计算水力学02

1、第二章第二章 离散方法离散方法 预测自然界和水利工程中水流和输运现象的预测自然界和水利工程中水流和输运现象的问题，可归结为求解形式不同的微分方程组。问题，可归结为求解形式不同的微分方程组。按照现象本身的复杂程度和工程实践所要求按照现象本身的复杂程度和工程实践所要求的精细程度不同，待解的微分方程组可能具的精细程度不同，待解的微分方程组可能具有各种不同的形式和不同的组合，但一般说有各种不同的形式和不同的组合，但一般说来，水流输运问题中遇到的微分方程，总可来，水流输运问题中遇到的微分方程，总可以化作统一的形式，通用微分方程本章将以化作统一的形式，通用微分方程本章将研究求解通用微分方程的数值计算方法。

2、研究求解通用微分方程的数值计算方法。李光炽李光炽计算水力学计算水力学电子计算机问世以来，数值计算技术发展异电子计算机问世以来，数值计算技术发展异常迅猛，计算方法千姿百态、纷纭复杂。本常迅猛，计算方法千姿百态、纷纭复杂。本章试以加权余量法章试以加权余量法(Method of Weighted Residuals)为总纲，分析一些主要的计算方为总纲，分析一些主要的计算方法的出发点和基本原理，了解目前比较流行法的出发点和基本原理，了解目前比较流行的计算方法的计算方法(如有限差分法，有限单元法，边如有限差分法，有限单元法，边界元法等界元法等)在计算方法系统中所处的位置及其在计算方法系统中所处的位置及其

3、相互联系，理解各类计算方法的实质。本章相互联系，理解各类计算方法的实质。本章的后面部分，着重介绍本课程中采用的计算的后面部分，着重介绍本课程中采用的计算方法有限体积法的基本原理和实现原则。方法有限体积法的基本原理和实现原则。李光炽李光炽计算水力学计算水力学21 加权余量法 一、加权余量法的基本思想设有区域 中的微分方程李光炽李光炽计算水力学计算水力学 0uL其初始条件为 ，边界条件为S(u)=0。 0uI引入近似解 auRuLaIaRuIbaRuS边界法、区域法和混合法李光炽李光炽计算水力学计算水力学近似解 可按各种不同的方式构造： 满足微分方程，使R=0，但不满足边界条件。这类方法称为边界法

4、。 满足边界条件，使 ，但不满足微分方程。这类方法称为内部法(Interior Method)或区域法(Domain Method)。 既不满足微分方程，也不满足边界条件。这类方法称为混合法。auauau0Rbau在区域法中， 可将近似解写为 李光炽李光炽计算水力学计算水力学au N1jjj0axtat , xut , xu式中 是已知的解析函数，通常称为试函数；上式相应地称为试解。 为待求的系数。 (x,t)应适当选定，以满足初始条件和边界条件。 jja0u试函数 应为完整函数组中的线性独立函数 ； 还应具有必要的连续阶数，才可保证余量R不为零。将试函数代入微分方程，必然产生非零余量R李光炽

5、李光炽计算水力学计算水力学jj0RuLa如果 恰为精确解，R为零，对于近似解，R不为零。au李光炽李光炽计算水力学计算水力学加权余量法的基本思想，就是令余量R的加权积分为零，使余量R在平均的意义上为零，从而得到待求的未知系数 的代数方程式。其数学表达式为ja 0dxxRwi i=1，2，3，N 式中 称为权函数或检验函数。 iw如果权函数 也是完整函数组中的线性独立函数，数学上可以证明，当项数N趋于无穷大时，满足上式的试解收敛于精确解。iw李光炽李光炽计算水力学计算水力学线性独立的权函数组 (i=1，2，3，N)可构成N维空间。将余量R看作权函数空间中的矢量。该矢量为零矢量的充分必要条件是，矢

