2020年高考理科数学一轮复习资料 解三角形

1、解三角形考纲解读1.正弦定理和余弦定理：三年高考分析正余弦定理和三角形面积公式是考查的重点，考查学掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形 生的数学运算能力、直观想象能力、数据分析能力，度量问题.题型以选择填空题、解答题为主，中等难度.决一些与测量和几何计算有关的实际问题.2.应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解 1、以利用正弦、余弦定理解三角形为主，常与三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查，加强数形结合思想的应用意识题型多样，中档难度.2、以利用正弦定理、余弦定理测量距离、高度、角度等实际问题为主，常与三角恒等变换、三角函数的性质

2、结合考查，加强数学知识的应用性题型主要为选择题和填空题，中档难度.1【2018 年新课标 2 理科 06】在ABC 中，cosA4BC，BC1，AC5，则 AB（       ）D2【解答】解：在ABC 中，cos，cosC2，BC1，AC5，则 AB故选：A4  【B  Cb  c22018 年新课标 3 理科 09 ABC 

3、的内角 A， ， 的对边分别为 a，若ABC 的面积为则 C（）ABCD【解答】解：ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，ABC 的面积为， ABC，sinCcosC，0C，C故选：C【3 2019 年全国新课标 2 理科 15 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若 b6，a2c，B则ABC 的面积为【解答】解：由余弦定理有

4、 b2a2+c22accosB，b6，a2c，B，c212，故答案为：4【2019 年浙江 14在ABC 中，ABC90°，AB4，BC3，点 D 在线段 AC 上，若BDC45°，则 BD，cosABD【解答】解：在直角三角形 ABC 中，AB4，BC3，AC5，sinC，在BCD 中，可得，可得 BD；CBD135°C，sinCBDsin（135°C）（cosC+sinC）（），即有 cosABDcos（90&#

5、176;CBD）sinCBD，故答案为：，5【2018 年浙江 13在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c若 asinB，c【解答】解：在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，ca，b2，A60°，由正弦定理得：，即，b2，A60°，则解得 sinB由余弦定理得：cos60°，解得 c3 或 c1（舍），sinB，c3故答案为：，36【2017 年浙江 11】我国古

6、代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率 ，理论上能把  的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术” 将  的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积 S6，S6【解答】解：如图所示，单位圆的半径为 1，则其内接正六边形 ABCDEF 中，AOB 是边长为 1 的正三角形，所以正六边形 ABCDEF 的面积为S661×1×sin60°故答案为：7【2017

7、 年浙江 14已知ABC，ABAC4，BC2，点 D 为 AB 延长线上一点，BD2，连结 CD，则BDC 的面积是，cosBDC【解答】解：如图，取 BC 得中点 E，ABAC4，BC2，BEAE ABCBC1，AEBC，BCAE     2          ，BD2， BDC ABC，BCBD2，BDC

8、BCD，ABE2BDC在 ABE 中，cosABE，cosABE2cos2BDC1cosBDC，故答案为：，8【2019 年天津理科 15在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知 b+c2a，3csinB4asinC（）求 cosB 的值；（）求 sin（2B）的值【解答】解（）在三角形 ABC 中，由正弦定理，得 bsinCcsinB，又由 3csinB4asinC，得 3bsinC 

9、0;4asinC ， 即 3b  4a  又 因 为 b+c  2a ， 得 b， c，由余弦定理可得cosB（）由（）得 sinB，从而 sin2B2sinBcosB，cos2Bcos2Bsin2B，故 sin（2B）sin2Bcoscos2Bsin9【2019 年新课标 3 理科 18】ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为

10、0;a，b，c已知 asin（1）求 B；（）若ABC 为锐角三角形，且 c，求ABC 面积的取值范围【解答】解：（1）asinbsinA，即为 asinacosbsinA，bsinA可得 sinAcossinBsinA2sin cos sinA，sinA0，cos2sin cos ，若 cos0，可得 B（2k+1），kZ 不成立，sin，由 0B，可得 B；（）若ABC 为锐角三角形，且 c1，由余弦定理可得&#

11、160;b，由三角形 ABC 为锐角三角形，可得 a2+a2a+11 且 1+a2a+1a2，解得a2，可得ABC 面积 Sasina（，）10【2019 年新课标 1 理科 17ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c设（sinBsinC）2sin2AsinBsin C（1）求 A；（2）若a+b2c，求 sinC【解答】解：（）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为&#

