信号与系统：第21讲 第10章 Z变换1

1、第第1010章章 Z Z变换变换 10.1-10.1-10.310.3Z Z变换；变换；Z Z变换收敛域；变换收敛域；Z Z反变换反变换n3种基本运算器加法、乘法、积分种基本运算器加法、乘法、积分n直接模拟作图直接模拟作图n仅有对输出信号的多阶处理仅有对输出信号的多阶处理n对输入信号的多阶处理对输入信号的多阶处理n子系统串连、并联的模拟作图子系统串连、并联的模拟作图n连续时间拉普拉斯变换分析连续时间拉普拉斯变换分析n比傅里叶变换应用广泛，不存在傅里叶变换的信号有拉比傅里叶变换应用广泛，不存在傅里叶变换的信号有拉普拉斯变换普拉斯变换n不稳定系统可以通过拉普拉斯变换进行频域的分析不稳定系统可以通过

2、拉普拉斯变换进行频域的分析n离散时间的频域分析相对应也有类似方法离散时间的频域分析相对应也有类似方法n对不满足绝对可和的序列进行处理对不满足绝对可和的序列进行处理n对不稳定的系统进行频域分析对不稳定的系统进行频域分析nZ变换的学习过程与拉普拉斯变换学习过程相同变换的学习过程与拉普拉斯变换学习过程相同n变换的定义、收敛的分析、性质、对信号对系统的分析变换的定义、收敛的分析、性质、对信号对系统的分析n离散时间和连续时间的本质差别也会反映到离散时间和连续时间的本质差别也会反映到Z变换分析中变换分析中，学习过程需要有对应，关注它们的异同所在，学习过程需要有对应，关注它们的异同所在2022-4-29信号

3、与系统第21讲4nZ变换的导出变换的导出n复指数信号为复指数信号为LTI系统的特征信号系统的特征信号nZ变换与离散时间傅里叶变换之间关系变换与离散时间傅里叶变换之间关系 ( )( ) nnnnh nLTIzy nH z zH zh n z单位脉冲响应为的离散时间系统对输入为 的响应：其中：( )(), 1( ) jjeH zH eh nzH zh nZ令 z =1，z=，为傅里叶变换，无限制，为的 变换 ( ) nnx nZX zx n z定义的 变换： ( )x nX z记为：Z( )() ()( ) jjjnnnj nnnzreX zX rex n rex n rex n r采用极坐标方式

4、：F1( )( )() jrjz eX zX zX ex n F- 1, nnx n Zx n rrzx nx nx n r变换等同的傅里叶变换变换转化为离散傅里叶变换不绝对可和时，不存在但可能存在FF2022-4-29信号与系统第21讲5nZ变换的几何解释变换的几何解释n拉普拉斯变换有拉普拉斯变换有s平面，平面，Z变换有变换有Z平面平面nZ平面与平面与s平面平面nZ变换的收敛域变换的收敛域n收敛分析举例收敛分析举例- ()nx nZx n rrzrzROC的 变换存在，即傅里叶变换存在取值不同，对变换存在有影响保证 变换存在的 取值范围就是 变换收敛域R eImZ平面1单位圆jze1sjzr

5、平面的虚轴平面的单位圆-10 ,( ) nnnnnnx na u nX za u n zaz序列11azza级数收敛的条件是，或者，1101( ) 1nnzX zazzaazza，1, , 11ax nzu nzz为单位阶跃序列，ZR eImZ平面1单位圆a1, ax n如果收敛域不包括单位圆此时的傅里叶变换不存在2022-4-29信号与系统第21讲6n收敛分析举例收敛分析举例2n收敛分析举例收敛分析举例3，实指数序列之和的变换，实指数序列之和的变换1-11110( )11nnnnnnnnnX za unzaza za z 11zaza级 数 收 敛 的 条 件 是， 或 者，10( )11

6、nnazX zzazaazza=，R eImZ平面1单位圆az与前面序列的 变换结果一样，收敛域不同 1nx na un 序列11 7 6 32nnx nu nu n 序列-1-10000-1-1-1-1-11111( )7( )6( )7()6()323233176221111111111323232nnnnnnnnnnX zzzzzz zzzzzzzz-1-1-10-1-1-101717() 1133131616() 112212nnnnzzzzzz级数收敛的条件为：，1 2z 公共的收敛区间为：R eImZ平面1单位圆122022-4-29信号与系统第21讲7n收敛分析举例收敛分析举例4

7、4411111 sin() ()() 342323njjnnx nn u neeu njj序列-1-144440000-1-1444411111111( )()()()()23232323111223 21111113333jjjjnnnnnnnnnnjjjjX zezezezezjjjjzjjezezzeze-1-1440-14-1-1440-14111() 133113111() 133113jjnjnjjnjnezezezezezez级数收敛的条件为：，R eImZ平面1单位圆13 13z z变换收敛域：X(z)都可以表示为z的多项式之比X(z)的零极点为分子、分母多项式的根分子阶数高于

