函数恒成立存在性问题

1、.word.函数恒成立存在性问题函数恒成立存在性问题知识点归纳梳理知识点归纳梳理1 1、恒成立问题的转化：恒成立问题的转化： af x恒成立恒成立 maxaf x； mina f xa f x 恒 成 立2 2、能成立问题的转化：能成立问题的转化： af x能成立能成立 minafx； maxaf xaf x 能成立3 3、恰成立问题的转化恰成立问题的转化： af x在在 M M 上恰成立上恰成立 af x的解集为的解集为 M M Raf xMaf xC M 在上恒成立在上恒成立另一转化方法：另一转化方法：假设假设AxfDx)(,在在 D D 上恰成立，等价于上恰成立，等价于)(xf在在 D

2、D 上的最小值上的最小值Axf)(min，假设，假设,DxBxf)(在在 D D 上恰成立，那么等价于上恰成立，那么等价于)(xf在在 D D 上的最大值上的最大值Bxf)(max. .4 4、设函数设函数 xf、 xg，对任意的，对任意的bax,1，存在，存在dcx,2，使得，使得 21xgxf，那么，那么 xgxfminmin5 5、设函数、设函数 xf、 xg，对任意的，对任意的bax,1，存在，存在dcx,2，使得，使得 21xgxf，那么，那么 xgxfmaxmax6 6、设函数设函数 xf、 xg，存在存在bax,1，存在存在dcx,2，使得使得 21xgxf，那么那么 xgxfm

3、inmax7 7、设函数设函数 xf、 xg，存在存在bax,1，存在存在dcx,2，使得使得 21xgxf，那么那么 xgxfmaxmin8 8、假设不等式、假设不等式 f xg x在区间在区间 D D 上恒成立，那么等价于在区间上恒成立，那么等价于在区间 D D 上函数上函数 yf x和图象在函和图象在函数数 yg x图象上方；图象上方；9 9、假设不等式、假设不等式 f xg x在区间在区间 D D 上恒成立，那么等价于在区间上恒成立，那么等价于在区间 D D 上函数上函数 yf x和图象在函和图象在函数数 yg x图象下方；图象下方；例例题题 讲讲解：解：题型一题型一、常见方法、常见方

4、法1 1、函数函数12)(2axxxf，xaxg)(，其中，其中0a，0 x1 1对任意对任意2 , 1 x，都有，都有)()(xgxf恒成立，恒成立，XXXX 数数a的取值的取值 X X 围；围；2 2对任意对任意4 , 2,2 , 1 21xx，都有，都有)()(21xgxf恒成立，恒成立，XXXX 数数a的取值的取值 X X 围；围；2 2、设函数、设函数bxxaxh )(，对任意，对任意2 ,21a，都有，都有10)(xh在在 1 ,41x恒成立，恒成立，XXXX 数数b的取值的取值 X X 围围3 3、两函数两函数2)(xxf，mxgx21)(，对任意对任意2 , 01x，存在存在2

5、 , 12x，使得，使得21)(xgxf，那么，那么实数实数 m m 的的取值取值 X X 围围为为题型二、题型二、主参换位法主参换位法( (某个参数的某个参数的 X X 围，整理成关于这个参数的函数围，整理成关于这个参数的函数) )1 1、对于满足、对于满足2p 的所有实数的所有实数 p, p,求使不等式求使不等式212xpxpx 恒成立的恒成立的 x x 的取值的取值 X X 围。围。.word.2 2、函数、函数( )ln()(xf xea a为常数）是实数集是实数集R上的奇函数，函数上的奇函数，函数 ( )sing xf xx是区间是区间1,1上的减函数，上的减函数，( () )求求a

6、的值；的值；( () )假设假设2( )11,1g xttx 在上恒成立，求上恒成立，求t的取值的取值 X X 围；围；题型三题型三、别离参数法欲求某个参数的、别离参数法欲求某个参数的 X X 围，就把这个参数别离出来围，就把这个参数别离出来1 1、当、当1,2x时，不等式时，不等式240 xmx恒成立，那么恒成立，那么m的取值的取值 X X 围是围是. .题型四题型四、数形结合恒成立问题与二次函数联系、数形结合恒成立问题与二次函数联系零点零点、根的、根的分布分布法法 1 1、假设对任意、假设对任意xR, ,不等式不等式|xax恒成立，那么实数恒成立，那么实数a的取值的取值 X X 围是围是_

