第八讲：对称问题(教师)

1、第八讲：对称问题知识结构1对称问题分为两类：点对称，轴对称。2、(1)利用中点公式，点R(Xo,yo)关于点M(m,n)的对称点P?的坐标为(2m-x°,2n-y°)；(2)若点只(论，yj与P2(x2,y2)关于直线丨：axby0对称，则：7b2C=0X2-Xib巩固与提高1、点P(2,3)关于点M(1,2)的对称点Q的坐标为(0,1)。2、直线l:2x3y-1=0关于点M(1,2)对称的直线方程为2x3y-15=0。/*设A(x,y)为所求直线上的任意点，它关于点M(1,2)的对称点为(2-x,4-y)在已知的直线l上，所以2(2_x)3(4_y)-1=0二2x3y_1

2、5=0*/3、点A(4，5)关于直线I的对称点为B(-2,7)，则I的方程为3xy+3=0。4、点P(2,3)关于直线l:x-y-4二0对称点Q的坐标为(7,-2)。5、点P(4,0)关于直线l:5x4y20对称点Q的坐标为(-6,-8)。6、已知点A(1,1),B(3,2),P为x轴上的动点，则|PA|PB|的最小值为，此时P的5坐标为(一,0)。7、已知点A(1,1),B(3,2),P为x轴上的动点，贝U|PB|-|PA|的最大值为二5，此时P的坐标为(-1,0)。8、光线沿直线h:x-y-2=0射入，经直线m:3x-y0反射，求反射光线所在直线J的方程。解法1:x-y-2=°=

3、两直线的交点N(_5,-9),则12必过N,3x-y3=022设|2的斜率为k,贝Vk=1(舍),k=7二l2：7x+y+22=0;|13k|1-3解法2:x-y-2-°二两直线的交点n(-2-9),则l2必过N,3x-y+3=022在上取一点A(0,-2)：h,l2关于直线m对称，易得A关于直线m的对称点A'(-3,-1)59'则l2过N(,),A(3,-1).l2：7xy22=0;229、在直线I:3x-y2=0上求一点P，使得P到两定点A(8,6),B(2,-2)的距离之和的最小,并求出最小值。解：判断A,B在直线的同侧，设B(2,-2)关于l的对称点为B

4、9;,易得B'(-4,0),连AB',则AB'与l必相交，交点为P.根据对称性，|BP|PAF|B'P|PA|=|B'A|=T面=6、5,此时，AB':x-2y4=0与I联立解得，P(0,2).10、一条光线经点A(1,2)处射向x轴上一点B,又从B反射到直线l:x-y3=0上的一点C,后又从C点反射回A点,求直线BC的方程。A点关于直线x-y，3=0的对称点为(-1,4)；A点关于x轴的对称点为(1,-2)，BC过点(1,4)和(1,-2)，所以BC所在的直线方程为3xy-1=0。11、已知ABC的一个顶点A(4,-1)，其内角B、C的平分线分

5、别是y=x-1和x=1，求BC边所在的直线的方程。解：A(4,-1)关于角平分线x=1的对称点A'(-2,-1);1A(4,-1)关于y=x-1的对称点A''(x,y),贝VX4二A''(0,3)y-1x42又A'(-2,-1),A''(0,3)在直线BC上，所以BC的方程为：2x-y飞二。.12、已知点M（3,5）,在直线l:x2y+2=0和y轴上各找一点P和0,使厶MPQ的周长最小.解：由点M（3，5）及直线I，可求得点M关于I的对称点M!（5，1）同样容易求得点M关于y轴的对称点M2（3，5）.据Mi及M2两点可得到直线M1

6、M2的方程为x+2y7=0.令x=0，得到M1M2与y轴的交点Q（0，-）2，x+2y7=059解方程组彳x2y70，得交点P（2，芒）Lx2y+2=0，24597故点P（5，-）、Q（0，-）即为所求24213、求函数y=.x29+,x2-8x-41的最小值.解：因为y=.,（x-0）2（0-3）2+.（x-4）2（0-5）2，所以函数y是x轴上的点P（x，0）与两定点A（0，3）、B（4，3）距离之和.y的最小值就是|PA|+|PB|的最小值由平面几何知识可知，若A关于x轴的对称点为A'（0，3），则|PA|+|PB|的最小值等于|A'B|，即.（4_0）2（53）2=4.5.所以ymin=4、514、直线y=2x是厶ABC中/C的平分线所在的直线，若A、B坐标分别为A（4,2）、B（3,1），求点C的坐标，并判断厶ABC的形状解：由题意，点A关于直线y=2x的对称点A'在BC所在直线上，设A'点坐标为（x1，y1），则y1满足也=，即X1=勿仁x142Z12=2勺4，即2x1y110=0.22解两式组成的方程组，得X1=4，y1=2.BC所在直