8、分母，在无限远点有极点分母阶数高于分子，在无限远点有零点2022-4-29信号与系统第21讲81( )X zROCz性质：的是在 平面内以原点为中心的圆环R eImZ平面- 0nnx n Zx n rx n rrrzzrr变换等同的傅里叶变换，绝对可和的 取值为收敛域。为复指数函数 的模，取值范围在 平面为圆环。的下限为 ，收敛域区为一个圆饼的上限无穷大，收敛区外圆延伸到无限远ROC性质2：内不包含任何极点- nx n r极点处不绝对可和，不在收敛域。3 0 x nROCzzz 性质 ：如果为有限长序列，为整个 平面，可能除去原点和无穷远点2112,( ) Nnn NNNzX zx n z有限

9、长序列从到其 变换为：121212000NNROCNNROCNNROC不含原点和无限远点包含无限远点包含原点2022-4-29信号与系统第21讲9 1nnnn zZ0ROCzzz 为整个 平面，包含和111nnnnzzZ00ROCzzz为不含的 平面，为极点11nnnnzzZROCzzz 为不含的 平面，为极点004 x nzrROCzrzROC性质 ：如果为右边序列，并且的园位于内，那么的全部有限 值都一定在这个内1( )( )nn NX zx n z右边序列z变换：可看成无穷级数求和，用根值法判断级数收敛性lim( )1nnnx n z 收敛条件：0lim( )nnzx nr 收敛域： 1

10、,x(n)为因果有始序列，按为因果有始序列，按Z-1展开展开0( )( )nnX zx n zzR120( )( )(0)(1)(2)nnX zx n zxxzxz12012( )X zAAzAz012(0), (1), (2),xA xA xA2( ),1(1)zX zzz( )x n123220( )23(1)21nnzzX zzzznzzzz( )( )x nnu n按照按照Z降幂排列降幂排列2022-4-29信号与系统第21讲1723( )252zX zzz132153zz3863z2415z123z13215z21215475215zz12331563( )248X zzzz2522

11、 zzz32022-4-29信号与系统第21讲18n因为因为n所以所以n小结小结n 要点：要点： 先将先将X(z)的分子和分母按的分子和分母按z的降幂排列，然后的降幂排列，然后进行长除，由其结果即得以序列形式表示的进行长除，由其结果即得以序列形式表示的x(n).n 特点：特点： 可直接得到原函数序列的开头若干个数，一可直接得到原函数序列的开头若干个数，一般难以得到序列般难以得到序列x(n)的通式。的通式。120( )( )(0)(1)(2)nnX zf n zxxzxz(0)0 x3(1)2x15(2)4x63(3)8x31 56 3()0 ,248x n 2022-4-29信号与系统第21讲

12、19n例例2，已知已知 求收敛域为求收敛域为|Z|1和和|Z|1，x(n)为右边序列为右边序列n|Z|R,X(Z)对应序列为右边序列对应序列为右边序列n收敛域收敛域|Z|R,X(Z)对应序列为左边序列对应序列为左边序列n同一个同一个X(Z)的的x(n)不是唯一的，只有已知不是唯一的，只有已知X(Z)和收和收敛域，敛域，x(n)才能唯一确定才能唯一确定2022-4-29信号与系统第21讲21例例 , 求求 21 ,) 2)(1()(2zzzzzF( )f n解解 ： 的收敛域的收敛域 为环形区域，其序列为双边序列为环形区域，其序列为双边序列 )(zF21 z)2)(1()(2zzzzF23213

13、1zzzz)21 ( z)()(21zFzF131)(1zzzF1 2Im(z)Re(z)0) 1(z 对应于右边序列对应于右边序列 232)(2zzzF)2(z 对应于左边序列对应于左边序列 131)(1zzzF32131313131zzz01( 1)3nnnzzzzF232)(2321216131zzz101132nnnz mmmz1)1(21311m 令n2022-4-29信号与系统第21讲221(1)1132nnnz mn令(1)111( )( 1)( )(1)332nnf nu nun ) 1(32)() 1(31)1(kkkk20111,2!nxnnxexxxxnn 例例 已知已知

14、 ， ，求，求zaezF)(0( )!nnazn0z( )f n解解 ： zaezF)(0!nnnazn( )( )!naf nu nn2022-4-29信号与系统第21讲23n拉普拉斯反变换，将拉普拉斯反变换，将F(S)展开展开为部分分式，基本形式为为部分分式，基本形式为nZ反变换也可以如此进行，其反变换也可以如此进行，其基本形式为：基本形式为：n因此，一般将因此，一般将 展开为部展开为部分分式分分式n 含单阶极点含单阶极点as1( )ate u tzz( )nu nzzF)(zzF)(1( )NiiiF zAzziZiizzFzA)()(1( )NiiiA zF zz1212NNAzAzA