7、2 2、函数、函数 222f xxkx，在，在1x 恒有恒有 f xk，XXXX 数数k的取值的取值 X X 围。围。题型五题型五、不等式能成立问题有解、存在性的处理方法：、不等式能成立问题有解、存在性的处理方法：方法：方法：假设在区间假设在区间 D D 上存在实数上存在实数x使不等式使不等式 f xA成立成立, ,那么等价于在区间那么等价于在区间 D D 上上 maxf xA；假设在区间假设在区间 D D 上存在实数上存在实数x使不等式使不等式 f xB成立成立, ,那么等价于在区间那么等价于在区间 D D 上的上的 minf xB. .1 1、存在实数、存在实数x，使得不等式，使得不等式2

8、313xxaa 有解，那么实数有解，那么实数a的取值的取值 X X 围为围为_。2 2、函数函数 21ln202f xxaxx a存在单调递减区间，求存在单调递减区间，求a的取值的取值 X X 围围恒成立与有解的区别恒成立与有解的区别：恒成立和有解是有明显区别的恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考以下充要条件应细心思考，甄别差异甄别差异，恰当使用恰当使用，等价转化等价转化，切不可混为一切不可混为一体体。不等式不等式 f xM对对xI时恒成立时恒成立max( )fxM ，xI。即。即 f x的上界小于或等于的上界小于或等于M；不等式不等式 f xM对对xI时有解时有解min( )f

9、xM ，xI。 或或 f x的下界小于的下界小于或或等于等于M；不等式不等式 f xM对对xI时恒成立时恒成立min( )fxM ，xI。即。即 f x的下界大于或等于的下界大于或等于M；不等式不等式 f xM对对xI时有解时有解max( )fxM，xI. .。 或或 f x的上界大于的上界大于或或等于等于M；课后作业：课后作业：1 1、设、设1a ，假设对于任意的，假设对于任意的 ,2 xaa，都有，都有2 ,ya a满足方程满足方程loglog3aaxy，这时，这时a的取值集合为的取值集合为A A2 |1aaB B |2a a C C3|2aaD D2,32 2、假设任意满足假设任意满足0

10、5030 xyxyy的实数的实数,x y，不等式不等式222()()a xyxy恒成立恒成立，那么实数那么实数a的最大值是的最大值是_ . .3 3、不等式、不等式2sin4sin10 xxa 有解，那么有解，那么a的取值的取值 X X 围是围是4 4、不等式、不等式4axxx在在0,3x内恒成立，内恒成立，XXXX 数数 a a 的取值的取值 X X 围。围。5 5、两函数两函数 2728f xxx c， 322440g xxxx。1 1对任意对任意3,3x ，都有，都有) )成成 f xg x立，立，XXXX 数数c的取值的取值 X X 围；围；2 2存在存在3,3x ，使成立，使成立 f

11、 xg x，XXXX 数数c的取值的取值 X X 围；围；3 3对任意对任意12,3,3x x ，都有，都有12f xg x，XXXX 数数c的取值的取值 X X 围；围；4 4存在存在12,3,3xx ，都有，都有12f xg x，XXXX 数数c的取值的取值 X X 围；围；6 6、设函数、设函数3221( )23(01,)3f xxaxa xbabR . .word.求函数求函数 f x的单调区间和极值；的单调区间和极值；假设对任意的假设对任意的,2, 1aax不等式不等式 fxa成立，求成立，求 a a 的取值的取值 X X 围。围。7 7、A A、B B、C C 是直线是直线上的三点

12、，向量上的三点，向量OAOA， OBOB，OCOC满足：满足： 0OC1xlnOB1f2yOA. .1 1求函数求函数 y yf(x)f(x)的表达式；的表达式；2 2假设假设 x x0 0，证明：，证明：f(x)f(x)2x2xx x2 2；3 3假设不等式假设不等式3bm2mxfx21222时，时，1,1x及及1,1b都恒成立，都恒成立，XXXX 数数 m m 的取值的取值 X X 围围8 8、设、设 xln2xqpxxf，且，且 2epqeefe e 为自然对数的底数为自然对数的底数(I)(I)求求 p p 与与 q q 的关系；的关系；(II)(II)假设假设 xf在其定义域内为单调函

