线面角及二面角的求法

1、第9节线面角及二面角的求法【基础知识】求线面角、二面角的常用方法:(1) 线面角的求法，找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解.(2) 二面角的大小求法，二面角的大小用它的平面角来度量.【规律技巧】平面角的作法常见的有定义法；垂面法注意利用等腰、等边三角形的性质.【典例讲解】【例1】如图，在四棱锥P-ABCD中，P从底面ABCD,AB丄AD,AC丄CD,/ABC=60°,(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；证明：AE丄平面PCD(3) 求二面角A-PD-C的正弦值.(1)解在四棱锥P-ABCD中，因PA丄底面ABCD,AB?平面ABCD,故

2、PA丄AB又AB丄AD,PAAAD=A,从而AB丄平面PAD,故PB在平面PAD内的射影为PA从而/APB为PB和平面PAD所成的角.在RtAPAB中，AB=PA,故/APB=45°.所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°证明在四棱锥P-ABCD中，因PA丄底面ABCD,CD?平面ABCD,故CD丄PA.由条件CD丄AC,PAAAC=A,CD丄平面PAC又AE?平面PACAE丄CD.由PA=AB=BC,ZABC=60°，可得AC=PA/E是PC的中点，AE丄PC又PCACD=C,综上得AE丄平面PCD【变式探究】如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是

3、正方形，侧棱PD丄底面ABCD,卩。=是PC的中点，作EF丄PB交PB于点F.证明PA/平面EDB;证明PB丄平面EFD;(3)求二面角C-PB-D的大小.证明如图所示，连接AC,AC交BD于0,连接EO.底面ABCD是正方形，点0是AC的中点.在APAC中，E0是中位线， PA/E0.而E0?平面EDB且PA?平面EDB, PA/平面EDB【针对训练】1.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA丄底面ABCD,AC=2：2,PA=2,E是PC上的一点，PE=2EC(1)证明：PC丄平面BED;设二面角APB-C为90°,求PD与平面PBC所成角的大小.解在平面PAB内过

4、点A作AG丄PB,G为垂足.因为二面角APB-C为90°,所以平面PAB丄平面PBC又平面PABA平面PBC=PB,故AG丄平面PBC,AG丄BC因为BC与平面PAB内两条相交直线PAAG都垂直，故BC丄平面PAB,于是BC丄AB,所以底面ABCD为正方形，AD=2,PD=PA2+AD2=22.设D到平面PBC的距离为d.因为AD/BC,且AD?平面PBCBC?平面PBC故AD/平面PBC,A,D两点到平面PBC的距离相等，即d=AG=?2.d1设PD与平面PBC所成的角为a,则Sina=而=所以PD与平面PBC所成的角为30°.【练习巩固】1、如图所示，在多面体A1B1D

5、1DCBA,四边形AABB,ADD.A,ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A,D,E的平面交CD1于F.(I)证明：EF/BC；(n)求二面角EADB1余弦值.瞩1临圈【答案】6(I)EF/BQ；(n)竺33. (2014湖北卷)如图1-4,在棱长为2的正方体ABCDAiBiCiDi中，E,F,M,N分别是棱AB,AD,AiBi,AiDi的中点，点P,Q分别在棱DDi,BBi上移动，且DP=BQ=久0<?<2).(1) 当Ui时，证明：直线BCi/平面EFPQ(2) 是否存在入使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角若存在，求出入的值；若不存在，说明理由.图i-44. (20i4新课标全国卷H)如图i-3，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA!平面ABCD,E为PD的中点.(i)证明：PB/平面AEC;图i-3E设B(m,0,0)(m>0)，则C(m,3,0),AC=(m,30).设ni=(x,y,z)为平面ACE的法向量，niAC=0,则-niAe=0,mx+.3y=0,即31fy+?z=0,可取n匸石，1,，3.又n2=(1,0,0)为平面DAE的法向量,1由