15、 zzzz1( )( )Nniiif nAu n2022-4-29信号与系统第21讲24n 含含r重（阶）极点重（阶）极点 zzF)(rjjpjzzBzF1)()(rPrPPzzBzzBzzB)()(221pzrpjrjrjzzFzdzdjrB)()()!(1例例1 已知已知 , , 求求54132)(22zzzzzF5z( )f n解：解： )54(132)(22zzzzzzzF1155651zzz) 1)(5(1322zzzzz155651)(zzzzzF16( )( ) (5)( 1) ( )55nnf nnu n 2022-4-29信号与系统第21讲25例例2 已知已知 , , 求求

16、1z( )f n323) 1()(zzzzF解解 ： 32) 1()(zzzzzF33221) 1() 1(1zBzBzB13221)() 1()!13 (1zzzFzdzdB1)(! 211222zzzdzd132)() 1()!23 (1zzzFzdzdB3)(! 1112zzzdzd133)() 1(zzzFzB212zzz32) 1(2) 1(311)(zzzzzF32) 1(2) 1(31)(zzzzzzzF2022-4-29信号与系统第21讲26 由于由于 ，所以，所以 为有始序列为有始序列 1z( )f n查表知：查表知：azammkkkazzmkm,!) 1() 1()(13(

17、1)( ),(1)2zn nu nz2( ),(1)znu nz( )1zu kz( )1 3(1) ( )f nnn nu n2(1)( )nu n2022-4-29信号与系统第21讲27n反反Z变换的定义变换的定义nC为在为在 F(Z) 收敛域内环绕原点逆时针方向闭合路径收敛域内环绕原点逆时针方向闭合路径n对于左边序列和右边序列，计算表达式为对于左边序列和右边序列，计算表达式为11( )( )2nCf nF z zdzj11Re ( )0( ( )Re ( ),0( )nlCnrCs F z znf ns F z znf n外极点内极点，( )f n2022-4-29信号与系统第21讲28

18、n证明证明 n根据复变函数理论根据复变函数理论nF(Z)Zn-1在在Z=i处有处有一阶一阶极点，则该极点的留数极点，则该极点的留数nF(Z)Zn-1在在Z=i处有处有r阶阶极点，则该极点的留数极点，则该极点的留数1111( )( )( )( )ninniccciiniciF z zdzf i zzdzf i zdzf izdz 12 - -10 0 nicjnizdz 其他1 ( )2( )ncF z zdzjf n11Re ( )() ( )innizs F z zzF z z11111Re ( )()( )(1)!irnrnizrds F z zzF z zrdz2022-4-29信号与系

19、统第21讲29例例 ，求求 , 的原时间序列的原时间序列)2)(1(53)(2zzzzzF21 z( )f n解解 ： 21135( )(1)(2)nnzzF z zzzz(35)(1)(2)nzzzz（有两个单极点：（有两个单极点：Z=1,Z=2） 方法一方法一在收敛域内作闭合路径在收敛域内作闭合路径C 则在围线则在围线C内有一个极点内有一个极点 z=1（单阶）（单阶） 在围线在围线C外有极点外有极点 z=2（单阶）（单阶）1 2Im(z)Re(z)011( )Re ( )nrzf ns F z z111(35)(1) ( )2,02nnzzzzzF z znz12( )Re ( )nlzf

20、 ns F z z 12(2) ( )nzzF z z 2(35)2 ,01nnzzznz( )( )( )2 ( )2(1)nrlf nf nf nu nun 2022-4-29信号与系统第21讲30方法二方法二 )()(212)2)(1(53)(212zFzFzzzzzzzzzF,12)(1zzzF1z对应右边序列对应右边序列 ( )rf nIm(z)Re(z)10,2)(2zzzF2z对应左边序列对应左边序列 ( )lf nIm(z)Re(z)20111( )Re ( )nrzf ns F z z112(1)2,01nzzzznz 122( )Re ( )nlzf ns F z z12(

21、2)2,02nnzzzznz ( )( )( )2 ( )2(1)nrlf nf nf nu nun 求双边反求双边反z变换：关键在于弄清极点的归属问题！变换：关键在于弄清极点的归属问题！（类似拉普拉斯反变换）（类似拉普拉斯反变换）2022-4-29信号与系统第21讲31n理想取样信号拉普拉斯变换与对应离散序列理想取样信号拉普拉斯变换与对应离散序列Z变换变换nZ变换的定义源于理想取样信号的拉普拉斯变换变换的定义源于理想取样信号的拉普拉斯变换n所以所以n当拉普拉斯变换的变量当拉普拉斯变换的变量s=jn通过上式，可以得到与序列对应的理想取样信号的傅立叶变换通过上式，可以得到与序列对应的理想取样信号的傅立叶变换1ln( )( )szTF sF z( )( )sTz eF zF s( )()j Tz eF zF j2022-4-29信号与系统第21讲32n连续信号连