6、量在各个空间坐标上的投影为零，即该矢量与各个空间坐标矢量的内积为零 iw 0 xw,Ri权函数绝不是唯一的。余量R是否为零，可以放到任意的多维空间中加以检验，只要权函数是线性独立的，且取自完整的函数组。选取不同的权函数组，便形成不同的方法。 二、子区域法二、子区域法(Subdomain Method)(Subdomain Method)李光炽李光炽计算水力学计算水力学设计算区域划分为N个可重迭但不重合的子区域 ，将权函数取为i 01xwi之外在之中在ii则对于N个不同的子区域，可得到N个方程 0Rd由此可解出R中所含的N个未知数 ja例例1 求解方程求解方程边界条件为边界条件为 设设易知其满足

7、边界条件易知其满足边界条件 . 作为第一次近似，取整个计算区域作为第一次近似，取整个计算区域oxl作作为唯一的子区域为唯一的子区域 可解出可解出 作为第二次近似，取两个子区域：作为第二次近似，取两个子区域：ox0.5和和0 x1，可得，可得 解得解得二阶近似解为二阶近似解为原方程的精确解为原方程的精确解为 子区域法计算结果子区域法计算结果 三、配置法三、配置法(Collocation Method)(Collocation Method)李光炽李光炽计算水力学计算水力学若 将 权 函 数 取 为 狄 拉 克 ( D i r a c ) 函数 ，i=1，2，3，N，则 i=1，2，3，N 这就是

8、说，余量R不是在平均意义上为零，而是在选定的N个空间点上为零。这些点通常不必在计算区域中规则地分布。ixx 0 xRdxxxRii李光炽李光炽计算水力学计算水力学泊松方程的二维求解区域泊松方程的二维求解区域 例例2 在图示的区域中求解泊松方程在图示的区域中求解泊松方程 李光炽李光炽计算水力学计算水力学泊松方程泊松方程 边界条件为边界条件为取取u的近似表达式为的近似表达式为 李光炽李光炽计算水力学计算水力学为简单起见，设为简单起见，设a=b。先考虑式中的一项，得。先考虑式中的一项，得在点在点(0，0)令令 1R为零，可得为零，可得李光炽李光炽计算水力学计算水力学若取两项近似，则有若取两项近似，则

9、有 2a,2a 2R在在(o，o)和和()两点令两点令为零，得为零，得 李光炽李光炽计算水力学计算水力学 解得解得 1u 2uexactu在点在点(0，0)，近似解，近似解、和精确解和精确解配置法的效果与有限差分法一致配置法的效果与有限差分法一致，都是，都是使求解的微分方程在计算区域的若干点使求解的微分方程在计算区域的若干点上得到满足，而不计及因变量在这些点上得到满足，而不计及因变量在这些点之间的变化从这个意义说，之间的变化从这个意义说，有限差分有限差分法可解释为没有试函数的配置法法可解释为没有试函数的配置法。李光炽李光炽计算水力学计算水力学四、伽辽金法四、伽辽金法(Galerkin Meth

10、od) 李光炽李光炽计算水力学计算水力学伽辽金法是一种特殊的加权余量法，其权函数恰取为试函数，即： xxwii i=1，2，3，N 在伽辽金法中，基本式成为 i=1，2，3，N 0dxxRi李光炽李光炽计算水力学计算水力学例例3 等宽渠道中的水流，等宽渠道中的水流，y方向的分速度方向的分速度u近近似为零，则由连续方程似为零，则由连续方程0yxu可知，可知，x方向的流速方向的流速u仅为仅为y的函数：的函数：u=u(y)。由此得到层流时由此得到层流时x方向的动量方程为方向的动量方程为 0yuxp22式中式中p为压力。为压力。 李光炽李光炽计算水力学计算水力学将动量方程对将动量方程对y积分两次，并带

11、入边界条件积分两次，并带入边界条件(y=0时，时，u=0，y=h时，时，u=0)，得，得hyhyxph21u222等宽渠道中的水流 上式即为两平板间的普阿塞上式即为两平板间的普阿塞(Poiseuille)流的解。流的解。 李光炽李光炽计算水力学计算水力学采用伽辽金法求解此问题。设解的形式为采用伽辽金法求解此问题。设解的形式为 hysinuuc注意到上式满足边界条件。将其代入动量注意到上式满足边界条件。将其代入动量方程得方程得xphsinhuR22cy0dyhysinxphysinhuh022c李光炽李光炽计算水力学计算水力学即02huh2hxpc2解得故xp4hu32chysinxp4hu32