12、160;a，b，c设（sinBsinC）2sin2AsinBsin C则 sin2B+sin2C2sinBsinCsin2AsinBsinC，由正弦定理得：b2+c2a2bc，cosA，0A，A（2）a+b2c，A，由正弦定理得，解得 sin（C），C，C，sinCsin（）sincoscossin11【2019 年北京理科 15在ABC 中，a3，bc2，cosB（）求 b，c 的值；（）求 sin（BC）的值【解答】解：（）a3，bc2，cosB由余弦定理，得 b2a2+c22accosB，

13、b7，cb25；（）在ABC 中，cosB，sinB，由正弦定理有：，bc，BC，C 为锐角，cosC，sin（BC）sinBcosCcosBsinC12【2019 年江苏 15在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c（1）若 a3c，b，cosB，求 c 的值；（2）若，求 sin（B）的值【解答】解：（）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，ca3c，b，cosB，由余弦定理得：cosB，解得 

14、c（2），由正弦定理得：，2sinBcosB，sin2B+cos2B1，sinB，cosB，sin（B）cosB13【2018 年江苏 17】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 O 的一段圆弧（P 为此圆弧的中点）和线段 MN 构成已知圆 O 的半径为 40 米，点 P 到 MN 的距离为 50 米现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形 ABCD，大棚内的地块形状为CDP，要求 A，

15、B 均在线段MN 上，C，D 均在圆弧上设 OC 与 MN 所成的角为 （1）用  分别表示矩形 ABCD 和CDP 的面积，并确定 sin 的取值范围；（2）若大棚 I 内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4：3求当  为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大【解答】解：（1）S 矩形 ABCD（40sin+10）80cos800（4

16、sincos+cos），SCDP80cos（4040sin）1600（coscossin），当 B、N 重合时， 最小，此时 sin；当 C、P 重合时， 最大，此时 sin1，sin 的取值范围是，1）；（2）设年总产值为 y，甲种蔬菜单位面积年产值为 4t（t0），乙种蔬菜单位面积年产值为 3t，则 y3200t（4sincos+cos）+4800t（coscossin）8000t（sincos+cos），其中 sin，1）；设 f（）sin

17、cos+cos，则 f（）cos2sin2sin2sin2sin+1；令 f（）0，解得 sin，此时 ，cos；当 sin，）时，f（）0，f（）单调递增；当 sin（，1）时，f（）0，f（）单调递减；时，f（）取得最大值，即总产值 y 最大S 矩形 ABCD800（4sincos+cos），SCDP1600（coscossin），sin，1）；答：时总产值 y 最大14【2018 年新课标 1 理科 17】在平面四边形 

18、ABCD 中，ADC90°，A45°，AB2，BD5（1）求 cosADB；（2）若 DC2，求 BC【解答】解：（1）ADC90°，A45°，AB2，BD5由正弦定理得：，即，sinADB，ABBD，ADBA，cosADB（2）ADC90°，cosBDCsinADB，DC2BC，515【2018 年北京理科 15在ABC 中，a7，b8，cosB（）求A；（）求 AC 边上的高【解答】解：（）ab，AB，即 A 是锐角，cosB，si

19、nB，由正弦定理得得 sinA，则 A（）由余弦定理得 b2a2+c22accosB，即 6449+c2+2×7×c，即 c2+2c150，得（c3）（c+5）0，得 c3 或 c5（舍），则 AC 边上的高 hcsinA3【16 2018 年天津理科 15在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知 bsinAacos（B（）求角 B 的大小；（）

20、设 a2，c3，求 b 和 sin（2AB）的值【解答】解：（）在ABC 中，由正弦定理得，得 bsinAasinB，又 bsinAacos（B）asinBacos（B），即 sinBcos（B   ）cosBcos   sinBsin      cosB       ，tanB，又 B（0，），B（）在ABC

21、0;中，a2，c3，B，由余弦定理得 b，由 bsinAacos（B），得 sinA，ac，cosA，sin2A2sinAcosA，cos2A2cos2A1，sin（2AB）sin2AcosBcos2AsinB【b   17 2017 年新课标 1 理科 17 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a， ， ，已知ABC 的面积为（1）求 sinBsinC；（2）若 6cosBcos

