。

19、提供功率。V412582510103IUW8 .184758530301V30IPW5 .187475041550502V50IP第2章电阻电路分析 2929负载吸收的功率为：负载吸收的功率为：W8 .085222212IPW3 .70415552225IPW7 .97825101022310IP第2章电阻电路分析 3030节点节点a a：I1I2+I3=0(1) (1) n1=1个个KCL方程：方程：例例 列写支路电流方程列写支路电流方程.(.(电路中含有理想电流源）电路中含有理想电流源）解解1.1.(2) (2) b b( ( n n1)=21)=2个个KVLKVL方程：方程：7I111I

20、2=70-Ua1270V6A7 b+I1I3I27 11 +U_11I2+7I3= U第2章电阻电路分析 31 31增补方程增补方程：I2=6A170V6A7 b+I1I3I27 11 a由于由于I2已知，故只列写两个方程已知，故只列写两个方程节点节点a a：I1+I3=6避开电流源支路取回路列避开电流源支路取回路列KVL：7I17I3=70解解2.2.第2章电阻电路分析 3232节点节点a a：I1I2+I3=0例例 列写支路电流方程列写支路电流方程.(.(电路中含有受控源）电路中含有受控源）解解11I2+7I3= 5U7I111I2=70-5U增补方程：增补方程：U=7I3a1270V7

21、b+I1I3I27 11 +5U_+U_有受控源的电路，方程列写分两步：有受控源的电路，方程列写分两步：(1) (1) 先将受控源看作独立源列方程；先将受控源看作独立源列方程；(2) (2) 将控制量用未知量表示，并代入将控制量用未知量表示，并代入(1)(1)中中所列的方程，消去中间变量。所列的方程，消去中间变量。第2章电阻电路分析 3333第二节第二节 网网 孔孔 分分 析析 法法2.2.1 2.2.1 网孔电流网孔电流 欲使方程数目减少，必使求解的未知量数目减少。在欲使方程数目减少，必使求解的未知量数目减少。在一个平面电路里，因为网孔是由若干条支路构成的闭合回一个平面电路里，因为网孔是由若

22、干条支路构成的闭合回路，路， 所以它的网孔个数必定少于支路个数。如果我们设想所以它的网孔个数必定少于支路个数。如果我们设想在电路的每个网孔里有一假想的电流沿着构成该网孔的各在电路的每个网孔里有一假想的电流沿着构成该网孔的各支路循环流动，如图支路循环流动，如图 所示中实线箭头所示，把这一假想的所示中实线箭头所示，把这一假想的电流称作网孔电流。电流称作网孔电流。 第2章电阻电路分析 3434网孔电流是完备的电路变量。例如图所示电路中，网孔电流是完备的电路变量。例如图所示电路中，i1=iA, i2=iB, i3=iC。如果某支路属于两个网孔所共有，则该支。如果某支路属于两个网孔所共有，则该支路上的电

23、流就等于流经该支路二网孔电流的代数和。例如路上的电流就等于流经该支路二网孔电流的代数和。例如图所示电路中支路电流图所示电路中支路电流i4, , 它等于流经该支路的它等于流经该支路的 A、C 网孔网孔电流的代数和电流的代数和。与支路电流方向一致的网孔电流取正号，与支路电流方向一致的网孔电流取正号，反之取负号反之取负号，即有，即有 CAiii4第2章电阻电路分析 35352.2.2 2.2.2 网孔电流法网孔电流法 对平面电路，以假想的网孔电流作未知量，依对平面电路，以假想的网孔电流作未知量，依KVLKVL列出网孔电压方程式列出网孔电压方程式( (网孔内电阻上电压通过欧姆定律网孔内电阻上电压通过欧

24、姆定律换算为电阻乘电流表示换算为电阻乘电流表示) )，求解出网孔电流，进而求得，求解出网孔电流，进而求得各支路电流、电压、功率等，这种求解电路的方法称各支路电流、电压、功率等，这种求解电路的方法称网网孔电流法孔电流法( (简称网孔法简称网孔法) )。应用网孔法分析电路的关键是。应用网孔法分析电路的关键是如何简便、正确地列写出网孔电压方程。如何简便、正确地列写出网孔电压方程。 第2章电阻电路分析 3636 设图设图 电路中网孔电流电路中网孔电流 iA, iB, iC, , 其参考方向即作为列写其参考方向即作为列写方程的巡行方向。按网孔列写方程的巡行方向。按网孔列写KVL方程如下：方程如下： 网孔

