2020年高考数学专题复习直线、平面垂直的判定及其性质

1、直线、平面垂直的判定及其性质1直线与平面垂直的判定定理与性质定理üïý lïþaüï文字语言一条直线与一个平面内的两条判定定理相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行图形语言       符号语言a，b abOlalbý abbïþ2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言      

2、0;     符号语言lïþý üïýaïþ判定定理性质定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面l üïl la l3.空间角(1)直线与平面所成的角é  ù线面角的范围：ê0，   ú定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直

3、线和这个平面所成的角，如图，PAO 就是斜线 AP 与平面所成的角ë2 û(2)二面角1定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱两个半平面叫做二面角的面如图的二面角，可记作：二面角 l 或二面角 P AB Q当时，二面角叫做直二面角二面角的平面角如图，过二面角 l 的棱 l 上一点 O 在两个半平面内分别作 BOl，AOl，则AOB 就叫做二面角 l 

4、的平面角二面角的范围设二面角的平面角为，则0，2判断正误(正确的打“”，错误的打“×”)(1)已知直线 a，b，c，若 ab，bc，则 ac.()(2)直线 l 与平面内的无数条直线都垂直，则 l.()(3)设 m，n 是两条不同的直线，是一个平面，若 mn，m，则 n.()(4)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面()(5)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.()答案：(1)×(2)×(3)(4)×(5)×已

5、知互相垂直的平面，交于直线 l，若直线 m，n 满足 m，n，则()AmlCnlBmnDmn解析：选 C.因为l，所以 l ，又 n，所以 nl.(2019·浙江省高中学科基础测试)已知 m 和 n 是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出 m的是()A且 mCmn 且 nB且 mDmn 且 nC解析：选 C.依题意，对于 A，注意到直线

6、 m 可能位于平面内，因此选项 A 不正确；对于 B，注意到直线 m 可能位于平面内且与它们的交线平行，因此选项 B 不正确；对于 C，由定理“若两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”得知， 正2AC，ABB，则 BC 是 AB 在平面内的射影，则 BC  AB，所以ABC60°，确；对于 D，注意到直线 m 可能位于平面内，因此选项 D

7、0;不正确综上所述，选 C.(教材习题改编)线段 AB 的长等于它在平面内的射影长的 2 倍，则 AB 所在直线与平面所成的角为_解析：如图，12它是 AB 与平面所成的角答案：60°(教材习题改编)P 为ABC 所在平面外一点，且 PA、PB、PC 两两垂直，则下列命题：PABC；PBAC；PCAB；ABBC，其中正确的个数是_解析：如图所示因为 PAPC，PAPB，PCPBP，所以 PA平面 PBC.又因为 BC

8、平面 PBC，所以 PABC.同理，PBAC，PCAB.但 AB 不垂直于 BC.答案：3线面垂直的判定与性质(1)在四棱锥 P ABCD 中，PA底面 ABCD，ABAD，ACCD，ABC60°，PAABBC，E 是 PC 的中点证明：CDAE；PD平面 ABE.(2)(2019·嘉兴调研)3，ABEF 为直角梯形，BEAF，如图，在平行四边形 ABCD 中，AB1，BC2，CBA3BAF，BE2，AF3，平面&#

9、160;ABCD平面 ABEF.(2)证明：在ABC 中，AB1，CBA，BC2，2求证：AC平面 ABEF；求三棱锥 D AEF 的体积【解】(1)证明：在四棱锥 P ABCD 中，因为 PA底面 ABCD，CD 平面 ABCD，所以 PACD，因为 ACCD，且 PAACA，所以 CD平面 PAC，而 AE 平面 PAC，所以 CDAE.由 PAABBC，ABC6

10、0°，可得 ACPA.因为 E 是 PC 的中点，所以 AEPC.由知 AECD，且 PCCDC，所以 AE平面 PCD.而 PD 平面 PCD，所以 AEPD.因为 PA底面 ABCD，所以 PAAB.又因为 ABAD 且 PAADA，所以 AB平面 PAD，而 PD 平面 PAD，所以 ABPD.又因为 ABAEA

