第九章第6讲几何概型

1、教材回顾夯实基础%課本温故追报求源B.321如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.2. 几何概型的概率公式构成事件A的区域长度（面积或体积）解析：选B.在区间2,3上随机选取一个数X,则XW1,即一2<X<1的概率为P=35.2. （2014高考辽宁卷）若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（）nB.4n1彳2阴影面积2n*1A.y解析：选B.设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A,则P（A）=长方形面积1x24.婆点整合辨明两个易误

2、点（1）几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果.（2）易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是基本事件的发生是等可能的，不同之处是几何概型的基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的.做一做3. 如图，正方形ABCD的边长为2,EBC为正三角形.若向正方形ABCD内随机投掷一个质点，则它落在EBC内的概率为()ADA並A.2B.411解析：选B.正方形的面积为14,S/EBC=2X2X2XSin60°=3,所以质点落在EBC内的概率为f4.(2015湖南省五市十校联合检测)一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正

3、方体“安全飞行”的概率为()6个表面的距离均大于1称其为“安全飞行”，则蜜蜂4nA.81814nB.811c.278D.27解析：选C.由已知条件可知，蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P=£=27.黑呻导悟以例说法典例剖析考点突破J考点一与长度有关的几何概型(高频考点)与长度有关的几何概型是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题.高考对与长度有关的几何概型的考查主要有以下四个命题角度：(1) 与线段长度有关的几何概型；(2) 与时间有关的几何概型；(3) 与不等式有关的几何概型；(4) 与距离有关

4、的几何概型.(1)一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，则某人到达路口时看见的是红灯的概率是()B. 2d.4设p在0,5上随机地取值，则方程x2+px+4+1=0有实数根的概率为.(3) (2015河北省衡水中学调研)在面积为S的矩形ABCD内随机取一点卩，则厶PAB的面积不大于色的概率是.4几何概型的概率扫一扫进入91导学网()302解析以时间的长短进行度量，故p=70=2一兀二次方程有实数根即=p4(4+2)=(P+1)(P2)0,解得pW1或p2,故所求概率为1Sab如图，作PE丄AB,设矩形的边长AB=a,BC=b,PE=h,由题意得，ah<

5、;4=才，1hw2，由几何概型的概率计算公式得所求概率21P=1=2.3 1答案(1)B(2)5(3)2规律方法解答关于长度的几何概型问题，只要将所有基本事件及事件A包含的基本事件转化为相应长度，即可利用几何概型的概率计算公式求解.此处的“长度”可以是线段的长短，也可以表示时间的长短等.、,nn111.(1)在区间n,上随机取一个X,sinx的值介于一2与2之间的概率为()B.2n1512匹d.2在区间5,5内随机地取出一个数a，使得1x|2x2+axa2>0的概率为(2015昆明三中、玉溪一中统考内为增函数的概率为nn6(6)解析：(i)所求概率为nn2(2)i3，故选A.由1x|2x

6、2+axa2>0,得a2a2v0?1vav2,所以所求概率为2(1)5(5)a2函数g(x)=一在区间(0,+)内为增函数，a2v0,解得av2,x函数g(x)a221厂在区间(0,+)内为增函数的概率为=-.答案:(i)A(2吃(3)i考点二与体积有关的几何概型(2015长春市第二次调研)如图，在长方体ABCD-AiBiCiDi中，E,AiBi,DiCi上的点(点E与Bi不重合)，且EH/AQi,过EH的平面与棱BBi,交点分别为F,G.设AB=2AAi=2a,EF=a,BiE=2BiF.在长方体ABCD-AiBiCiDi内随机选取一点，则该点取自于几何体AiABFE-DiDCGH内的