25、网孔A R1iA+R5iA+R5iB+R4iA-R4iC+us4-us1=0网孔网孔B R2iB+R5iA+R5iB+R6iB+R6iC-us2=0网孔网孔C R3iC-R4iA+R4iC+R6iC+R6iB-us4-us3=0 第2章电阻电路分析 3737为了便于应用克莱姆法则求解上述为了便于应用克莱姆法则求解上述3 3个方程，需要按未个方程，需要按未知量顺序排列并加以整理，知量顺序排列并加以整理， 同时将已知激励源也移至等式同时将已知激励源也移至等式右端。右端。 这样，这样， 整理改写上述整理改写上述3 3个式子得个式子得4145541)(ssCBAuuiRiRiRRR266525)(sC

26、BAuiRiRRRiR4364364)(ssCBAuuiRRRiRiR(2.2-1)(2.2-1)(2.2-2)(2.2-2)(2.2-3)(2.2-3)第2章电阻电路分析 3838 观察观察(2.2-1)(2.2-1)式，可以看出：式，可以看出：iA前的系数前的系数(R1+R4+R5)恰恰好是好是网孔网孔A A 内所有电阻之和，称它为网孔内所有电阻之和，称它为网孔A A的自电阻，以的自电阻，以符号符号R11 表示表示；iB 前的系数前的系数(+R5)是网孔是网孔 A A 和网孔和网孔 B B 公共公共支路上的电阻支路上的电阻，称它为网孔，称它为网孔 A A 与网孔与网孔 B B 的互电阻，以

27、的互电阻，以符号符号R12表示。表示。4145541)(ssCBAuuiRiRiRRR(2.2-1)(2.2-1)第2章电阻电路分析 3939由于流过由于流过 R5 的网孔电流的网孔电流 iA、iB 方向相同，故方向相同，故R5 前为前为“+”+”号；号； iC 前系数前系数(R4)是网孔是网孔 A 和网孔和网孔C 公共支路上的电公共支路上的电阻阻，称它为网孔，称它为网孔A A 与网孔与网孔 C C 的互电阻，以符号的互电阻，以符号 R R1313表示，由表示，由于流经于流经 R4 的网孔电流的网孔电流iA、iC 方向相反，故方向相反，故 R4 前取前取“”号；号；等式右端等式右端 us1us

28、4表示网孔表示网孔 A 中电压源的代数和，以符号中电压源的代数和，以符号us11表示，表示， 计算计算 us11时遇到各电压源的取号法则是，在巡行中先时遇到各电压源的取号法则是，在巡行中先遇到电压源正极性端取负号，反之取正号。遇到电压源正极性端取负号，反之取正号。 4145541)(ssCBAuuiRiRiRRR(2.2-1)(2.2-1)第2章电阻电路分析 4040用同样的方法可求出用同样的方法可求出(2.2-2)(2.2-2)、(2.2-3)(2.2-3)式的自电阻、互电阻式的自电阻、互电阻及网孔等效电压源，即及网孔等效电压源，即 62365222521,RRRRRRRR222ssuu,6

29、32431RRRR64333RRRR4333sssuuu第2章电阻电路分析 41 41 归纳总结得到应用网孔法分析具有归纳总结得到应用网孔法分析具有 3 3 个网孔电路个网孔电路的方程通式的方程通式( (一般式一般式) )，即，即 333332312223222111131211sCBAsCBAsCBAuiRiRiRuiRiRiRuiRiRiR(2.2-4) (2.2-4) 如果电路有如果电路有m m 个网孔，也不难得到列写网孔方程的通式为个网孔，也不难得到列写网孔方程的通式为 smmMmmBmAmsMmBAsMmBAuiRiRiRuiRiRiRuiRiRiR2122222211111211(