11、，所以 PD平面 ABE.3所以 AC2BA2BC22BA×BCcosCBA3，所以 AC2BA2BC2，所以 ABAC.又因为平面 ABCD平面 ABEF，平面 ABCD平面 ABEFAB，AC 平面 ABCD，所以 AC平面 ABEF.连接 CF.因为 CDAB，所以 CD平面 ABEF，所以点 D 到平面 ABEF 的距离等于点 C 到平面 

12、ABEF 的距离，又 AC 3，1   æ1ö33   è2  ×ç  ×3×1÷×   3  .ø2所以 VDAEFVCAEF判定线面垂直的四种方法4提醒证明线面垂直问题一般常见两种题型；推理证明型；计算证明型(即利用夹角、边等计算后判断垂直关系)1(2017·高考全国卷)在正方体 AB

13、CD A1B1C1D1 中，E 为棱 CD 的中点，则()AA1EDC1CA1EBC1BA1EBDDA1EAC解析：选 C.由正方体的性质，得 A1B1BC1，B1CBC1，所以 BC1平面 A1B1CD，又 A1E平面 A1B1CD，所以 A1EBC1，故选 C.2S 是 ABC 所在平面外一点，且 SASBSC，D 为斜边 AC 的中点(1)求证：SD平面 ABC；(2)若 

14、;ABBC，求证：BD平面 SAC.证明：(1)如图所示，取 AB 的中点 E，连接 SE，DE，在 ABC 中，D、E 分别为 AC、AB 的中点，所以 DEBC，所以 DEAB，因为 SA，所以SAB 为等腰三角形，所以 SEAB.又 SEDEE，所以 AB平面 SDE.又 SD 平面 SDE，所以 ABSD.在SAC 中，SASC，D 为 A

15、C 的中点，所以 SDAC.又 ACABA，所以 SD平面 ABC.(2)由于 ABBC，则 BDAC，由(1)可知，SD平面 ABC，又 BD 平面 ABC，所以 SDBD，5又 SDACD，所以 BD平面 SAC.面面垂直的判定与性质(2019·浙江省名校协作体高三联考)如图，将边长为 2 的正六边形 ABCDEF 沿对角线 BE 翻折，连接 AC，FD，形成如图

16、所示的多面体，且 AC 6.证明：平面 ABEF平面BCDE.【证明】在正六边形ABCDEF 中，连接 AC，BE，交点为 G，易知 ACBE，且 AGCG 3，在多面体中，由 AC 6，知AG2CG2AC2，故 AGGC，又 GCBEG，GC，BE 平面 BCDE，故 AG平面 BCDE，又 AG 平面 ABEF，所以平面 ABEF平面 BCDE.(1)判定面面垂直的方法面面

17、垂直的定义；面面垂直的判定定理(a，a  )(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直(2017·高考山东卷)由四棱柱 ABCD A1B1C1D1 截去三棱锥 C1B1CD1 后得到的几何体如图所示四边形 ABCD 为正方形，O 为 AC 与 BD 的交点，E 为 AD 的中点，A1E平面 ABCD.(1)证明：A1O平面 B

18、1CD1;6(2)设 M 是 OD 的中点，证明：平面 A1EM平面 B1CD1.证明：(1)取 B1D1 的中点 O1，连接 CO1，A1O1，由于 ABCD A1B1C1D1 是四棱柱，所以 A1O1OC，A1O1OC，因此四边形 A1OCO1 为平行四边形，所以 A1OO1C，又 O1C 平面 B1CD1，A1O平面 B1CD1，所以 A1O平面 B1CD1.(

19、2)因为 ACBD，E，M 分别为 AD 和 OD 的中点，所以 EMBD，又 A1E平面 ABCD，BD 平面 ABCD，所以 A1EBD，因为 B1D1BD，所以 EMB1D1，A1EB1D1，又 A1E，EM 平面 A1EM，A1EEME，所以 B1D1平面 A1EM，又 B1D1 平面 B1CD1，所以平面 A1EM平面 B1CD1.证明空间平行、垂