13、数，求在其定义域内为单调函数，求 p p 的取值的取值 X X 围；围；(III)(III)设设 xe2xg，假设在，假设在e,1上至少存在一点上至少存在一点0 x，使得，使得00 xgxf成立成立, , XXXX 数数 p p 的取值的取值 X X 围围. .参考答案参考答案：题型一、常见方法题型一、常见方法。1 1、分析：、分析：1 1思路、等价转化为函数思路、等价转化为函数0)()( xgxf恒成立，在通过别离变量，创设新函数求最值解决恒成立，在通过别离变量，创设新函数求最值解决2 2思路、对在不同区间内的两个函数思路、对在不同区间内的两个函数)(xf和和)(xg分别求最值，即只需满足分

14、别求最值，即只需满足)()(maxminxgxf即可即可简解： 1由12012232xxxaxaaxx成立，只需满足12)(23xxxx的最小值大于a即可对12)(23xxxx求导，0) 12(12)(2224xxxx，故)(x在2 , 1 x是增函数，32) 1 ()(minx，所以a的取值 X 围是320 a2 2、分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数以此题为例，实质还是通分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数以此题为例，实质还是通过函数求最值解决过函数求最值解决方法方法 1 1：化归最值，：化归最值，10)(10)(maxxhxh；方

15、法方法 2 2：变量别离，：变量别离，)(10 xxab或或xbxa)10(2；方法方法 3 3：变更主元，：变更主元，0101)(bxaxa，2 ,21a简解：方法简解：方法 1: 1:对对bxxabxxgxh)()(求导，求导，22)(1)(xaxaxxaxh，由此可知，由此可知，)(xh在在 1 ,41上的最大值为上的最大值为)41(h与与) 1 (h中的较大者中的较大者ababbabahh944391011041410) 1 (10)41(，对于任意，对于任意2 ,21a，得，得b的取值的取值 X X 围是围是47b3 3、解析解析：对任意对任意2 , 01x，存在存在2 , 12x，

16、使得，使得21)(xgxf等价于等价于mxgx21)(在在2 , 1上的上的最小值最小值m41不大于不大于2)(xxf在在2 , 0上的最小值上的最小值 0 0，既，既041m，41m题型二、主参换位法题型二、主参换位法( (某个参数的某个参数的 X X 围，整理成关于这个参数的函数围，整理成关于这个参数的函数) )。1 1、解：不等式即解：不等式即21210 xpxx , ,设设 2121fpxpxx，那么那么 fp在在-2,2-2,2上恒上恒.word.大于大于 0 0， 故有：故有： 222043031112010fxxxxxxfx 或或1x 或或3x 2 2、 ( () )分析：在不等

17、式中出现了两个字母：分析：在不等式中出现了两个字母：及及t, ,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将为常数。显然可将视作自变量，那么上述问题即可转化为在视作自变量，那么上述问题即可转化为在, 1 内关于内关于的一次函数大于等于的一次函数大于等于 0 0 恒成恒成立的问题。立的问题。( () )略解：由略解：由( () )知：知：( )f xx，( )sing xxx，( )g x在在11 ，上单调上单调递减，递减，( )cos0g xxcosx 在在1 1 ，上恒成立，上恒成立，1 ，max( )( 1)sin1g xg ，只

18、需只需2sin11tt，2(1)sin1 10tt 其中其中1 恒成立，由上述恒成立，由上述结论结论：可令：可令 2(1)sin1 10(1ftt ）, ,那么那么2t101sin1 10tt ，21sin10ttt ，而，而2sin10tt 恒成立恒成立，1t 。题型三、别离参数法欲求某个参数的题型三、别离参数法欲求某个参数的 X X 围，就把这个参数别离出来围，就把这个参数别离出来1、当、当1,2x时，不等式时，不等式240 xmx恒成立，那么恒成立，那么m的取值的取值 X X 围是围是. .解析解析: : 当当(1,2)x时，由时，由240 xmx得得24xmx . .5m . .题型四

19、、数形结合恒成立问题与二次函数联系题型四、数形结合恒成立问题与二次函数联系零点零点、根的、根的分布分布法法 1 1、解析：对、解析：对 xR, ,不等式不等式|xax恒成立、那么由一次函数性质及图像知恒成立、那么由一次函数性质及图像知11a ，即，即11a 。2 2、分析：为了使、分析：为了使 f xk在在1,x 恒成立，构造一个新函数恒成立，构造一个新函数 F xf xk，那么把原题转化成左边二次，那么把原题转化成左边二次函数在区间函数在区间1, 时恒大于等于时恒大于等于0的问题，再利用二次函数的图象性质进展分类讨论，使问题得到圆满解决。的问题，再利用二次函数的图象性质进展分类讨论，使问题得