12、李光炽李光炽计算水力学计算水力学塞流的计算结果塞流的计算结果 李光炽李光炽计算水力学计算水力学图图 三种加权余量法中的试函数和权函数三种加权余量法中的试函数和权函数 五、矩法五、矩法(Method of Moments) 李光炽李光炽计算水力学计算水力学若 将 权 函 数 取 为 级 数 1 ，x， , ，的各项，则基本式成为 2x3x 0dxRxi加权余量R的越来越高阶的“矩”被令为零，矩法由此得名。 i=0，1，2，3N 李光炽李光炽计算水力学计算水力学022xudxudxaaxxu211例例 4 用矩法求解常微分方程用矩法求解常微分方程 边界条件为边界条件为u(0)=u(1)=0设近似解

13、为设近似解为 如果只取前两项如果只取前两项李光炽李光炽计算水力学计算水力学则余量为则余量为 李光炽李光炽计算水力学计算水力学李光炽李光炽计算水力学计算水力学李光炽李光炽计算水力学计算水力学 六、最小二乘法六、最小二乘法(Least-squares Method) 李光炽李光炽计算水力学计算水力学将权函数取为余量R对未知系数ai的偏导数,就是最小二乘法 iiaRw其效果等价于令余量R的内积取得极小值：正是从这个意义考虑，此法被称为最小二乘法。 ),(minRR22 各类计算方法的联系和比较各类计算方法的联系和比较 李光炽李光炽计算水力学计算水力学 一、谱方法和离散方法一、谱方法和离散方法 在用加

14、权余量法求出未知系数ai并代入近似解式求出计算区域中任意一点的因变量的数值。如此安排试函数和未知函数，给出的是总体近似(Global Approximation)。如果试函数恰取为所求解方程的本征函数，则这种总体近似的方法与数学物理方法中介绍的分离变量法相一致。采用总体近似的各类方法，又称为谱方法(Spectral Method)。李光炽李光炽计算水力学计算水力学所关心的问题往往不是因变量在整个计算区域中的分布，而是因变量在空间若干特定位的数值。将因变量在给定点的数值直接作为未知系数ai，并求解这些数值，作为满足实际需要的解答，正是一切离散方法的出发点。为了用因变量在特定点的数值ai来描述因变

15、量在整个计算区域的分布，我们可将计算区域划分为许多子区域即单元，假设因变量在单元内的分布规律，据此将因变量在单元内的分布描述为单元节点上因变量数值的函数。这样，总体近似被单元内的近似所代替，总体近似函数被单元内的插值函数(又称形函数)所代替，原先不具有明确意义的未知系数ai被单元节点上因变量的未知数值所代替。这种近似称为局部近似(Local Approximation)，这种方法称为离散方法离散方法。李光炽李光炽计算水力学计算水力学李光炽李光炽计算水力学计算水力学有限体积法不同的积分域最小二乘法矩法伽辽金法有限差分法配置法有限体积法子区域之外在之中在向量空间权函数积分为零混合法皆不满足区域法满

16、足边界条件边界元法边界法满足条件各类有限单元法离散方法局部近似分离变量法谱方法总体近似试函数加权余量法格林函数不同的权函数本征函数iiiiiiiiiiiiiaRwxwwxxwww01二、各类加权余量法的比较二、各类加权余量法的比较李光炽李光炽计算水力学计算水力学伽辽金法精度高，应用范围广，最小二乘法用于求解椭圆问题，精度与伽辽金法相当，但不适用于时间抛物问题和本征值问题，子区域法的精度接近伽辽金法，易于应用，且与守恒定律相映照，物理意义明确，配置法精度较差，但易于推演算式，如果采用正交配置法亦能获得较高的精度。 李光炽李光炽计算水力学计算水力学 表表 各类加全权余量的比较各类加全权余量的比较