22、C1，a3，求ABC 的周长【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得  ABC3csinBsinA2a，由正弦定理可得 3sinCsinBsinA2sinA，sinA0，sinBsinC；（2）6cosBcosC1，cosBcosC，cosBcosCsinBsinC，acsinB        ，cos（B+C），cosA，0A，A，2R2，sinBsinC          

23、           ，bc8，a2b2+c22bccosA，b2+c2bc9，（b+c）29+3cb9+2433，b+c周长 a+b+c318【2017 年新课标 2 理科 17ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin（A+C）8sin2 （1）求 cosB；（2）若 a+c，ABC 的面积为 2，求 

24、;b【解答】解：（1）sin（A+C）8sin2 ，sinB4（1cosB），sin2B+cos2B1，16（1cosB）2+cos2B1，16（1cosB）2+cos2B10，16（cosB1）2+（cosB1）（cosB+1）0，（17cosB15）（cosB1）0，cosB；（2）由（1）可知 sinB， ABCacsinB2，ac，b2a2+c22accosBa2+c22a2+c215（a+c）22ac153617154，b219【2017 年新课标 3 理科 17ABC 的内角 A，B，C

25、60;的对边分别为 a，b，c，已知 sinA2，b2（1）求 c；（2）设 D 为 BC 边上一点，且 AD，求ABD 的面积cosA0，a【解答】解：（1）sinAcosA0，tanA，0A，A，由余弦定理可得 a2b2+c22bccosA，即 284+c22×2c×（），即 c2+2c240，解得 c6（舍去）或 c4，故 c4（2）c2b2+a22abcosC，1628+42×22×cosC，cos

26、C，CDCDBC ABCABACsinBAC4×22， ABD ABC20【2017 年上海 18】已知函数 f（x）cos2xsin2x（1）求 f（x）的单调递增区间；（）设ABC 为锐角三角形，角 A 所对边 a【解答】解：（1）函数 f（x）cos2xsin2xcos2x，x（0，），x（0，），角 B 所对边 b5，若 f（A），求 ABC 的面积由 2k2x2k，解得 kk1

27、 时，x，可得 f（x）的增区间为，）；（）设ABC 为锐角三角形，xk，kZ ，角 A 所对边 a，角 B 所对边 b5，若 f（A）0，即有 cos2A0，解得 2A，即 A，由余弦定理可得 a2b2+c22bccosA，化为 c25c+60，解得 c2 或 3，若 c2，则 cosB0，即有 B 为钝角，c2 不成立，则 c3，ABC

28、0;的面积为 SbcsinA5×321【2017 年北京理科 15在ABC 中，A60°，c（1）求 sinC 的值；（2）若 a，求ABC 的面积【解答】解：（1）A60°，ca，a由正弦定理可得 sinC（2）a7，则 c3，CA，sinA               ，sin2C+cos2C1，又由（1）可得&#

29、160;cosC，sinBsin（A+C）sinAcosC+cosAsinC，SABCacsinB7×3622【2017 年天津理科 15在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知 ab，a5，c6，sinB（）求 b 和 sinA 的值；（）求 sin（2A）的值【解答】解：（）在ABC 中，ab，故由 sinB，可得 cosB由已知及余弦定理，有b由正弦定理，得 sinAb，sinA；（）由（）及

30、60;ac，得 cosA，sin2A2sinAcosA，13，cos2A12sin2A故 sin（2A）1【安徽省黄山市 2019 届高三毕业班第三次质量检测】设的内角    所对边的长分别是   ，且，则的值为（）AB4CD【答案】C【解析】在ABC 中，A2B，b3，c1，可得，整理得 a6cosB，由余弦定理可得：a6，a2，故选 C.2 【江西省新八校 2019 届高三第二次联考】我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形

31、三边求三角形面积的“三斜求积”，设 DABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ，面积为 S ，则“三斜求积”公式为，若，则用“三斜求积”公式求得DABC 的面积为（）2            BC  1A3【答案】A【解析】2      &#

32、160;     D,因为，所以，从而 DABC 的面积为，故选 A.3 【安徽省合肥市 2019 届高三第三次教学质量检测】已知ABC 的内角 A ， B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，若， b = 3 ， cos B = 1 ，则 ABC 的面积为（4）A 

33、9 15B 9 1516C3 1516           D916【答案】B【解析】由结合正弦定理可得 ab = 2bc ，则 a = 2c .由余弦定理，可得，解得 c = 3 ，则 a = 3 .2又，所以.故选 B.【4 湖北省黄冈市 2019