20、直，求空间角的综合问题(高频考点)证明空间平行、垂直与求空间角是浙江省高考必考题型，本题型可直接证明求解，也可利用空间向量法证明求解主要命题角度有：(1)空间位置关系的证明及求线面角；(2)空间位置关系的证明及求二面角角度一空间位置关系的证明及求线面角(2017·高考浙江卷)如图，已知四棱锥 P ABCD，PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，BCAD，CDAD，PCAD2DC2CB，E 为 PD 的中点7所以 EFAD 且 EF  AD，(1)证明

21、：CE平面 PAB；(2)求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值【解】(1)证明：如图，设 PA 中点为 F，连接 EF，FB.因为 E，F 分别为 PD，PA 中点，12又因为 BCAD，BC  AD，所以 EFBC 且 EFBC，在PBN 中，由 PNBN1，PB   3得 QH  ，在 MQH 中

22、，QH  ，MQ   2，12即四边形 BCEF 为平行四边形，所以 CEBF，因此 CE平面 PAB.(2)分别取 BC，AD 的中点为 M，N.连接 PN 交 EF 于点 Q，连接 MQ.因为 E，F，N 分别是 PD，PA，AD 的中点，所以 Q 为 EF 中点，在平行四边形 BCEF 中，MQCE.由

23、PAD 为等腰直角三角形得 PNAD.由 DCAD，N 是 AD 的中点得 BNAD.所以 AD平面 PBN，由 BCAD 得 BC平面 PBN，那么平面 PBC平面 PBN.过点 Q 作 PB 的垂线，垂足为 H，连接 MH.MH 是 MQ 在平面 PBC 上的射影，所以QMH 是直线 CE 与平面

24、0;PBC 所成的角设 CD1.在PCD 中，由 PC2，CD1，PD 2得 CE 2，1414所以 sinQMH    2，8所以，直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值是28.角度二空间位置关系的证明及求二面角(2019·绍兴诸暨高考模拟) 如图，四棱锥 P ABCD 的一个侧面 PAD 为等边三角形，且平面 PAD平面 ABCD，四边形&

25、#160;ABCD 是平行四边形，AD2，AB4，BD2 3.8(1)求证：PABD；(2)求二面角 D BC P 的余弦值【解】(1)证明：在ABD 中，因为 AB2AD2BD2，所以 ADDB，由平面 PAD平面 ABCD，所以 BD平面 PAD，所以 DBPA.(2)二面角 DBC P 的余弦值即二面角 A BC P 的余弦值，cosPEO   

26、60;  ，15所以二面角 D   BC   P 的余弦值为   .作 POAD 于 O，则 PO平面 ABCD.过 O 作 OEBC 于 E，连接 PE，则PEO 为二面角 A BC P 的平面角又PEO 中，PO 3，OEDB2 3，故 PE 15，2&#

27、160;32 552 55(1)平行关系及垂直关系的转化空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化(2)求空间角的三个步骤一作：根据定义作平行线或垂线，用作图法作出要求的角二证：证明所作的角就是要求的角三求：把空间角问题转化为(三角形)平面问题，解三角形，求出该角，注意角的范围，9判断所求角是此角还是它的补角1(2018·高考浙江卷)已知四棱锥 S ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段 AB 上的点(不含端点)设 SE

28、 与 BC 所成的角为1，SE 与平面 ABCD 所成的角为2，二面角 S AB C 的平面角为3，则()A123C132B321D231解析：选 D.由题意知四棱锥 S ABCD 为正四棱锥，如图，连接 BD，记 ACBDO，连接 SO，则 SO平面 ABCD，取 AB 的中点 M，连接 SM，OM，OE，易得 ABSM，则2SEO，3SMO，易知32.因

