第2章+插值法4

1、16 样条插值样条插值 问题的提出问题的提出:上面讨论的分段低次插值函数都有一致收敛性，上面讨论的分段低次插值函数都有一致收敛性，但光滑性较差，对于像高速飞机的机翼形线，船但光滑性较差，对于像高速飞机的机翼形线，船体放样等型值线往往要求有二阶光滑度，即有二体放样等型值线往往要求有二阶光滑度，即有二阶连续导数，早期工程师制图时，把富有弹性的阶连续导数，早期工程师制图时，把富有弹性的细长木条（所谓样条）用压铁固定在样点上，在细长木条（所谓样条）用压铁固定在样点上，在其它地方让它自由弯曲，然后画下长条的曲线，其它地方让它自由弯曲，然后画下长条的曲线，称为样条曲线。它实际上是由分段三次曲线并接称为样条

2、曲线。它实际上是由分段三次曲线并接而成，在连接点即样点上要求二阶导数连续，从而成，在连接点即样点上要求二阶导数连续，从数学上加以概括就得到数学样条这一概念。下面数学上加以概括就得到数学样条这一概念。下面我们讨论最常用的三次样条函数。我们讨论最常用的三次样条函数。2 三次样条函数三次样条函数:定义定义:函数函数 ，且在每个小区间，且在每个小区间 上是三次多项式，其中上是三次多项式，其中 是给定节点，则称是给定节点，则称 是是节点节点 上的三次样条函数。上的三次样条函数。 若在节点若在节点 上给定函数值上给定函数值 ，并成立，并成立 则称则称 为三次样条插值函数。为三次样条插值函数。2( ) ,

3、S xC a b1,jjxx01naxxxb( )S x01,nx xxjx()jjyf x()(0, 1,)jjS xyjn( )S x(0,1, )jn3从定义知要求出从定义知要求出 在每个小区间在每个小区间 上是三上是三次多项式，要确定次多项式，要确定4个待定系数，共有个待定系数，共有n个小区个小区间，故应确定间，故应确定4n个参数。个参数。 根据根据 在在 上二阶导数连续，在节点上二阶导数连续，在节点 处应满足连续性条件处应满足连续性条件共有共有3n-3个条件，再加上个条件，再加上 满足插值条件满足插值条件 ，共有共有4n-2个条件，因此个条件，因此还需要还需要2个条件才能确定个条件才

4、能确定 。( )S x1,jjxx( )S x , a b(1, 2,1)jxjn(0)(0),(0)(0).,(0)(0).jjjjjjS xS xS xS xSxSx( )S x()(0, 1,)jjS xyjn( )S x4通常可在区间通常可在区间 端点端点 上各加一上各加一个条件（称为边界条件），可根据实际问题的个条件（称为边界条件），可根据实际问题的要求给定。常见的有要求给定。常见的有以下三种：以下三种： 1 已知两端的一阶导数值，即已知两端的一阶导数值，即 ，其特殊情况，其特殊情况 ，样条曲线在端点，样条曲线在端点处呈水平状态。处呈水平状态。2 两端的二阶导数已知，即两端的二阶导数

5、已知，即其特殊情况其特殊情况 ，称为自然，称为自然边界条件。边界条件。 , a b0,naxbx00(),()nnS xfS xf00(),()nnSxfSxf0()()0nSxSx0()()0nS xS x53当当 是以是以 为周期的周期函数时，为周期的周期函数时，则要求则要求 也是周期函数。这时边界条件应也是周期函数。这时边界条件应满足满足 而此时而此时 。这样确定的样条函。这样确定的样条函数数 ，称为周期样条函数。，称为周期样条函数。( )f x0nxx( )S x000(0)(0),(0)(0),(0)(0).nnnS xS xS xS xSxSx0nyy( )S x6 三转角方程三转

6、角方程: 现在构造满足条件现在构造满足条件 及加上相应边界条件的三次样条函数及加上相应边界条件的三次样条函数 的表的表达式。达式。 若假定若假定 在节点在节点 处的值为处的值为 ，则由分段三次埃尔米特插值，则由分段三次埃尔米特插值公式可得公式可得其中其中 是插值基函数。是插值基函数。 ()(0, 1,)jjS xyjn( )S x( )S xjx()jjS xm0( )( )( )njjjjjS xyxmx( )( )jjxx、(0, 1,)jn7显然，表达式中显然，表达式中 及及 在整个区间在整个区间上连续，且满足上连续，且满足 ；现需；现需确定确定 ，可利用，可利用及某一边界条件来确定。为

7、了求出及某一边界条件来确定。为了求出 ，我们考，我们考虑虑 在在 上的表达式上的表达式( )S x , a b()(0, 1,)jjS xyjn(0, 1,)jmjn(0)(0)(1,1)jjSxSxjnjm( )S x1,jjxx22111332211122() 2()() 2()( )() ()() ()jjjjjjjjjjjjjjjjjjxxhxxxxhxxS xyyhhxxxxxxxxmmhh2222111111111111( )1212()()kkkkkkhkkkkkkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxIxffxxfxxfxxxxxxxxxxxx ( )S x8这里这里

8、 。对。对 求二次导数得求二次导数得于是于是 同理，可得同理，可得 在区间在区间 上的表达式上的表达式1jjjhxx( )S x11122113624642( )6(2 )()jjjjjjjjjjjjjxxxxxxSxmmhhxxxyyh112426(0)()jjjjjjjjSxmmyyhhh ( )Sx1,jjxx11122111121624642( )6(2 )()jjjjjjjjjjjjjxxxxxxSxmmhhxxxyyh9及及 由条件由条件 ，可得可得 用用 除全式，并注意除全式，并注意 ，上面方程可简化为，上面方程可简化为112111246(0)()jjjjjjjjSxmmyyhh