30、2.2-5)(2.2-5)第2章电阻电路分析 4242因取网孔电流方向作为列写因取网孔电流方向作为列写KVLKVL方程的巡行方向，方程的巡行方向， 所以所以各网孔的自电阻恒为正；各网孔的自电阻恒为正； 为了使方程通式形式整齐统一，为了使方程通式形式整齐统一， 故把公共支路电阻上电压的正负号归纳在有关的互电阻中，故把公共支路电阻上电压的正负号归纳在有关的互电阻中，求互电阻时就要注意取正号或取负号的问题。求互电阻时就要注意取正号或取负号的问题。在应用方程通式列方程时要特别注意在应用方程通式列方程时要特别注意“取号取号”问题：问题： 第2章电阻电路分析 4343 求等效电压源时遇电压源的取号法则表面

31、上看起来与求等效电压源时遇电压源的取号法则表面上看起来与应用应用u u=0=0列方程时遇电压源的取号法则相反，列方程时遇电压源的取号法则相反， 实际上二实际上二者是完全一致的，者是完全一致的， 因为网孔方程的因为网孔方程的us11(或或us22、 us33)是直是直接放在等式右端的。接放在等式右端的。 两网孔电流在流经公共支路时两网孔电流在流经公共支路时方向一致方向一致， 互电阻等互电阻等于公共支路上电阻相加取于公共支路上电阻相加取正号正号， 反之，反之， 取负号；取负号；第2章电阻电路分析 4444例例3 3 如图所示电路，如图所示电路， 求各支路电流。求各支路电流。第2章电阻电路分析 45

32、45 解解 本问题有本问题有 6 6 个支路，个支路，3 3 个网孔，个网孔， 用支路电用支路电流法需解流法需解 6 6 元方程组，而用网孔法只需解元方程组，而用网孔法只需解 3 3 元方程，显元方程，显然网孔法要比支路电流法简单得多。然网孔法要比支路电流法简单得多。 第2章电阻电路分析 4646 第二步：第二步：观察电路直接列写方程。观察电路心算求观察电路直接列写方程。观察电路心算求自电阻、自电阻、 互电阻、等效电压源数值，代入方程通式即写出互电阻、等效电压源数值，代入方程通式即写出所需要的方程组。所需要的方程组。 第一步：第一步：设网孔电流设网孔电流iA, iB, iC 如图所示。一般网孔

33、如图所示。一般网孔电流方向即认为是列电流方向即认为是列KVL方程时的巡行方向。方程时的巡行方向。第2章电阻电路分析 4747VuRRRVuRRRVuRRRsss6,11,2,612,2,5,119,6,1,10333332312223222111131211代入代入(2.2-4)(2.2-4)式得式得 61126122519610CBACBACBAiiiiiiiii(2.2-6)(2.2-6)第2章电阻电路分析 4848 第三步：第三步：解方程得各网孔电流。用克莱姆法则解解方程得各网孔电流。用克莱姆法则解(2.2-6)(2.2-6)式方程组，各相应行列式为式方程组，各相应行列式为 885112

34、625126119,29511262516110A59062625119110,2951166212161910CB第2章电阻电路分析 4949于是各网孔电流分别为于是各网孔电流分别为 AiAiAiCCBBAA229559012952953295885第2章电阻电路分析 5050 第四步：第四步：由网孔电流求各支路电流。由网孔电流求各支路电流。 设各支路电流参考方向设各支路电流参考方向如图所示，根据支路电流与网孔电流之间的关系，如图所示，根据支路电流与网孔电流之间的关系， 得得 ,321,2,3531AiiiAiiAiiCBcAAiiiAiiiAiiBAcAB4)1(31231642第五步：第

35、五步： 如果需要，如果需要， 可由支路电流求电路中任何处的电可由支路电流求电路中任何处的电压、压、 功率。功率。 第2章电阻电路分析 51 51例例 4 4 对图所示电路，求电阻对图所示电路，求电阻 R R 上消耗的功率上消耗的功率 p pR R。 第2章电阻电路分析 5252解解 本题并不需要求出所有支路电流，本题并不需要求出所有支路电流， 为求得为求得R R上消上消耗的功率，耗的功率， 只需求出只需求出R R上的电流即可。上的电流即可。 如果按图如果按图( (a a) )设网孔设网孔电流，电流， 需解出需解出iA、 iC两个网孔电流才能求得两个网孔电流才能求得R R上的电流，上的电流， 即