20、到圆满解决。解：令解：令 222F xf xkxkxk，那么，那么 0F x 对对1,x 恒成立，而恒成立，而 F x是开口向上的抛物线。是开口向上的抛物线。当图象与当图象与 x x 轴无交点满足轴无交点满足0 ，即，即242 20kk ，解得，解得21k 。当图象与当图象与 x x 轴有交点，且在轴有交点，且在1,x 时时 0F x ，那么由二次函数根与系数的分布知识及图象可得：，那么由二次函数根与系数的分布知识及图象可得：010212Fk 解得解得32k ，故由，故由知知31k 。小结小结：假设二次函数假设二次函数20yaxbxc a大于大于 0 0 恒成立恒成立，那么有那么有00a ，同

21、理同理，假设二次函数假设二次函数20yaxbxc a小于小于 0 0 恒成立，那么有恒成立，那么有00a 。假设是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系。假设是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数数的分布知识求解的分布知识求解。题型五、不等式能成立问题有解、存在性的处理方法题型五、不等式能成立问题有解、存在性的处理方法。假设在区间假设在区间 D D 上存在实数上存在实数x使不等式使不等式 f xA成立成立, ,那么等价于在区间那么等价于在区间 D D 上上 maxf xA；假设在区间假设在区间 D D 上存在实数上存在实数x使不等式使不等式

22、f xB成立成立, ,那么等价于在区间那么等价于在区间 D D 上的上的 minf xB. .1 1、解：设、解：设 31f xxx，由，由 23f xaa有解，有解， 2min3aaf x，又又31314xxxx，234aa，解得，解得41aa 或。2 2、解解： 因为函数因为函数 f x存在单调递减区间，所以存在单调递减区间，所以 212120axxfxaxxx 0,有解有解. .即即2120,axxx能能成立成立, , 设设 212u xxx. .由由 2212111u xxxx得得, , min1ux . .于是于是, ,1a, ,由题设由题设0a, ,所以所以 a a 的取值的取值

23、X X 围是围是, 00 , 1|yx|yxyaxyaxxyO.word.课后作业：课后作业：1 1、B B 由由loglog3aaxy得得3ayx，对任意的，对任意的 ,2 xaa，得，得2322aaax，故，故22222aaaaa。2 2、答案：、答案：2513。解析：由不等式。解析：由不等式222()()a xyxy可得可得21axyyx ，由线性规划可得，由线性规划可得312yx。3 3、解：原不等式有解、解：原不等式有解22sin4sin1 sin231 sin1axxxx 有解，有解，而而2minsin232x ，所以，所以2a 。4 4、解：画出两个凼数、解：画出两个凼数yax和

24、和4yxx在在0,3x上的图象如图知当上的图象如图知当3x 时时3y ，33a 当当33a ，0,3x时总有时总有4axxx所以所以33a 5 5、解析解析： 1 1设设 322312h xg xf xxxxc，问题转化为，问题转化为3,3x 时，时， 0h x 恒成立，恒成立，故故 min0hx 。令令 266126120h xxxxx，得，得1x 或或2。由由导数知识导数知识，可知可知 h x在在3, 1单调递增，在单调递增，在1,2单调递减，在单调递减，在2,3单调递增，且单调递增，且345hc， 17h xhc极大值， 220h xhc极小值， 39hc， min345hxhc，由，由

25、450c ，得，得45c 。（2 2）据题意：存在据题意：存在3,3x ，使，使 f xg x成立，即为：成立，即为： 0h xg xf x在在3,3x 有解，有解，故故 max0hx ，由，由1 1知知 max70hxc，于是得，于是得7c 。（3 3）它与它与1 1问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意12,3,3xx ，都有都有12f xg x成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，1x，2x的取值在的取值在3,3上具有任意性，上具有任意性，要使不等式恒成立的充要条件是：要使不等式恒

26、成立的充要条件是：maxmin( )( ), 3,3fxgx x 。 27228,3,3f xxcx max3147f xfc， 26840gxxx2 3102xx， 0gx在区间在区间3,3上只有一个解上只有一个解2x 。 min248g xg ，14748c ，即，即195c . .（4 4）存在存在12,3,3xx ，都有，都有12f xg x，等价于，等价于min1max2fxgx，由，由(3)(3)得得 min1228fxfc ，max23102gxg，28102130cc 点评点评：此题的三个小题，外表形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，此题的三个小题，外表形式