34、0;届高三 2 月联考】如图，在 DABC 中，AD = 2 ，则 DABC 的面积为（）2           B2           C 3A 3 3【答案】B【解析】3 73     

35、0;    D 3 7过点 D 分别作 AB 和 AC 的垂线，垂足分别为 E, F ，由得 DE = DF ，则 AD 为 ÐBAC 的平分线，又，即，解得 AC = 2 在 DABC 中，.，故选 B.5【江西省名校（临川一中、南昌二中)2019 届高三 5

36、0;月联合考试】在 DABC 中，则（）A 9:7:8【答案】B【解析】设所以所以所以B               C 6:8:7         D，得所以故选：B6 【重庆西南大学附属中学校 2019 届高三第十次月考】在VABC 中，角 A ，

37、0;B ， C 的对边分别为 a ， b ，c ,若3，且 c = 2 ， sin C = ，则 VABC 的面积为（   ）5A 3【答案】C【解析】B 231 2C 3 或           D 6 或3

38、                  3因为，所以                      ，故        

39、0;   ，因此 A = B 或 A + B =p23            p；因为 sin C = ，所以 A + B =5            2舍去；故

40、0;A = B ；所以 a = b ；p34当 C >时，由 sin C =得 cos C = -，又 c = 2 ，255所以，根据余弦定理可得，解得 a2 =109，因此，；2  时，由 sin C =当 C < p所以，根据余弦定理因此，3   

41、60;    4得 cos C =  ，又 c = 2 ，5        5可得             ，解得 a 2 = 10 ，.故选 C7 【山东省栖霞市 2019

42、60;届高三高考模拟卷】设锐角三角形 ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ，若，则 b 的取值范围为（）A (0, 4)C (2 2, 2 3)B (2, 2 3)D (2 2, 4)2  ， A + B = 3A ,【答案】C【解析】由锐角三角形&#

43、160;ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ，若，0 < 2 A < p， 0 < A < p4,由正弦定理得，即 b = 4cos A则 b 的取值范围为 (2 2, 2 3) ,故选 C.8 【河北廊坊 2018-

44、2019 学年高一年级第二学期期中联合调研考试】在DABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c ， A = 60° ， a = 4 3 ， b = 4 ，则 B = （）A B = 30 ° 或

45、0;B = 150°C B = 30 °【答案】C【解析】B B = 150°D B = 60°解：A = 60 ° ， a = 4 3 ， b = 4由正弦定理得：a > b B < 60° B = 30&

46、#176;故选 C.9 【辽宁省葫芦岛市普通高中 2019 届高三第二次模拟考试】在DABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，若 DABC 为锐角三角形，且满足，则等式成立的是（   ）A b = 2a【答案】B【解析】依题意得B a = 2b       

47、0;C A = 2BD B = 2 A,，即，由正弦定理得 a = 2b ，故选 B.10【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019 届高三第五次测评】 DABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 b =2 ， c = 4 

48、.且，则 DABC 的面积为（   ）A2B3C4D 3 2【答案】A【解析】由余弦定理得：，即解得： a = 10本题正确选项： A11【广东省潮州市 2019 届高三第二次模拟考试】在ABC 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，abcBC 边上的高为，则+的最大值是_22c2b【答案】2【解析】因

49、为 BC 边上的高为 a2，所以可得，即             ，故  b，c+的最大值是2 2c2b故答案为2 12【云南省陆良县 2019 届高三上学期第一次摸底考试】 DABC 外接圆半径为3 ，内角 A ， B ， C 对应的边分别为 a ， b&#

50、160;， c ，若 A = 60° ， b = 2 ，则 c 的值为_【答案】 6 + 1【解析】由正弦定理可得：，解得： a = 3由余弦定理可得：解得： c = 1 + 6 或1 - 6 （舍去） c = 6 + 1本题正确结果： 6 +

51、60;1【13四川省名校联盟 2019 届高考模拟信息卷（一)】三角形 ABC 中，则三角形 ABC 的面积为_.【答案】3【解析】，BC =2 ，AC = 2 2 ，解法 1：在 DABC 中，由余弦定理得， BC =2 ， AC = 2 2 .，即，解得 AB =6 .三角形 ABC 的面积为.解法 2：