29、为 OMBC，BCAB，SMAB，所以3 也为 OM 与平面 SAB 所成的角，即 BC 与平面 SAB所成的角，再根据最小角定理知，31，所以231，故选 D.2.(2019·浙江金华十校高考模拟)如图，ABBEBC2AD2，且 ABBE，DAB60°，ADBC，BEAD，(1)求证：平面 ADE平面 BDE；(2)求直线 AD 与平面 DCE 所成角的正弦值解：(1)证明：因为 AB2AD，D

30、AB60°，所以 ADDB，又 BEAD，且 BDBEB，所以 AD平面 BDE，又 AD平面 ADE，所以平面 ADE平面 BDE.(2)因为 BEAD，ABBE，所以 BE平面 ABCD，所以点 E 到平面 ABCD 的距离就是线段 BE 的长为 2，设 AD 与平面 DCE 所成角为，点 A 到平面 DCE 的距

31、离为 d，由 VADCEVEADC1          1                        30×d×   CDE  ×|BE|×

32、60;  ACD，可解得 d得：3          3                       10，而 AD1，则 sin 10dAD3010，故直线 AD 与平面 DCE

33、 所成角的正弦值为3010.为线段 AD 上的一点，且 AF  .现将四边形 ABEF 沿直线 EF 翻折，使翻折后的二面角 AEFC 的余弦值为  .立体几何中的“翻折”问题(2019·台州市模拟)如图，在矩形 ABCD 中，AB1，BC2，E 为 BC 的中点，F3223【解】(1)证明：连接 AC 交 EF 于 M 点，由平面几何知

34、识可得 AC   5，EF    5MC   ME2          5       5       10即 cosAMC  ，故直线 AD 与平面 ECDF 所成的角为.(1)

35、求证：ACEF；(2)求直线 AD 与平面 ECDF 所成角的大小AM FM33 52 53 5以及 ，则有 AM，MC，MF，故有 AM2MF2AF2，则 ACEF，于是，AMEF，CMEF，而 AMCMM，故 EF平面 AMC，而 AC平面 AMC，故 ACEF.(2)由(1)知，二面角 AEF C 的平面角就是AMC，23根据余弦定理，可求得 AC1，因为 AC

36、2MC2AM2，所以 ACMC，而 ACEF，可知 AC平面 ECDF，因此，ADC 就是直线 AD 与平面 ECDF 所成的角由于 ACCD1，4112，解决与翻折有关的问题的两个关键(1)要明确翻折前后的变化量和不变量一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化(2)在解决问题时，要比较翻折前后的图形，既要分析翻折后的图形，也要分析翻折前的图形(2019·浙江省五校联考模拟)如图 1，E，F 分别是 AC，AB 的中点，ACB90

37、°，CAB30°，沿着 EF 将AEF 折起，记二面角 A EF C 的度数为.(1)当90°时，即得到图 2，求二面角 ABF C 的余弦值；(2)如图 3 中，若 ABCF，求 cos 的值解：(1)因为平面 AEF平面 CEFB，且 EFAE，AE   3a，EH    3 a，所以 

38、;AE平面 CEFB，过点 E 向 BF 作垂线交 BF 延长线于 H，连接 AH，则AHE 为二面角 A BF C 的平面角设 BC2a，则 EFa，AB4a，AC2 3a，2所以 cos  AHEEHAH               53a2&#

39、160; a232a43 5，12所以二面角 A   BF   C 的余弦值为    55.所以 CGBCtan  30°   a，则 GE    3 a，(2)过点 A 向 CE 作垂线，垂足为 G，连接 GB，CF.如果 ABCF，则根据三垂线定理有

40、60;GBCF，因为BCF 为正三角形，2 333AE3所以 cos 的值为  .GE1因为 AE 3a，所以 cos  ，13有关垂直的四个结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)(3)垂直于同一条直线的两个平面平行(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直易错防范(1)注意在空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行，还有可能异面、相