27、非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件多加训练，准确使用其成立的充要条件。6 6、解、解： 2234)(aaxxxf1 1 分分令令, 0)( xf得得)(xf的单调递增区间为的单调递增区间为a,3aa,3a令令, 0)( xf得得)(xf的单调递减区间为的单调递减区间为，a a和和3a3a，+ + 4 4 分分当当 x=ax=a 时，时，)(xf极小值极小值= =;433ba 当当 x=3ax=3a 时，时，)(xf极小值极小值=b.=b.6 6 分分由由| |)(xf | |a a，得，得a ax2+4axx2+4ax3a23a2a. a.7

28、 7 分分0a10a2a.a+12a.2, 134)(22aaaaxxxf在上是减函数上是减函数. .9 9 分分xy03axy .word. 44)2()(. 12) 1()(minmaxaafxfaafxf于是，对任意于是，对任意2, 1aax，不等式，不等式恒成立，等价于恒成立，等价于. 154. 12, 44aaaaa解得又又, 10 a. 154 a7 7、解：、解：(1)(1)OAOAy y2f 2f /(1)/(1)OBOBln(xln(x1)1)OCOC0 0，OAOAy y2f 2f /(1)/(1)OBOBln(xln(x1)1)OCOC由于由于 A A、B B、C C 三

29、点共线三点共线即即y y2f 2f /(1)/(1) ln(xln(x1)1)1 12 2 分分y yf(x)f(x)ln(xln(x1)1)1 12f 2f /(1)/(1)f f /(x)/(x)1 1x x1 1，得，得 f f /(1)/(1)1 12 2，故，故 f(x)f(x)ln(xln(x1)1)4 4 分分2 2令令 g(x)g(x)f(x)f(x)2x2xx x2 2，由，由 g/(x)g/(x)1 1x x1 12(x2(x2)2)2x2x(x (x2)22)2x2x2(x (x1)(x1)(x2)22)2x x0 0，g/(x)g/(x)0 0，g(x)g(x)在在(0

30、(0，) )上是增函数上是增函数6 6 分分故故 g(x)g(x)g(0)g(0)0 0即即 f(x)f(x)2x2xx x2 28 8 分分3 3原不等式等价于原不等式等价于1 12 2x2x2f(x2)f(x2)m2m22bm2bm3 3令令 h(x)h(x)1 12 2x2x2f(x2)f(x2)1 12 2x2x2ln(1ln(1x2)x2)，由，由 h/(x)h/(x)x x2x2x1 1x2x2x3x3x x1 1x2x21010 分分当当 x x 1 1，11时，时，h(x)maxh(x)max0 0，m2m22bm2bm3 30 0令令 Q(b)Q(b)m2m22bm2bm3

31、3，那么，那么Q(1)Q(1)m2m22m2m3 30 0Q(Q(1)1)m2m22m2m3 30 0得得 m m3 3 或或 m m3 31212 分分8 8、解：、解：(I)(I) 由题意得由题意得 12ln20qpf epeeqepqeeee而而10ee，所以，所以pq(II)(II) 由由 (I)(I) 知知 2lnpf xpxxx， 22222ppxxpfxpxxx 4 4 分分令令 22h xpxxp，要使，要使 f x在其定义域在其定义域 (0,+(0,+ ) ) 内为单调函数，只需内为单调函数，只需 h(x)h(x) 在在 (0,+(0,+ ) ) 内满足：内满足：h(x)h(

32、x)0 0 或或 h(x)h(x)0 0 恒成立恒成立. . 5 5 分分 当当0p 时，时， 20,200pxxh x，所以，所以 f x在在 (0,+(0,+ ) ) 内为单调递减，故内为单调递减，故0p ； 当当0p 时，时， 22h xpxxp，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为10 xp， min11hxhppp，只需，只需10pp，即，即 p p1 1 时，时， h(x)h(x)0 0， 0fx，f f (x)(x) 在在 (0,+(0,+ ) ) 内为单调递增，故内为单调递增，故 p p1 1 适合题意适合题意. .综上可得，综上可得，p p1