52、在 DABC 中， BC =2 ， AC = 2 2 .由正弦定理得，由勾股定理，得.所以，三角形 ABC 的面积为.【14 天津市河东区 2019 届高三二模】如图，已知，AB = 2 ，OA × OB = 2 ，则 OB × OC = _.【答案】 2 3【解析】设=

53、0;m (m > 0)， ÐAOB = q ，在ABO 中，由余弦定理可得：，整理可得：，由平面向量数量积的定义可得： OA × OB = m2 cosq = 2 ，由有：，解得：                  ，即AB

54、O 为等边三角形， m = 2 ，由题意可得：，故： OB × OC =.【15 黑龙江省大庆第一中学 2019 届高三第三次模拟】已知 DABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c ，若（）求 B ；（）若 b = 2 ，求 DABC 面积的最大值。【答案】（）p4（） 2 + 1【解析

55、】（）由正弦定理可得：sin C ¹ 04  .又 B Î (0, p ) B = p（）由余弦定理可得，又故 ac £所以42 - 2，当且仅当 a = c 时，等号成立.所以面积最大为 2 + 1 .16【广东省深圳市深圳外国语学校 2019 届高三第二学期第一次热身】已知VABC 中

56、，角A, B, C 的对边分别为 a, b, c （1）若 a, b, c 依次成等差数列，且公差为 2，求 c 的值；（2）若 VABC 的外接圆面积为 p ，求 VABC 周长的最大值【答案】（1） c = 7 ；（2） 2 + 3 .【解析】（1）a, b, c 依次成等差数列，且公

57、差为 2b = c - 2 ， a = c - 4，由余弦定理得：整理得：又，解得： c = 7 或 c = 2，则 c > 4 c = 7（2）设 B = q ，外接圆的半径为 R ，则 p R 2 = p ，解得： R&

58、#160;= 1由正弦定理可得：可得： b = 2sin q ， c =3DABC 的周长3 øæ又 q Î ç 0,èp ö÷3  =6  时， f (q ) 取得最大值 2 +   3 当 q + pp2&

59、#160;，即：q =p17【北京市昌平区 2019 年高三年级第二次统一练习】在ABC 中，AC=4， BC = 4 3 ，（）求 ÐABC 的大小；（）若 D 为 BC 边上一点， AD =7 ，求 DC 的长度【答案】（） ÐABC =p6 ；（） DC = 3 3 或 DC

60、0;=3【解析】（）在 DABC 中，由正弦定理得，所以6  因为，所以，所以 ÐABC = p（）在 DABC 中，在 DADC 中，由余弦定理，得，即，解得 DC = 3 3 或 DC =3 经检验，都符合题意18【山东省聊城市 2019 届高三三模】在 DABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a

61、, b, c ，且（1）求 ÐA 的大小；.（2）若 DABC 的外接圆的半径为 2 3 ，面积为 33 ，求 DABC 的周长.【答案】（1）【解析】（1）因为2p3；（2） 6 + 4 3 .，由正弦定理可得，由三角形内角和定理和诱导公式可得，代入上式可得，所以因为 sin B > 0 ，所以由于 0 <

62、0;A < p ，所以 A =2p3.，即 cos A = -12.（2）因为 DABC 的外接圆的半径为 2 3 ，由正弦定理可得，.又 DABC 的面积为 3 3 ，所以，即，所以 bc = 12 .由余弦定理得，则，所以，即 b + c = 4 3 .所以 DABC 

63、的周长.【19 湖南省师范大学附属中学 2019 届高三下学期模拟（三)】在 DABC 中，角 A, B, C 的对边分別为 a, b, c ，若 cos A = 3 ， B = 2 A ， b = 3 .4（1）由 0 < A < p  ，

64、60;cos A =  3（1）求 a ；（2）已知点 M 在边 BC 上，且 AM 平分 ÐBAC ，求 DABM 的面积.【答案】(1) a = 2 (2)【解析】7，得 sin A =，44所以，由正弦定理    asin A   sinB   

65、;              .b=，可得（2），在 DABC 中，由余弦定理，得              ，解得 c =52或 c = -2 （舍去）.，因为，所以.20【天津市河西区 2019 届高三一模】在

66、60;ABC 中， A, B, C 对应的边为 a, b, c .已知（）求 A ；.（）若 b = 4, c = 6 ，求 cos B 和的值.【答案】（） A = 11（） -3        14由 sinC ¹ 0 ，得 cosA =  1【解析】（）解：由条件，得，又由，得.，故 A