41、交(2)注意使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”(3)注意对平面与平面垂直性质的理解基础达标1(2019·嘉兴市七校联考)“直线 a 与平面 M 内的无数条直线都垂直”是“直线 a 与平面 M 垂直”的()A充分不必要条件C充要条件B必要不充分条件D既不充分也不必要13条件解析：选 B.根据直线与平面垂直的定义知“直线 a 与平面 M 内的无数条直线都垂直”不能推出“直线 a

42、 与平面 M 垂直”，反之可以，所以应该是必要不充分条件2. 如图，O 为正方体 ABCD A1B1C1D1 的底面 ABCD 的中心，则下列直线中与 B1O 垂直的是()AA1DCA1D1BAA1DA1C1解析：选 D.由题易知 A1C1平面 BB1D1D.又 B1O 平面 BB1D1D，所以 A1C1B1O.3(2019·温州中学高三模考) 如图，在三棱锥 D A

43、BC 中，若 ABCB，ADCD，E 是AC 的中点，则下列命题中正确的是()A平面 ABC平面 ABDB平面 ABD平面 BCDC平面 ABC平面 BDE，且平面 ACD平面 BDED平面 ABC平面 ACD，且平面 ACD平面 BDE解析：选 C.因为 ABCB，且 E 是 AC 的中点，所以 BEAC，同理，DEAC，由于 DEBEE，于是 

44、AC平面 BDE.因为 AC 平面 ABC，所以平面 ABC平面 BDE.又 AC 平面 ACD，所以平面 ACD平面 BDE.故选 C.4(2019·浙江省名校协作体高三联考)已知正三棱柱 ABC A1B1C1 的侧棱长与底面边长相等，则直线 AB1 与侧面 ACC1A1 所成角的正弦值等于()A    6B    

45、104422CD32解析：选 A.如图所示，取 A1C1 的中点 D，连接 AD，B1D，则可知 B1D平面 ACC1A1，所以DAB1 即为直线 AB1 与平面 ACC1A1 所成的角，不妨设正三棱柱的棱长为 2，所以在 AB1D中，14sinDAB1B1DAB12   2 436，故选 A.AD，ADBC，ABBC2，PA3，PA底面 ABCD，E 是棱 PD 上

46、异于 P，D 的动点，设   PE5(2019·浙江省高中学科基础测试)在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，BAEDm，则“0<m<2”是“三棱锥 C ABE 的体积不小于 1”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选 B.过 E 点作 EHAD，H 为垂足，则 EH平面 ABCD.因为 VCABE

47、VE，所以三ABC3                                       2         &

48、#160;    ED23PE棱锥 C ABE 的体积为 EH.若三棱锥 C ABE 的体积不小于 1，则 EH ，又 PA3，所以m1，故选 B.6(2019·绍兴市柯桥区高考数学模拟)如图，四边形 ABCD 是矩形，沿直线 BD 将ABD翻折成BD，异面直线 CD 与 AB 所成的角为，则()A<ACAC<ACD解析：选 

49、B.B>ACAD>ACD因为 ABCD，所以ABA 为异面直线 CD 与 AB 所成的角假设 ABBC1，平面 ABD平面 ABCD.连接 AC 交 BD 于点 O，连接 AA，AC，AO，15AOAOBOCODO  AC1则 AO平面 ABCD，222，所以 AAACABAD1，所以，ACD 是等边三角形，CA 是等腰直角三角形，所以ACA45°，ACD

50、ABA60°，即>ACA，ACD.排除 A，C，D.故选 B.7. 如图，在ABC 中，ACB90°，AB8，ABC60°，PC平面 ABC，PC4，M是 AB 上的一个动点，则 PM 的最小值为_解析：作 CHAB 于 H，连接 PH.因为 PC平面 ABC，所以 PHAB，PH 为 PM 的最小值，等于 2 7.答案：2 78. 