7、概率为.H分别是棱CCi相交，解析因为EH/AiDi,所以EH/BiCi,所以EH/平面BCCiBi.过EH的平面与平面BCCiBi交于FG,贝UEH/FG，所以易证明几何体AiABFE-DiDCGH和EBiF-HCiG分别是等高的五棱柱和三棱柱，由几何概型可知，所求概率为:V三棱柱SZEBiFP=1=1V长方体S矩形ABBiAiK525xaxa255912=2a10'9答案匸规律方法对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求.(总空间)以及a2)设a0,10，则函数g(x)=在区间(0,)入2在棱长为2的正方体A

8、BCD-AiBiCiDi中，点0为底面ABCD的中心,在正方体ABCD-AiBiCiDi内随机取一点P,则点P到点0的距离大于1的概率为（）nC. y解析：选B.点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心，以1为半径的半球外.记点P到点O的距离大于1”为事件A，则P（A）=314兀彳32XX123n3=1212'考点三与面积有关的几何概型aZE>（1）（2013髙考陕西卷）如图，在矩形区域abcd的a,c两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（

9、）nB."21nA.1-nc.2-0,（2）（2014高考湖北卷）由不等式组Jy>0,确定的平面区域记为血，不等式组jx2<0x+y<1,x+y>2确定的平面区域记为岛,在站中随机取一点，则该点恰好在2内的概率为（1A87D7解析（1）取面积为测度，则所求概率为S图形DEBFP=S巨形abcd212X1nX1X-X242X171n4.如图，平面区域1就是三角形区域OAB，平面区域2与平面区域1的重叠部分就是区域oacd,13易知C(2,2)，故由几何概型的概率公式，得所求概率S四边形OACDP=SDAB78.答案(1)A(2)D规律方法求解与面积有关的几何概型

10、的注意点：3.(1)(2015大连市第一次模拟)在区间1,1内随机取两个实数x,y,则满足y>x1的概率是()1A.88C.97D.7(2015昆明市第一次摸底)设区域Q=(x,y)|10Wx<2,0<y<2，区域A=(x,y)|xyw1,(x,y)Q,在区域Q中随机取一个点，则该点恰好在区域A中的概率为解析：(1)点(x,y)分布在正方形区域，画出区域求的概率为8-在平面直角坐标系中画出区域Q和A,则区域的面积分成两小块：一是小长方形的面积，二是曲线x=2,y=0所形成的曲边梯形的面积，则区域几何概型的概率计算公式可知该点恰好落在区域121A的面积Sa=-x2+/I】

11、dx=1+2ln2.根据2A中的概率P=A的面积=1+?n2Q的面积4答案：(1)D1+2ln24<名师讲坛素养提升忙求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解.方法思想一一转化与化归思想在几何概型中的应用2014高考重庆卷)某校早上8:00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7:307:50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为.（用数字作答）解析设小王到校时间为x,小张到校时间为y,则小张比小王至少早到5分钟时满足xy&g

12、t;5.如图，原点O表示7:30,在平面直角坐标系中画出小王和小张到校的时间构成的平面区域（图中正方形区域），该正方形区域的面积为400，小张比小王至少早到5分钟对应的225图形（图中阴影部分）的面积为2x15X15=竽，故所求概率为P=40-=32.2240032(20.13)4'答案32名师点评本题通过设置小张、小王两人到校的时间这两个变量x,y,将已知转化为x,y所满足的不等式，进而转化为坐标平面内的点（x,y）的相关约束条件，从而把时间这个长度问题转化为平面图形的二维面积问题，进而转化为面积型的几何概型问题求解.若题中涉及到三个相互独立的变量，则需将其转化为空间几何体的体积问题

13、加以求解.（2013高考四川卷）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过秒的概率是（）解析：选C.设两串彩灯同时通电后，第一次闪亮的时刻分别为x,y,则0<x<4,0wyw4,而事件A“它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒”，即|xy|w2，可行域如图阴影部分所示.由几何概型概率公式得P(A)=知能训练轻松闯关以练促学强技提能,1. （2015洛阳市统考）利用计算机产生发生的概率为（）01之间的均匀随机数21a,则事件“axdx&