33、 1 或或 p p0 0另解：另解：(II)(II)由由 (I)(I) 知知 f f (x)(x) = = pxpxp px x2ln2ln x xf f(x)(x) = = p p + +p px x 2 22 2x x= = p p ( (1 1 + +1 1x x 2 2) )2 2x x要使要使 f f (x)(x) 在其定义域在其定义域 (0,+(0,+ ) ) 内为单调函数，只需内为单调函数，只需 f f(x)(x) 在在 (0,+(0,+ ) ) 内满足：内满足：f f(x)(x)0 0 或或f f(x)(x)0 0 恒成立恒成立. .由由 f f(x)(x)0 0p p ( (

34、1 1 + +1 1x x 2 2) )2 2x x0 0p p2 2x x + +1 1x xp p( (2 2x x + +1 1x x)max)max，x x 0 0.word.2 2x x + +1 1x x2 22 2x x1 1x x= = 1 1，且，且 x x = = 1 1 时等号成立，故时等号成立，故 ( (2 2x x + +1 1x x)max)max = = 1 1p p1 1由由 f f(x)(x)0 0p p ( (1 1 + +1 1x x 2 2) )2 2x x0 0p p2x2xx x 2 2 + + 1 1p p( (2x2xx x 2 2 + + 1

35、1)min)min，x x 0 0而而2x2xx x 2 2 + + 1 1 0 0 且且 x x 0 0 时，时，2x2xx x 2 2 + + 1 1 0 0，故，故 p p0 0综上可得，综上可得，p p1 1 或或 p p0 0(III)(III)g g( (x x) ) = =2e2ex x在在 1,e1,e 上是减函数上是减函数x x = = e e 时，时，g g( (x x) )minmin = = 2 2，x x = = 1 1 时，时，g g( (x x) )maxmax = = 2e2e即即g g( (x x) ) 2,2e2,2e 1010 分分 p p0 0 时，由时

36、，由 (II)(II) 知知 f f (x)(x) 在在 1,e1,e 递减递减f f (x)(x)maxmax = = f f ( (1 1) ) = = 0 0 2 2，不合题意。，不合题意。 0 0 p p 1 1 时，由时，由 x x 1,e1,ex x1 1x x0 0f f (x)(x) = = p p ( (x x1 1x x) )2ln2ln x xx x1 1x x2ln2ln x x右边为右边为 f f (x)(x) 当当 p p = = 1 1 时的表达式，故在时的表达式，故在 1,e1,e 递增递增 f f (x)(x)x x1 1x x2ln2ln x xe e1 1

37、e e2ln2ln e e = = e e1 1e e2 2 2 2，不合题意。，不合题意。 p p1 1 时，由时，由 (II)(II) 知知 f f (x)(x) 在在 1,e1,e 连续递增，连续递增，f f ( (1 1) ) = = 0 0 g g( (x x) )minmin = = 2 2，x x 1,e1,ef f (x)(x)maxmax = = f f ( (e e) ) = = p p ( (e e1 1e e) )2ln2ln e e 2 2p p 4e4ee e 2 21 1综上，综上，p p 的取值的取值 X X 围是围是 ( (4e4ee e 2 21 1,+ ,

38、+ ) )其他特殊型其他特殊型: :二次函数型二次函数型利用判别式利用判别式, ,韦达定理及根的分布求解韦达定理及根的分布求解现实生活中存在与恒成立问题：现实生活中存在与恒成立问题：1 1、在某次考试中，我们班在某次考试中，我们班有有同学数学分数大于同学数学分数大于 120120 分分最高分大于最高分大于 120120 分。分。例例 1 1：不等式：不等式22xxa对于对于xR恒成立恒成立, ,求求a的的取值取值 X X 围围. .变式变式 1 1：存在存在xR，使得，使得不等式不等式22xxa成立成立, , 那么那么a的取值的取值 X X 围是围是. .变式变式 2 2：方程方程22xxa有

39、解有解，那么，那么a的取值的取值 X X 围是围是.word.2 2、在某次考试中，我们班每一位同学数学分数在某次考试中，我们班每一位同学数学分数都都高于高于 6060 分分最低分大于最低分大于 6060 分。分。3 3、在某次考试中，我们班同学数学成绩在某次考试中，我们班同学数学成绩没有没有高于高于 130130 分的分的最高分小于等于最高分小于等于 130130 分。分。、结论结论：对对,( ) , xD f xm n有有: :、恒成立问题、恒成立问题符号语言：符号语言：函数函数( ),f xa xD恒成立恒成立min( )f xa函数函数( ),f xa xD恒成立恒成立max( )f

