经典数学选修1-1常考题2077

1、经典数学选修1-1常考题单选题（共5道）1、设a,b均为大于1的正数，且ab+a-b-10=0，若a+b的最小值为m则满足3x2+2y2Wm的整点（x,y）的个数为（）A5B7C9D112、（2013?鹰潭校级模拟）已知等边厶ABC中，DE分别是CACB的中点,以A、B为焦点且过DE的椭圆和双曲线的离心率分别为e1、e2,则下列关于e1、e2的关系式不正确的是（）Ae2+e1=2Be2-e1=2Ce2e1=2e2P>23、函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是()A(-,2)B(0,3)C(1,4)D(2,+R)4、已知函数/（n=l.x3-U2-2'+1，贝U函数f（x）

2、的图象上各点的瞬时变化J*率的最小值是（）5、给出以下四个命题： 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行； 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面； 如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行； 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直；其中真命题的个数是A4B3C2D1简答题（共5道）6（本小题满分12分）求与双曲线有公共渐近线，且过点一厂=的双曲线的标准方程。7、设函数-I:!'：,其中aM0.(I)若函数y=g(x)图象恒过定点P,且点P关于直线"I的对称点在y

3、=f(x)的图象上，求m的值；(U)当a=8时，设F(x)=f'(x)+g(x+1)，讨论F(x)的单调性；(川)在(I)的条件下，设x<2、，曲线y=G(x)上是否存在两点P、Q使厶OPQ(O为原点)是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在y轴上？如果存在，求a的取值范围；如果不存在，说明理由.8、已知函数f(x)=x3+ax2-2x+5.(1) 若函数f(x)在，1)上单调递减，在(1，+x)上单调递增，求实数a的值；(2) 是否存在正整数a,使得f(x)在(£，孑)上既不是单调递增函数也不是单调递减函数？若存在，试求出a的值，若不存在，请说明理由.9、（本小题

4、满分12分）求与双曲线有公共渐近线，且过点".一-的双曲线的标准方程。410、（本小题满分12分）求与双曲线有公共渐近线，且过点丄二的双曲线的标准方程。填空题（共5道）11、设-.-一为双曲线?$一的左右焦点，点P在双曲线的左支上，且謬的最小值为二，贝U双曲线的离心率的取值范围是.12、已知丄（音-an+b）=0，则点M（a，b）在第限.13、函数f（x）=x2+x-2Inx+a在区间（0,2）上恰有一个零点，则实数a取值范围是.14、设为双曲线-的左右焦点，点P在双曲线的左支上，且-yyI的最小值为二，贝U双曲线的离心率的取值范围是.15、设-.为双曲线的左右焦点，点P在双曲线的左

5、支上，且-d*J"|的最小值为二，贝U双曲线的离心率的取值范围是.2- 答案：tcrn解：设正三角形的边长为m则椭圆中焦距2c=AB=m2a=DA+DB=¥椭圆的离心率e1=|I1平1;双曲线中2C=AB=m2a=DBDA，二双fHl曲线的离心率e2弓二斤-匚半+1,e2-e1=2，e2e仁2,工2.故选A.厂I3- 答案：D4- 答案：tc解：函数f(x)的图象上各点的瞬时变化率即为f'(x),而f'(x)=x2-x-2=-.函数f(x)的图象上各点的瞬时变化率的最小值是-.故选B.5- 答案：B1- 答案：设所求双曲线的方程为-，将点-代入得二-,所求双

6、曲线的标准方程为一一略2- 答案：解：(I)令In(x-1)=0,得x=2,.点P关于直线"孑的对称点(1,0),f(1)=0,*m+4+m=,0m=-3.(II)F(x)=f'(x)+g(x+1)=mx2+2(4+mx+8Inx=2mx+(8+2mxh,(x>0).F'(x)2mx2+(HB(旨11X,x>0,x+1>0,当m>0时，8+2m>0,F'(x)>0,此时，F(乂)在(0,+上是增函数，当mK044时，由F'(x)>0得0kxk-一，由F'(x)K0得x>-,44(0,-)上是增函数

7、，在(-一，+x)上是减函数，综上所述,此时，F(x)在m>0时，8+2mx>0,F'(x)>0,此时，F(x)在(0,)上是增函数，当mK0时，由F'|4|44(x)>0得0KxK-石，由F'(x)K0得x>-石，此时，F(x)在(0,-看)上是增函数，在(-,+x)上是减函数，工+_兀*!工兰2uhtx工>2在两点P、Q,满足题意，则P、Q只能在y轴的同侧，设P(t,G(t)(Ill)由条件(I)知，假设曲线y=G(x)上存(t>0),则(-t,t3+t2),OPQO为原点)是以O为直角顶点的直角三角形,=0，即-t2+G(

8、t)(t3+t2)=0,=0,(1)当Okt<2时，G(t)=-t3+t2,此时方程为-t2+(-t3+t2)化简得t4-t2+1=0，无解满足条件的P、Q不存在；(t3+t2)=0,(2)当t>2时，G(t)=aln(t-1),此时方程为-t2+aln(t-1)(t3+t2)化简得t+1)In(t-1)，设h(x)=(t+1)In(t-1),则h'(x)=ln，当t>2时，h'(x)>0,h(x)在(2,+x)上是增函数,解:(I)令ln(x-1)=0,得x=2,.点P关于直线尸扌的对称点(1,0),(t-1)+(x)的值域为(h(2),+x),即(0