51、;如图所示，在四面体 ABCD 中，AB，BC，CD 两两垂直，且 BCCD1.直线 BD 与平面ACD 所成的角为 30°，则线段 AB 的长度为_解析：如图，过点 B 作 BHAC，垂足为点 H，连接 DH.因为 CDAB，CDBC，所以平面 ACD平面 ABC，所以 BH平面 ACD.所以BDH 为直线 BD 与平面 ACD 所成的

52、角所以BDH30°，在 BDH 中，BD 2，16所以 BH    22.又因为在 BHC 中，BC1，所以BCH45°.所以在 ABC 中，ABBC1.答案：19(2019·台州市书生中学月考)如图，在四棱锥 P ABCD 中，PD平面 ABCD，ABCD，ADCD，PDADDC2AB，则异面直线 PC 与 AB 所成角的大小为_；直线 PB 与

53、平面PDC 所成角的正弦值为_腰直角三角形，所以PCD .设 AB1，则可计算得，PB3，而点 B 到平面 PDC 的距离 dPB3答案：解析：因为 ABCD，所以PCD 即为异面直线 PC 与 AB 所成的角，显然三角形 PDC 为等4d2等于 AD 的长为 2，所以直线 PB 与平面 PDC 所成角的正弦值为 .24310(2019·浙江名校新

54、高考联盟联考)æ11öè33øæ11öè33ø如图，已知正四面体 D ABC，P 为线段 AB 上的动点(端点除外)，则二面角 D PC B的平面角的余弦值的取值范围是_解析：当点 P 从 A 运动到 B，二面角 D PC B 的平面角逐渐增大，二面角 DPC B 的平面角最小趋近于二面角 D AC

55、 B 的平面角，最大趋近于二面角 DBC A 的平面角的补角，故余弦值的取值范围是ç ， ÷.答案：ç ， ÷11.如图，AB 是O 的直径，PA 垂直于O 所在的平面，C 是圆周上不同于 A，B 的任意一点17(1)求证：平面 PAC平面 PBC；(2)若 PAAC，D 为 PC 的中点求证：PBAD.证明：(1)设O 所在的

56、平面为，由已知条件 PA，BC 在内，所以 PABC.因为点 C 是圆周上不同于 A，B 的任意一点，AB 是O 的直径，所以BCA 是直角，即 BCAC.又因为 PA 与 AC 是PAC 所在平面内的两条相交直线，所以 BC平面 PAC.又因为 BC 在平面 PBC 内，所以平面 PAC平面 PBC.(2)因为 PAAC，D 是

57、0;PC 的中点，所以 ADPC.由(1)知平面 PAC平面 PBC，且平面 PAC平面 PBCPC.因为 AD 平面 PAC.所以 AD平面 PBC.又 PB 平面 PBC，所以 PBAD.12(2019·浙江名校协作体高三质检)如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为梯形，ADBC，ABBCCD1，DA2，DP平面 ABP，O，M 分别是 A

58、D，PB 的中点(1)求证：PD平面 OCM；(2)若 AP 与平面 PBD 所成的角为 60°，求线段 PB 的长解：(1)证明：设 BD 交 OC 于 N，连接 MN，OB，因为 O 为 AD 的中点，AD2，所以 OAOD1BC.又因为 ADBC，所以四边形 OBCD 为平行四边形，所以 N 为 BD 的中点，因

59、为 M 为 PB 的中点，所以 MNPD.又因为 MN 平面 OCM，PD平面 OCM，所以 PD平面 OCM.18所以 BD                1   3，即 AB2BD2AD2，即 ABBD.(2)由四边形 OBCD 为平行四边形，知

60、 OBCD1，所以AOB 为等边三角形，所以A60°，2因为 DP平面 ABP，所以 ABPD.又因为 BDPDD，所以 AB平面 BDP，所以APB 为 AP 与平面 PBD 所成的角，即APB60°，所以 PB    33.能力提升1如图，梯形 ABCD 中，ADBC，ABC90°，ADBCAB234，E，F 分别是AB，CD 的中点，将四边形