9、h(0)(0)(1, 2,1)jjSxSxjn111111221111123(1, 2,1),jjjjjjjjjjjjjmmmhhhhyyyyjnhh111jjhh,jjyf11,jjjjjyyf xxh10其中其中 此方程是关于未知数此方程是关于未知数 的的n-1个方个方程，若加上边界条件：程，若加上边界条件： ，则方程，则方程变为只含变为只含 的的n-1个方程，写成矩阵个方程，写成矩阵形式便是形式便是112(1, 2,1);jjjjjjmmmgjn111,(1,1)jjjjjjjjhhjnhhhh113(,)(1,1)jjjjjjjgf xxf x xjn01,nmmm00,nnmfmf1

10、1,nmm111111022223332222111120000200002000000200002nnnnnnnnnmgfmgmgmgmgf112(1, 2,1);jjjjjjmmmgjn00,nnmfmf12 如果边界条件为如果边界条件为 ，则，则得两个方程得两个方程 若边界条件为若边界条件为 ，即满足自，即满足自然边界条件然边界条件,则得两端的方程为则得两端的方程为00(),()nnSxfSxf001010011123 ,;223 ,.2nnnnnnnhmmf x xfghmmf xxfg112112111426(0)(),246(0)()jjjjjjjjjjjjjjjjSxmmyyhh

11、hSxmmyyhhh 0()()0nSxSx13于是，用矩阵形式表为于是，用矩阵形式表为010101123 ,;23 ,.nnnnnmmf xxgmmf xxg00111122211112100002000020000002000012nnnnnnmgmgmgmgmg 14如果边界条件为周期性条件，则得到如果边界条件为周期性条件，则得到化简为化简为其中其中 用矩阵形式表示为用矩阵形式表示为0110101011011111233,nnnnnnnnmmmmmhhhhf x xf xxhh112nnnnnmmmg100101011,3(,)nnnnnnnnnnhhhhhhgf x xf xx1111

12、22111426246(0)(),(0)()jjjjjjjjjjjjjjjjSxmmyySxmmyyhhhhhh 15 上面得到的方程，每个方程都联系三个上面得到的方程，每个方程都联系三个 在力学上解释为细梁在在力学上解释为细梁在 截面处的截面处的转角，故称为三转角方程。这些方程系数矩转角，故称为三转角方程。这些方程系数矩阵对角元素均为阵对角元素均为2，非对角元素，非对角元素 ，故，故系数矩阵具有强对角优势，方程组都有唯一系数矩阵具有强对角优势，方程组都有唯一解，可用追赶法求得解解，可用追赶法求得解 ，从，从而得到而得到 。 1111222211112000200000020002nnnnnn

13、nnmgmgmgmg,jjmmjx1jj(0, 1,)jmjn( )S x16 三弯矩方程三弯矩方程: 三次样条插值函数三次样条插值函数 可以有多种表达方法，可以有多种表达方法，有时用二阶导数值有时用二阶导数值表示使用更方便。表示使用更方便。 在力学上解释为细梁在在力学上解释为细梁在 截面处的弯矩，并且得到的弯矩与相邻两个截面处的弯矩，并且得到的弯矩与相邻两个弯矩有关，故称三弯矩方程。弯矩有关，故称三弯矩方程。 由于由于 在区间在区间 上是三次多项式，故上是三次多项式，故 在在 上是线性函数，可表示为上是线性函数，可表示为对对 积分两次并利用积分两次并利用 及及可定出积分常数，于是得可定出积分

14、常数，于是得 ( )S x()(0, 1,)jjSxMjnjMjx( )S x1,jjxx( )Sx1,jjxx11( )jjjjjjxxxxSxMMhh( )Sx()jjS xy11(),jjS xy17对对 求导得求导得 由此可求得由此可求得331122111()()( )6666(0, 1,1)jjjjjjjjjjjjjjjjxxxxS xMMhhM hxxMhxxyyhhjn( )S x221111()()( )22 6jjjjjjjjjjjjxxxxS xMMhhyyMMhh 11(0).36jjjjjjjjhhyyS xMMh 18类似可求出类似可求出 在区间在区间 上的表达式，上

15、的表达式，利用利用 可得可得其中其中 由前面所示，而由前面所示，而 ( )S x1,jjxx11111(0),63jjjjjjjjhhyyS xMMh(0)(0)jjS xS x112(1, 2,1),jjjjjjMMMdjn,jj11111,66 ,jjjjjjjjjjf xxf xxdf xxxhh111,(1,1)jjjjjjjjhhjnhhhh19 只要加上的任一种边界条件就可得到三弯只要加上的任一种边界条件就可得到三弯矩矩 的方程组，例如边的方程组，例如边界条件界条件1 1，则得到端，则得到端点方程为点方程为 若边界条件为若边界条件为2，则端点方程为，则端点方程为 同样通过追赶法，可

16、求出三弯矩方程的同样通过追赶法，可求出三弯矩方程的解解 ，代入则得到三次插值样，代入则得到三次插值样条函数条函数 。 jM01010011162( ,),62(,).nnnnnnMMf x xfhMMff xxh00,nnMfMf(0, 1,)jMjn( )S x200120123012302316y(0)=1,y(3)=01jjjxyhhh已知函数表求边界条件的三次样条插值公式。解：用三弯矩方程求解。由已知，。21012301611/ 21/ 2321/ 21/ 2363178210061/ 221/ 20301/ 221/ 236001278jjjjcMMMM方程组的系数及右端项为代入得方程组22013433023213222838106170,333338(0)28(1)( )36363828(2)(0)(0)(1)3 63 6( 11143)0,131( )(249110835)1,231( )(