1.1.1正弦定理

1、一、创设情境一、创设情境1、问题的给出：、问题的给出：2、实际问题转化为数学问题：、实际问题转化为数学问题： 如图，要测量小河两岸如图，要测量小河两岸A，B两个码头的距离。可在小河两个码头的距离。可在小河一侧如在一侧如在B所在一侧，选择所在一侧，选择C，为了算出，为了算出AB的长，可先测出的长，可先测出BC的长的长a，再用经纬仪分别测出，再用经纬仪分别测出B，C的值，那么，根据的值，那么，根据a, B，C的值，能否算出的值，能否算出AB的长。的长。A.B.CaA.B.Ca已知三角形的两个角和一条边，求另一条边。已知三角形的两个角和一条边，求另一条边。ACBcba想一想想一想? ?中在一个直角三

2、角形ABCAsincaAacsinBsincbBbcsinCsincc1Cccsin问题问题 （2 2）上述结论是否可推广到任意三角形）上述结论是否可推广到任意三角形? ?若成立，如何证明？若成立，如何证明？CcBbAasinsinsin（1 1）你有何结论）你有何结论? ?二、定理的猜想二、定理的猜想 asinAbsinBcsinC2R.=2RbsinBBABCbO则设并延长交圆于连结为圆心作三角形的外接圆已知中在,2,RABBAOOcABbACaBCABC.sinsinsin对任意三角形都成立CcBbAa三、定理的证明三、定理的证明平面几何法平面几何法090 ,sinsin2ACBBBbB

3、BR （1 1）文字叙述文字叙述正弦定理：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角在一个三角形中，各边和它所对角 的正弦的比相等的正弦的比相等. .（2）结构特点结构特点（3 3）方程的观点）方程的观点正弦定理实际上是已知其中三个正弦定理实际上是已知其中三个, ,求另一个求另一个. .能否运用向量的方法来证明正弦定理呢能否运用向量的方法来证明正弦定理呢?和谐美、对称美和谐美、对称美. .正弦定理正弦定理:CcBbAasinsinsin 在锐角三角形中在锐角三角形中. 的的夹夹角角为为与与，的的夹夹角角为为与与，的的夹夹角角为为与与ABjCBjACjC 90A 9090由向量加法的三角形法则由向

4、量加法的三角形法则ABCBAC ABjCBjACjABjCBACjj 得得的的数数量量积积两两边边同同取取与与,)90cos()90cos(90cosAABjCCBjACj 定定义义）（根根据据向向量量的的数数量量积积的的CcAaAcCasinsinsinsin 即即在在锐锐角角三三角角形形中中，可可得得垂垂直直于于点点作作过过同同理理 ,sinsin,BbCcCBjCCcBbAasinsinsin 也也有有jBACabc，于于垂垂直直作作单单位位向向量量证证明明：过过点点ACjA在钝角三角形中在钝角三角形中ABCj的的夹夹角角为为与与的的夹夹角角为为与与则则垂垂直直的的单单位位向向量量作作与

5、与过过点点设设CBjABjjACAA,900 90 AC 90具体证明过程具体证明过程马上完成马上完成!如图：若测得如图：若测得a48.1m，B43 ， C69 ，求，求AB。解：解：A180 （43 69 ）68 a ABsinA sinC=A.B.Ca在在 ABC中，由正弦定理得：中，由正弦定理得：asinCsinAAB=48.1 sin69sin68 =48.4(m) 学以致用学以致用You try解：解： 105)(180CAB30sin105sin10CcBbsinsin CBcbsinsin192565.30,45,10. 1bBCAc，ABC和边求角已知中在例正弦定理应用一：正弦

6、定理应用一：已知两角和任意一边，求其余两边和一角已知两角和任意一边，求其余两边和一角例在例在ABC中，已知中，已知a2，b ，A45，求求B和和c。22变式变式1：在在ABC中，已知中，已知a4，b ，A45， 求求B和和c。22变式变式2：在在ABC中，已知中，已知a ，b ，A45， 求求B和和c。22334正弦定理应用二：正弦定理应用二： 已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角而可求其它的边和角。（要注意可能有两解）。（要注意可能有两解）290122222sinsinsinsin:0 cBaAbBBbAa解解23222426

7、4sinsin105)(150302142222sinsinsinsin:000 ACacCBaAbBBbAa舍去舍去或或解解338822426334sinsin157512060233342222sinsinsinsin:0000 ACacCBaAbBBbAa或或或或解解;,120,30,12)1 (.10aBAbABC求已知中在.,30,45,10)2(ABCSbCAc求已知., 2,60,30)3(00caCBA求已知点拨：点拨：已知两角和任意一边，求其余两边和一角已知两角和任意一边，求其余两边和一角, 此时的解是唯一的此时的解是唯一的.;,)(aBAb求已知12030121000120

8、30121sinsinsinsin,sinsin)(BAbaBbAa解：34.,30,45,102ABCSbCAc 求求）已已知知（,sinsinCcBb 解解：)(1325,105)3045(180)(180 CAB)26(530sin105sin10sinsin CBcbAbcSABCsin21 45sin10)26(521 ., 2,60,30)3(caCBA求求已知已知 ,sinsinCcAa又60,30 CBA:解150 CB45 C2230452sinsinsinsinACac;,60, 1, 3) 1 (. 2CAaBcbABC，和求已知中在。求已知ABba,45,22,32)2

9、(0(3)20,28,120 ,.abA已知解这个三角形点拨点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形已知两边和其中一边的对角解三角形时时,通常要用到通常要用到三角形内角定理和定理或大边三角形内角定理和定理或大边对大角定理对大角定理等三角形有关性质等三角形有关性质.;,60, 1, 3) 1 (. 2CAaBcbABC，和求已知中在9030,60, ACCBCBcb，为为锐锐角角，,sinsinCcBb 解解：21360sin1sinsin bBcC222 bca.,45,22,32)2(ABba求求已已知知 (3)20,28,120 ,.abA已知解这个三角形bBaAsinsin 解解：2322

10、45sin32 )(,大大边边对对大大角角CAba 12060 或或 AsinsinbABa解 ：20120sin28 11037 .本本题题无无解解3练习练习2、在、在 ABC中，若中，若 a=2bsinA，则，则B( ) A、 B、 C、 D、36653326或或或或练习练习1、在、在 ABC中，若中，若A：B：C=1：2：3，则，则 a:b:c( ) A、1:2:3 B、3:2:1 C、1: :2 D、2: :133自我提高！自我提高！A、等腰三角形、等腰三角形 B、直角三角形、直角三角形 C、等腰直角三角形、等腰直角三角形 D、不能确定、不能确定)(,sinsinsin,. 3222ABCCBAABC的形状是的形状是则则若若中中在在练习练习 CCB二种二种 平面几何法平面几何法 向量法向量法定理定理应用应用方法方法 课时小结课时小结二个二个 已知两角和一边已知两角和一边（只有一解）（只有