14、gt;81”0A.|91C.3解析：选C.ax2dx=fx3|0=器3右，£>3，01P(a>1)=23.2. （2015沈阳市教学质量监测）1一次试验：向如图所示的正方形中随机撒一大把豆子，经查数，落在正方形中的豆子的总数为N，其中有m（mvN）粒豆子落在该正方形的内切圆内，以此估计圆周率n的值为（）B.2mD.4m解析:选D.根据几何概型可知2nr4m3. 若k3,3,贝Uk的值使得过A（1,1）可以作两条直线与圆（x-k）2+y2=2相切的概率等于（1A.2d.3C.|A的距离大于半解析：选C.点在圆外，过该点可做两条直线与圆相切.故使圆心与点径即可，即（1k）+1

15、>2，解得kv0或k>2,所以所求k3,0）U（2,3,所求概率P4 26=3.4. （2015山西省第三次四校联考）向边长分别为5,6,.13的三角形区域内随机投一点M，则该点M与三角形三个顶点距离都大于1的概率为（）nc.§解析：选A.在厶ABC中，设AB=5,BC=6,AC=13，则cosB=52+I13)22X5X643135，贝UsinB=3,Szabc=2X5X6X5=9,分别以A,B,C为圆心，以1为半径作圆,则三个扇形面积之和为以1为半径的半圆，故所求概率12Saabc2XnX1nP=o=178.Saabc185.在可行域内任取一点，规则如流程图所示，则能

16、输出数对（x,y）的概率为（1AnD.§nCG2wx+yw?2解析：选C.程序中不等式组表示的平面区域如图所示，面积为込wxywn,X.2X2=4满足不等式X2+y2W1的点表示的区域如图中阴影部分所示，所占面积为n所以能输出数对（x,y）的概率为故选C.2y0+M50VxX0,6.已知函数f(x)=x2x2,x5,5,若从区间5,5内随机抽取一个实数则所取的x0满足f(x0)<0的概率为解析：令x2x2w0,解得Kx<2，由几何概型的概率计算公式得P=2(1)5 (5)3=0.3.10答案：0.37.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使

17、四棱锥M-ABCD1的体积小于1的概率为611解析：正方体ABCD-A1B1C1D1中，设M-ABCD的高为h,则QS四边形ABCDXh=$1又S四边形ABCD=1,h=11若体积小于-，则h<-,62即点M在正方体的下半部分,1尹正方体1.p=-.v正方体2&(2015安徽合肥高三质检心，1为半径作四分之一个圆弧共点的概率为.)如图，四边形ABCD为矩形，AB=.3,BC=1,以A为圆DE，在/DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公解析：(用几何概型，化概率为角度之比)当点P在BC上时，AP与BC有公共点，此时ZBAC30°1AP扫过ABC，所以所求概率P=1

18、/BAD90°39已知集合A=2,2,B=1,1,设M=(x,y)|xA,yB，在集合M内随机取出一个元素(x,y).(1)求以(x,y)为坐标的点落在圆x2+/=1内的概率；求以(x,y)为坐标的点到直线x+y=0的距离不大于#的概率.解：(1)集合M内的点形成的区域面积S=8.因x2+y2=1的面积S1=n,S1n故所求概率为P1=S2=4,即一Kx+yw1,形成的区域如图中阴影部分所示，面积S?1所求概率为P2=§=10.城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示(单位：min):组别候车E1寸间人数-一-0,5):2-二5,10)6-10,15)4四15,20)2五20,251(1)求这15名乘客的平均候车时间;估计这60名乘客中候车时间少于10min的人数；(3)若从上表第三、四组的6人中选2人作进一步问卷调查，求抽到的2人恰好来自不同组的概率.11解:(1)5X(2.5X2+7.5X6+12.5X4+17.5X2+22.5X1)=157.5=10.5,故这15名乘客的平均候车时间为10.5min.(2)由几何概型的概率计算公式可得，候车时间少于10分钟的概率为15=15，所以候bi，b2