36、即iR=iAiC。 若对电路做伸缩扭动变形，若对电路做伸缩扭动变形， 由图由图( (a a) )变换为图变换为图( (b b)()(注意节点注意节点2 2、 4 4的变化的变化), ), 按图按图( (b b) )设网孔电流设网孔电流iA、 iB、iC， 使所求支路电流使所求支路电流iR恰为网孔恰为网孔C C的网孔电流。的网孔电流。 按按(2.2-4)(2.2-4)式列写式列写方程方程: :第2章电阻电路分析 535356393931936CBACBACBAiiiiiiiii(2.2-7)(2.2-7)化简化简(2.2-7)(2.2-7)式式( (第二个方程可两端相约化简第二个方程可两端相约化

37、简) )得得 563331936CBACBACBAiiiiiiiii第2章电阻电路分析 5454由化简的方程组求得由化简的方程组求得 1265313311936,63631131136C进而可求得进而可求得 WRipAiiRRCCR82226312622第2章电阻电路分析 5555例例5 5 求图所示电路中的电压求图所示电路中的电压 u uabab。第2章电阻电路分析 5656 解：解： 设网孔电流设网孔电流 iA, iB 如图中所如图中所标，观察电路，应用方程通式列标，观察电路，应用方程通式列基本方程为基本方程为 426226212xBAxBAuiiuii由图可以看出控制量由图可以看出控制量

38、 u ux x 仅与回路电流仅与回路电流 i iB B 有关，故有辅助方程有关，故有辅助方程 Bxiu4（2.2-82.2-8）（2.2-92.2-9）将将(2.2-9)(2.2-9)式代入式代入(2.2-8)(2.2-8)式并经化简整理，得式并经化简整理，得 212BABAiiii（2.2-102.2-10）第2章电阻电路分析 5757解解(2.2-10)(2.2-10)方程组，方程组， 得得 ViUAiAiBxBA123443,1所以所以 VUiuxAab14122) 1(10210第2章电阻电路分析 5858例例6 6 对图所示电路，求各支路电流。对图所示电路，求各支路电流。 第2章电阻

39、电路分析 5959解解 本题图本题图( (a a) )所示的两个网孔的公共支路上有一理所示的两个网孔的公共支路上有一理想电流源。想电流源。 如果按图如果按图( (a a) )所示电路设出网孔电流，所示电路设出网孔电流， 如何列如何列写网孔方程呢？写网孔方程呢？ 网孔方程实际上是依网孔方程实际上是依KVLKVL列写的回路电压列写的回路电压方程，方程， 即网孔内各元件上电压代数和等于零，即网孔内各元件上电压代数和等于零， 那么在巡那么在巡行中遇到理想电流源行中遇到理想电流源( (或受控电流源或受控电流源) )， 它两端电压取多大它两端电压取多大呢？根据电流源特性，呢？根据电流源特性， 它的端电压与

40、外电路有关，它的端电压与外电路有关， 在电在电路未求解出之前是未知的。路未求解出之前是未知的。 第2章电阻电路分析 6060这时可先假设该电流源两端电压为这时可先假设该电流源两端电压为u ux x， 把把u ux x当做理想当做理想电压源一样看待列写基本方程。电压源一样看待列写基本方程。 因为引入了电流源两端电因为引入了电流源两端电压压u ux x这个未知量，这个未知量， 所以列出的基本方程就少于未知量数，所以列出的基本方程就少于未知量数， 必须再找一个与之相互独立的方程才可求解。必须再找一个与之相互独立的方程才可求解。 这个方程也这个方程也是不难找到的，是不难找到的， 因为理想电流源所在支路

41、的支路电流因为理想电流源所在支路的支路电流i i3 3等等于于i is s， i i3 3又等于二网孔电流代数和，又等于二网孔电流代数和， 这样就可写辅助方程，这样就可写辅助方程， 即即iBiA=is第2章电阻电路分析 61 61用网孔法求解图用网孔法求解图( (a a) )电路所需的方程为电路所需的方程为 sBAsxBAsxBAiiiuuiRRiRuuiRiRR23231331)()(2.2-11)第2章电阻电路分析 6262 将图将图( (a a) )电路伸缩扭动变形，使理想电流源所在电路伸缩扭动变形，使理想电流源所在支路单独属于某一网孔，如图支路单独属于某一网孔，如图( (b b) )电