17、方法方法项目项目伽辽金法伽辽金法子区域法子区域法最小二乘法最小二乘法配置法配置法精精 度度简易程序简易程序附附 注注很很 高高中中 等等高高好好等价于有限体积法等价于有限体积法，适用于守恒定律，适用于守恒定律很很 高高差差不适用与本征值问不适用与本征值问题和非恒定问题题和非恒定问题中中 等等很很 好好正交配置法正交配置法可提高精度可提高精度李光炽李光炽计算水力学计算水力学在选择计算方法时，除去考虑采用何种加权在选择计算方法时，除去考虑采用何种加权余量法以外，还应适当选择试函数的形式，余量法以外，还应适当选择试函数的形式，才能提高精度。可以毫不夸张地说，选择合才能提高精度。可以毫不夸张地说，选择

18、合宜的试函数，是一门艺术。建议注意以下三宜的试函数，是一门艺术。建议注意以下三点：点：（1）试函数应满足边界条件和初始条件，）试函数应满足边界条件和初始条件，应为完整函数组的最低阶的函数；（应为完整函数组的最低阶的函数；（2）尽可）尽可能利用待解问题的对称性质；（能利用待解问题的对称性质；（3）与待解问）与待解问题相近的问题的精确解，可作为理想的试函题相近的问题的精确解，可作为理想的试函致。致。 三、有限差分法、有限单元法和谱方法的比较三、有限差分法、有限单元法和谱方法的比较 李光炽李光炽计算水力学计算水力学有限单元法和谱方法可看作是加权余量法的有限单元法和谱方法可看作是加权余量法的两个分支。

19、有限单元法采用局部近似的低阶两个分支。有限单元法采用局部近似的低阶多项式作为试函数构成关于因变量的节点值多项式作为试函数构成关于因变量的节点值的代数方程，谱方法则采用总体近似的正交的代数方程，谱方法则采用总体近似的正交试函数以获得较高的精度。差分法用有限差试函数以获得较高的精度。差分法用有限差分替代微分方程中的导数并要求所得的代数分替代微分方程中的导数并要求所得的代数方程在网格节点上得到满足，有限差分法可方程在网格节点上得到满足，有限差分法可视作没有试函数的配置法。视作没有试函数的配置法。 李光炽李光炽计算水力学计算水力学方法方法项目项目有限差分有限差分有限单元有限单元谱方法谱方法试函数试函数

20、程序难易程度程序难易程度程序的灵活性程序的灵活性精确性精确性计算效率计算效率适宜的方程适宜的方程主要优点主要优点主要缺点主要缺点局部近似局部近似很好很好好好差差好好各类型各类型经济，程序简单经济，程序简单较难扩展到高阶较难扩展到高阶情况情况局部近似局部近似好好很好很好好好好好椭圆型椭圆型灵活性好灵活性好不经济不经济总体近似总体近似差差差差很好很好很好很好椭圆型椭圆型精度高精度高不灵活不灵活2-3 有限体积法有限体积法 李光炽李光炽计算水力学计算水力学有限体积法又称为控制体积法。基本思路是：将计有限体积法又称为控制体积法。基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个算区域划分为一

21、系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积，将待解的微分方程对网格点周围有一个控制体积，将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程，其中每一个控制体积积分，便得出一组离散方程，其中的未知数是网格点上的因变量的未知数是网格点上的因变量 的数值。为了求出的数值。为了求出控制体积的积分，必须假定控制体积的积分，必须假定 值在网格点之间的变值在网格点之间的变化规律，即设定化规律，即设定 值的分段的分布剖面。从积分区值的分段的分布剖面。从积分区域的选取方法看来，有限体积法属于加权余量法中域的选取方法看来，有限体积法属于加权余量法中的子区域法，从未知解的近似方法看来，有限体积的子

22、区域法，从未知解的近似方法看来，有限体积法属于采用局部近似的离散方法。法属于采用局部近似的离散方法。李光炽李光炽计算水力学计算水力学子区域法加离散，就是有限体积法的基本方法。子区域法加离散，就是有限体积法的基本方法。有限体积法能得出直接的物理解释，离散方程的物有限体积法能得出直接的物理解释，离散方程的物理意义，就是因变量中在有限大小的控制体积中的理意义，就是因变量中在有限大小的控制体积中的守恒定理，如同微分方程表示因变量在无限小的控守恒定理，如同微分方程表示因变量在无限小的控制体积中的守恒原理一样。制体积中的守恒原理一样。有限体积法得出的离散方程要求，因变量的有限体积法得出的离散方程要求，因变