61、 ADFE 沿直线 EF 进行翻折，给出下列四个结论：DFBC；BDFC；平面 BDF平面 BCF；平面 DCF平面 BCF，则上述结论可能正确的是()ACBD解析：选 B.对于，因为 BCAD，AD 与 DF 相交但不垂直，所以 BC 与 DF 不垂直，则不成立；对于，设点 D 在平面 BCF 上的射影为点 P，当 BPCF 时就有 BDFC，而

62、 ADBCAB234 可使条件满足，所以正确；对于，当点D 在平面 BCF 上的射影 P 落在BF 上时，DP平面 BDF，从而平面 BDF平面 BCF，所以正确；对于，因为点 D 在平面BCF 上的射影不可能在 FC 上，所以不成立所成角等于，则平面 ACD 与平面所成角的正弦值的取值范围是(   )2(2019·绍兴诸暨高考模拟)已知三棱锥 A BCD&

63、#160;的所有棱长都相等，若 AB 与平面3ë 2  6 ， 2  6 ûë 2  6 ，1ûé3 63 6ùAê，úë66ûé 2323ùCêúé3 6  ùBê ，1úë 6 

64、;   ûé 2 3  ùDê ú19解析：选 A.因为三棱锥 A BCD 的所有棱长都相等，所以三棱锥 A BCD 为正四面体，如图：设正四面体的棱长为 2，取 CD 中点 P，连接 AP，BP，则BAP 为 AB 与平面 ADC 所成角，sinBAP  .APBP 

65、3，可得 cosBAP3             63             3æ   ö               

66、0;   3   31   63   6sinç÷sincos  cossin    ×    ×      ；æ   ö         

67、          3   31   63   6sinç÷sincos  cossin    ×    ×      ，3(2019·杭州市高三期末 在ABC 中，ABC，边&#

68、160;BC 在平面内，顶点 A 在平面外，直线 AB 与平面所成角为.若平面 ABC 与平面所成的二面角为，则 sin  设BAP.当 CD 与平行且 AB 在平面 ACD 上面时，平面 ACD 与平面所成角的正弦值最小，为è 3ø3323236当 CD 与平行且 AB 在平面 ACD 下面时，平面 ACD 

69、;与平面所成角的正弦值最大，为è 3ø3323236é     ú所以平面 ACD 与平面所成角的正弦值的取值范围是ê3 6，3 6ù.故选 A.ë66û33_解析：则 ADBC，所以ADO 是平面 ABC 与平面所成的二面角，即ADO，ABO 是直过 A 作 AO，垂足是 O，过 O 作 

70、;ODBC，交 BC 于 D，连接 AD，3线 AB 与平面所成的角，即ABO，设 AO 3，所以 AD2，在 RtADB 中，20ABD，所以 AB       ，3AB   4   34424 333sinAO33所以 sin  .33答案：4(2019·浙江“七彩阳光”新高考联盟联考)已知直角

71、三角形 ABC 的两条直角边 AC2，BC3，P 为斜边 AB 上一点，沿 CP 将此三角形折成直二面角 A CP B，此时二面角 PAC B 的正切值为 2，则翻折后 AB 的长为_解析：如图，在平面 PCB 内过 P 作直二面角 A CP B 的棱 CP 的垂线交边 BC 于 E, 则

72、EP平面 ACP.为二面角 P   AC   B 的平面角，且 tanPDE   2，设 DPa，则 EP   2a.于是在平面 PAC 中过 P 作二面角 P AC B 的棱 AC 的垂线，垂足为 D，连接 DE，则PDEEPPD如图，sin（90°）设BCP，则ACP90°，

73、则在直角三角形 DPC 中，PCa，又在直角三角形 PCE 中，tan  ，则·tan     2a，sin     2cos22·AC·BC                     2aPEacos PCcos ，所以45°，因为二面角 A CP B 为直二面角，所以 cosACBcosACP·cosAC2BC2AB21BCP，于是cosACP·sinACP ，解得