42、路所示。理想电路所示。理想电流源支路单独属于网孔电流源支路单独属于网孔 B B，设，设 B B 网孔电流网孔电流 i iB B 与与 i is s方向一致，则方向一致，则 sBii 所以只需列出网孔所以只需列出网孔 A A 一个方程即一个方程即可求解。可求解。 网孔网孔 A A 的方程为的方程为 21221)(sssAuuiRiRR21221RRiRuuisssA所以所以 第2章电阻电路分析 6363进一步可求得电流进一步可求得电流 21121123212211RRiRuuiiiiiRRiRuuiissssssssA (2.2-12) (2.2-12)第2章电阻电路分析 6464例例 用网孔电

43、流法求解电流用网孔电流法求解电流 i 解解选网孔为独立回路：选网孔为独立回路：i1i3i2S3421141SUiRiRi )RRR(0iRi )RRR(iR352521110i )RRR(iRiR3543251432iiiRSR5R4R3R1R2US+_i第2章电阻电路分析 6565例例 列出网孔电流方程列出网孔电流方程。+-40VIm2Im3Im1+-50V2A20305010第2章电阻电路分析 6666解：解：本例中电流源支路仅属于一个网孔，则该网孔电本例中电流源支路仅属于一个网孔，则该网孔电流是已知的。可省掉该网孔的流是已知的。可省掉该网孔的KVLKVL方程。方程。25010903040

44、3050332121mmmmmmIIIIII+-40VIm2Im3Im1+-50V2A20305010第2章电阻电路分析 6767例例 列出网孔电流方程。列出网孔电流方程。第2章电阻电路分析 6868解法一：假设电压法解法一：假设电压法本例中电流源接在两个网孔间，各网孔的本例中电流源接在两个网孔间，各网孔的KVLKVL方程均不可省，方程均不可省，注意在方程中不要漏掉电流源的电压。注意在方程中不要漏掉电流源的电压。（补充方程）（补充方程）+-7VIm1Im2Im32137A12+-U063103627123321321321mmmmmmmmmIIIUIIIUIII721mmII第2章电阻电路分析

45、 6969解法二：重选独立回路法解法二：重选独立回路法使电流为一个回路所拥有，则该电流就是电流源电流，可减少使电流为一个回路所拥有，则该电流就是电流源电流，可减少一个方程。一个方程。+-7VIm1Im2Im32137A12+-U6969第2章电阻电路分析 7070第三节第三节 节节 点点 电电 位位 法法 2.3.1 2.3.1 节点电位节点电位在电路中，在电路中， 任选一节点作参考点，任选一节点作参考点， 其余各节点到参其余各节点到参考点之间的电压称为相应各节点的电位。考点之间的电压称为相应各节点的电位。 如图所示电路，如图所示电路， 选节点选节点4 4作参考点作参考点( (亦可选其他节点作

46、亦可选其他节点作参考点参考点) )， 设节点设节点1 1、 2 2、 3 3的电位分别为的电位分别为v1、v2、v3。 第2章电阻电路分析 71 71显然，这个电路中任何两点间的电压，任何一支路上的电显然，这个电路中任何两点间的电压，任何一支路上的电流，都可应用已知的节点电位求出。例如，支路电流流，都可应用已知的节点电位求出。例如，支路电流3442111)(vGivvGi电导电导 G5 吸收的功率吸收的功率 23155)(vvGp第2章电阻电路分析 7272对电路中任何一个回路列写对电路中任何一个回路列写KVLKVL方程，回路中的节点，其电方程，回路中的节点，其电位一定出现一次正号一次负号。例

47、如图中位一定出现一次正号一次负号。例如图中 A A 回路，由回路，由KVLKVL 列写方程为列写方程为 0312312uuu将上式中各电压写为电位差表将上式中各电压写为电位差表示，示， 即有即有 0133221vvvvvv节点电位变量是相互独立的变量。节点电位变量是相互独立的变量。 第2章电阻电路分析 7373 2.3.2 2.3.2 节点电位法节点电位法 以各节点电位为未知量，将各支路电流通过支路以各节点电位为未知量，将各支路电流通过支路VAR VAR 用未知节点电位表示，依用未知节点电位表示，依KCL KCL 列节点电流方程列节点电流方程( (简称节点方简称节点方程程) )，求解出各节点电