23、量的积分守积分守恒对任意一组控制体积都得到满足恒对任意一组控制体积都得到满足，对整个计算区，对整个计算区域，自然也得到满足。这是有限体积法的吸引人的域，自然也得到满足。这是有限体积法的吸引人的优点。有一些离散方法，例如有限差分法，仅当网优点。有一些离散方法，例如有限差分法，仅当网格极其细密时，离散方程才满足积分守恒，而有限格极其细密时，离散方程才满足积分守恒，而有限体积法即使在粗网格情况下，也显示出准确的积分体积法即使在粗网格情况下，也显示出准确的积分守恒守恒李光炽李光炽计算水力学计算水力学恒定一维热传导问题的控制方程为 0SdxdTKdxd式中K为热传导系数，T为温度，S为单位体积内热量的产

24、生率。 李光炽李光炽计算水力学计算水力学0ewweSdxdxdTKdxdTK李光炽李光炽计算水力学计算水力学阶梯形剖面分段形性剖面李光炽李光炽计算水力学计算水力学采用分段线性剖面计算导数，得采用分段线性剖面计算导数，得 0 xSxTTKxTTKwWPwePEe式中 为S对于控制体积的平均值 SeeExKawwWxKaWEPaaaxSb李光炽李光炽计算水力学计算水力学bTaTaTaWWEEPP标准形式 可见，中心节点的温度TP出现在方程的左方，相邻点的温度和源项产生的常数b形成方程右端各项。在二维和三维的情况下，相邻节点的数目增加，但离散方程仍保持这样的形式，还可缩写为bTaTanbnbPP式中

25、脚标nb表示相邻节点，求和记号表示对所有相邻点求和。 李光炽李光炽计算水力学计算水力学在推导公式的过程中，采用了线性插值公式计算dTdx，这并不意味着线性插值公式是唯一可行的选择，事实上，许多其它形式的插值函数都是可行的。而且，不必对方程中的各量均采用相同的插值公式，也不必对方程中的各项均采用相同的插值公式。 采用不同的插值公式，自然会得出不同的离散公式。必须认真选择插值公式，使得离散方程的解即使在粗网格情况下也能保证物理的合理性和总体的平衡。 物理的合理性是指数值解答应与精确解具有同样的定性变化趋势。 李光炽李光炽计算水力学计算水力学总体平衡的要求，是指整个计算区域的积分守恒。不仅在网格极其

26、细密的情况，而且对于任何数目的网格点，热通量、质量通量和动量通量与相应的源或汇项一起，必须满足总体平衡要求。 物理上合理的和不合理的解答 李光炽李光炽计算水力学计算水力学图图2-7 物理上合理的和不合理的解答物理上合理的和不合理的解答李光炽李光炽计算水力学计算水力学源项通常是因变量T的函数，在构造离散方程时需要知道源项和因变量的函数关系为了能够使离散方程是易于求解的线性代数方程，我们希望将源项写为因变量的线性函数。 PPCTSSS式中Sc表示 的常数部分，SP是TP的系数(注意，SP并不是S在P点的数值)。这种表示源项的方法，实质上假定P点的温度TP控制着整个控制体积。 S李光炽李光炽计算水力

27、学计算水力学将源项线性化以后，离散方程系数aP和b的定义发生了变化，所得方程为： bTaTaTaWWEEPP eeExKa wwWxKaxSaaaPWEPxSbC2-4 有限体积法的四条基本原则有限体积法的四条基本原则 原则原则1 1控制体积交界面的一致性控制体积交界面的一致性当一个表面为相邻的两个控制体积所共有时，当一个表面为相邻的两个控制体积所共有时，在这两个控制体积的离散方程中，通过该表在这两个控制体积的离散方程中，通过该表面的通量的表达式必须相同。面的通量的表达式必须相同。李光炽李光炽计算水力学计算水力学最好将通量看作是交界面本身处的属性，取最好将通量看作是交界面本身处的属性，取用交界面处的导热系数。用交