9、,+x).当a>0时，方程总有解.上所述，存在满足条件的P、Q,a的取值范围(0,=0,Tm+4+m=0m=_3.(II)F(x)=f'(x)+g(x+1)=mx2+2(4+m)x+8Inx,(x>0).二F'(x)=2mx+(8+2n)x=x+1>o,.当m>0时，8+2mx>0,F'(x)>0,此时，F(乂)在(0,+上是增函数，当mK0时，由F'(x)>0得0kxk-一，由F'(x)K0得x>-,此时，F(x)在44(0,-)上是增函数，在(-一，+x)上是减函数，综上所述,m>0时，8+2mx

10、mK0时，由F'>0,F'(x)>0,此时，F(乂)在(0,+x)上是增函数，当4(x)>0得Okxk-r44肩，由F'(x)K0得x>-，此时，F(x)在(0,需)上是增函数，在(-,+x)上是减函数,(III)由条件(I)知，Gg=，假设曲线y=G(x)上存在两点P、Q,满足题意，则P、Q只能在y轴的同侧，设P(t,G(t)(t>0),则(-t,t3+t2),OPQO为原点)是以O为直角顶点的直角三角形，"=0,即-t2+G(t)(t3+t2)=0,(1) 当0vt<2时，G(t)=-t3+t2,此时方程为-t2+(-t

11、3+t2)(t3+t2)=0,化简得t4-t2+1=0，无解满足条件的P、Q不存在；(2) 当t>2时，G(t)=aln(t-1),此时方程为-t2+aln(t-1)(t3+t2)=0,化简得'=(t+1)In(t-1)，设h(x)=(t+1)In(t-1)，则h'(x)=ln(t-1)+，当t>2时，h'(x)>0,h(x)在(2,+x)上是增函数，hfI(x)的值域为(h(2),+x),即(0,+x).当a>0时，方程总有解综上所述，存在满足条件的P、Q,a的取值范围(0,+x).3- 答案：解：(1)f'(x)=3x2+2ax-2v

12、f(x)=x3+ax2-2x+5在(一,1)上递减，在(1,+x)上递增，.f'(1)=0,.a二扌.(6分)(2)令f'(x)=3x2+2ax-2=0.v=4a2+24>0,.方程有两个实根，(8分)分别记为x1x2.由于x1?x2二寸，说明x1,x2一正一负，即在,1)内方程f'(x)=0不可能有两个解.(10分)故要使得f(x)在(g,丨)上既不是单调增函数也不是单调减函数的充要条件是f'(t)?f'6)v0,即(扌+討-2)(扌+a-2)<0.(13分)解得忙耳W(15分)：a是正整数，.a=2.(16分)解：(1)f'(x)

13、=3x2+2ax-2vf(x)=x3+ax2-2x+5在(亍，1)上递减，在(1,+x)上递增，.f'(1)=0,.a二扌.(6分)(2)令f'(x)=3x2+2ax-2=0.v=4a2+24>0,.方程有两个实根，22(8分)分别记为x1x2.由于x1?x2二龙,说明x1,x2一正一负，即在(£,1)内方程f'(x)=0不可能有两个解.(10分)故要使得f(x)在(£,丨)上既不是单调增函数也不是单调减函数的充要条件是f'G)?f'占)<0,即(*+寸a-2)(亍+a-2)<0.(13分)解得了V.-(15分)ta

14、是正整数，a=2.（16分）4- 答案：设所求双曲线的方程为-，将点-代入得丄二-2所求双曲线的标准方程为一一略5-答案：设所求双曲线的方程为所求双曲线的标准方程为略三41- 答案：一试题分析：双曲线-（a>0,b>0）的左右焦点分别为F1,F2,P为双曲线左支上的任意一点，二|PF2|-|PF1|=2a,|PF2|=2a+|PF1|,吟何+岛）'liIPF：.：二、（当且仅当一时取等号），所以|PF2|=2a+|PF1|=4a,v|PF2|-|PF1|=2av2c,|PF1|+|PF2|=6a>2c,所以e（1,3。点评：本题把双曲线的定义和基本不等式相结合，考查知

15、识点的灵活应用。解题时要认真审题，注意基本不等式的合理运用。2- 答案：由题意得，：（-an+b）=,J.:=0/-1-a=0,b-a=0：a=b=1故答案为：一3- 答案：函数f(x)=x2+x-2nx+a，二函数f(x)的定义域为(0,+),f'(x)=x-f+仁，,f(x)在(0,1)上递减，在(1,+x)上递增，要使f(x)在(0,2)上恰有一个零点，结合其图象和性质，需要f(1)=+1-0+a=0或f(2)=x4+2-2In2+av0,解得a詣，或a<2n2-4.故答案为：a|a=-.,或a<2ln2-4.4- 答案：试题分析：双曲线;4-(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,P为双曲线左支上的任意一点，二|PF2|-|PF1|=2a,|PF2|=2a+|PF1|,(当且仅当二二时取等号)，所以|PF2|=2a+|PF1|=4a,v|PF2|-|PF1|=2av2c,|PF1|+|PF2|=6a>2c,所以e(1,3。点评：本题把双曲线的定义和基本不等式相结合，考查知识点的灵活应用。解题时要