48、位变量，进而求得电路中需要求的电，求解出各节点电位变量，进而求得电路中需要求的电流、电压、流、电压、 功率等，这种分析法称为功率等，这种分析法称为节点电位法节点电位法。第2章电阻电路分析 7474)()()(315534432332222111vvGivGivvGivGivvGi(2.3-2)第2章电阻电路分析 7575现在依现在依KCLKCL列出节点列出节点1 1，2 2，3 3的的KCLKCL方程，设流出节点的电流方程，设流出节点的电流取正号，流入节点的电流取负号，可得取正号，流入节点的电流取负号，可得 00053421322151iiiiiiiiiiisss节点节点 1 1 节点节点 2

49、 2 节点节点 3 3 (2.3-3)(2.3-3)将将(2.3-2)(2.3-2)式代入式代入(2.3-3)(2.3-3)式，式， 得得 0)()(0)()(0)()(3153233422113232221315211vvGvvGvGivvGvvGvGiivvGvvGsss(2.3-4)(2.3-4)第2章电阻电路分析 7676为了方便应用克莱姆法则求解，将为了方便应用克莱姆法则求解，将(2.3-4)(2.3-4)式按未知量顺序式按未知量顺序重新排列，已知的电流源移至等式右端并加以整理，得重新排列，已知的电流源移至等式右端并加以整理，得 0v )GGG(vGvGivGv )GGG(vGiiv

50、GvGv )GG(354323152s332321112s1s3521151(2.3-5)(2.3-5)(2.3-6)(2.3-6)(2.3-7)(2.3-7)0)vv(G)vv(GvG0i)vv(G)vv(GvG0ii)vv(G)vv(G315323342s211323222s1s315211第2章电阻电路分析 7777 观察整理后的方程，变量观察整理后的方程，变量v1前的系数前的系数(G1+G5)恰是与恰是与第一个节点相连各支路的第一个节点相连各支路的之和之和，称为节点，称为节点 1 1 的自电的自电导导，以符号，以符号 G11表示。变量表示。变量v v2 2前系数前系数(-G1), ,

51、它是它是 1 1 与与 2 2 节点间的互电导节点间的互电导，以符号，以符号 G12表示，它等于与该两节点相表示，它等于与该两节点相连的公共支路上电导之和，并连的公共支路上电导之和，并取负号取负号。2s1s3521151iivGvGv )GG(第2章电阻电路分析 7878v3 前系数前系数(G5)是节点是节点 1 1 与节点与节点 3 3 之间的互电导之间的互电导，以，以G13表示，它等于与节点表示，它等于与节点 1 1、 3 3 相连的公共支路上电导之和，相连的公共支路上电导之和，并取负号。等式右端并取负号。等式右端is1is2 是流入节点是流入节点 1 1 的电流源的代数的电流源的代数和和

52、，以符号，以符号is11 表示，称为等效电流源。计算表示，称为等效电流源。计算is11 时是以时是以流入流入节点节点 1 1 的电流源为的电流源为正正，流出流出节点节点 1 1 的电流源为的电流源为负负。2s1s3521151iivGvGv )GG(第2章电阻电路分析 79790v )GGG(vGvGivGv )GGG(vGiivGvGv )GG(354323152s332321112s1s3521151第2章电阻电路分析 80800,332225433333253132332122121sssiiiGGGGGGGGGGGGGGGG 归纳总结得到应用节点法分析具有归纳总结得到应用节点法分析具有

53、 3 3 个独立节点电路个独立节点电路的方程通式的方程通式( (一般式一般式) )， 即即 333332321312232322212111313212111sssivGvGvGivGvGvGivGvGvG(2.3-8)(2.3-8)0v )GGG(vGvGivGv )GGG(vGiivGvGv )GG(354323152s332321112s1s3521151第2章电阻电路分析 81 81 如果电路有如果电路有 n n 个独立节点，我们也不难得到列写节点个独立节点，我们也不难得到列写节点方程的通式为方程的通式为 snnnnnnnsnnsnnivGvGvGivGvGvGivGvGvG22112

54、22222121111212111(2.3-9)(2.3-9)第2章电阻电路分析 8282 例例7 7 如图所示电路，求电导如图所示电路，求电导G1、G2、G3 中的电流及图中的电流及图中中 3 3 个电流源分别产生的功率。个电流源分别产生的功率。 第2章电阻电路分析 8383 解解 采用节点电位法求解。采用节点电位法求解。 第一步：第一步：选参考点，设节点电位。对本问题，选选参考点，设节点电位。对本问题，选节点节点 4 4 为参考点，设节点为参考点，设节点 1 1、2 2、3 3 的电位分别为的电位分别为 v v1 1、v v2 2, , v v3 3。若电路接地点已给出，就不需要再选参考点

55、，只需设。若电路接地点已给出，就不需要再选参考点，只需设出节点电位就算完成了这一步。出节点电位就算完成了这一步。 第二步：第二步：观察电路，应用观察电路，应用(2.3-8)(2.3-8)或或(2.3-9)(2.3-9)式直式直接列写方程。一般计算求出各节点的自电导、互电导和等接列写方程。一般计算求出各节点的自电导、互电导和等效电流源数值，代入通式写出方程。当然写出求自电导、效电流源数值，代入通式写出方程。当然写出求自电导、互电导、等效电流源的过程亦可以。互电导、等效电流源的过程亦可以。第2章电阻电路分析 8484AiAiAiSGSGSGSGSGSGSGSGSGsss25,3,118311425

56、,2,42,6321,34,3,743332211333231232221131211将求得的自电导、互电导、等效电流源代入式将求得的自电导、互电导、等效电流源代入式(2.3-8)(2.3-8)，得，得 251124326311437321321321vvvvvvvvv(2.3-10)(2.3-10)第2章电阻电路分析 8585 第三步：第三步：解方程，求得各节点电位。用克莱姆法则解方程，求得各节点电位。用克莱姆法则解方程组解方程组 第2章电阻电路分析 8686 第四步：第四步：由求得的各节点电位，求题目中需要求由求得的各节点电位，求题目中需要求的各量。的各量。 我们先求我们先求 3 3 个电

57、导上的电流。设通过电导个电导上的电流。设通过电导 G1、G2、G3 的电流分别为的电流分别为 i1、i2、i3, , 参考方向如图中所标，参考方向如图中所标，由欧姆定律电导形式可算得由欧姆定律电导形式可算得 3 3 个电流分别为个电流分别为 AvGiAvvuGiAvvuGi15358) 13(4)(43) 12(3)(3333133122122111第2章电阻电路分析 8787 再求电流源产生功率。设再求电流源产生功率。设p ps1s1、p ps2s2、p ps3s3分别代表电流分别代表电流源源i is1s1、i is2s2、i is3s3产生的功率。由计算一段电路产生功率的产生的功率。由计算

58、一段电路产生功率的公式，算得公式，算得 W75325W3) 1(3)(W8183332122111vipvvipvipssssss第2章电阻电路分析 8888 例例8 8 如图（如图（a a）所示电路中，各电压源、电阻的数值）所示电路中，各电压源、电阻的数值如图上所标，求各支路上的电流。如图上所标，求各支路上的电流。 第2章电阻电路分析 8989解解 在一些电路里，常给出电阻参数和电压源形式的在一些电路里，常给出电阻参数和电压源形式的激励。在这种情况下应用节点法分析时，可先应用电源互激励。在这种情况下应用节点法分析时，可先应用电源互换将电压源形式变换为电流源形式，各电阻参数换算为电换将电压源形

59、式变换为电流源形式，各电阻参数换算为电导参数，导参数， 如图如图( (b b) )所示。在所示。在( (b b) )图中，设节点图中，设节点 3 3 为参考点，为参考点，并设节点并设节点 1 1、2 2 的电位分别为的电位分别为 v1, v2, 可得方程组为可得方程组为 第2章电阻电路分析 909041010420110141214121410341214121201512121vvvv102110943211432121vvvv化简上方程组，得化简上方程组，得 (2.3-11)(2.3-11)第2章电阻电路分析 91 91解解(2.3-11)(2.3-11)方程组，方程组， 得得 80162

60、10214321118027010910214321180271094343121第2章电阻电路分析 9292所以，节点电位所以，节点电位 V682780162V108027802702211vv第2章电阻电路分析 9393图图( (b b) )所求的各节点电位数值也就是所求的各节点电位数值也就是( (a a) )图相应节点的图相应节点的电位值。在图电位值。在图( (a a) )中设出各支路电流，由支路中设出各支路电流，由支路VAR, VAR, 得得 A2 .01064104,A4 .020620A5 .144104)(10,A226102A5 .0201020,A15101551526251