40、xa2 2、存在性问题、存在性问题符号语言：符号语言：存在存在xD, ,使得函数使得函数( )f xamax( )f xa存在存在xD, ,使得函数使得函数( )f xamin( )f xa、推理：对推理：对,( ) , xD f xm n有有: :1 1、符号语言：不等式、符号语言：不等式( ),f xa xD恒成立恒成立min( )f xa图象语言：图象语言：( ),yf x xD的图象在直线的图象在直线 y=ay=a 的上方的上方最低点都在直线最低点都在直线ya的上方的上方min( )fxa日常用语:每一个( )f x值都大于a min( )f xa3 3）、符号语言：方程、符号语言：方

41、程( ),f xa xD有解解集非空有解解集非空 ( )|af xxD4 4）图象语言：图象语言：( ),yf x xD的图象与直线的图象与直线ya有交点有交点 ( )|af xxD5 5）日常用语：求函数日常用语：求函数( ),af x xD的值域的值域 ( )|af xxD2 2）、 符号语言符号语言： 存在存在xD, ,使得不等式使得不等式( )f xa不等式不等式( ),f xa xD， 有解有解不等式不等式( ),f xa xD，解集非空，解集非空max( )f xa3 3）图象语言：图象语言：( ),yf x xD的图象有点在直线的图象有点在直线 y=ay=a 的上方的上方最高点都

42、在直线最高点都在直线ya的上方的上方max( )f xa4 4）日常用语：有日常用语：有( )f x值比值比a大大max( )f xa.word.3 3、有解问题、有解问题符号语言：符号语言：不等式( ),f xa xD有解解集非空max( )f xa不等式不等式( ),f xa xD解集为空集解集为空集min( )f xa方程方程( ),f xa xD有解解集非空有解解集非空 ( )|af xxD思考：假设对思考：假设对,( )( , )xD f xm n又有怎么样的结论呢？又有怎么样的结论呢？例 1：不等式不等式22xxa对于对于 x xR R 恒成立恒成立, ,求求 a a 的取值的取值

43、 X X 围围. .变式 1：存在存在 x xR R，使得，使得不等式不等式22xxa成立成立, , 那么那么a a的取值的取值 X X 围是围是. .变式变式 2 2：方程方程22xxa有解有解，那么，那么 a a 的取值的取值 X X 围是围是. .变式变式 3 3：22xxa解集不空解集不空, , 那么那么a a的取值的取值 X X 围是围是. .变式变式 4 4：不等式不等式22xxa解集为空集解集为空集, , 那么那么a a的取值的取值 X X 围是围是. .例 2：函数函数2( )f xxaxa, ,假设存在假设存在 1,2x 使得使得( )0f x , ,试试 XXXX 数数a的

44、取值的取值 X X 围围。解：法一：解：法一：(1)10f ，所以对，所以对aR, ,均均存在存在 1,2x 使得使得( )0f x . .法二：原题同解于：当法二：原题同解于：当 1,2x 时，时，max( )f xa, ,即：即：( 1)0f 或或(2)0f代入可得代入可得: :120a或或40a解得解得12a 或或4a aR例例 3 3：方程：方程2220 xxa在区间在区间(0,3)内有解，那么实数内有解，那么实数 a a 的取值的取值 X X 围是。围是。解：原题同解于：解：原题同解于：222,(0,3)axxx，的值域。，的值域。2(1)1axa a (1),(3)aff即即1,5

45、)a, ,请比拟此题的有解问题与上题的有解问题的区别请比拟此题的有解问题与上题的有解问题的区别. .例 4：A=x|xA=x|x2 2-mx+1-mx+1 0,B=R0,B=R+ +,A,AB=B,B=B, 求的取值求的取值 X X 围。围。分析：分析：A AB=BB=B 可得可得 B BA A。即。即:x0:x0 时时, , x x2 2-mx+1-mx+1 0 0.word.10020(0)0mf 法一（）（ ）解略解略法二：原题同解于：法二：原题同解于：x x2 2-mx+1-mx+1 0 0 在在(0,+(0,+) )上恒成立上恒成立, , 求的取值求的取值 X X 围。围。21x1

46、mx x (0,)mx ()m2x分离变量法例例 5 5：不等式：不等式210axxa 对满足对满足22a 的所有的所有a都成立，求都成立，求x的取值的取值 X X 围。围。分析：分析： 对对2( )1f xaxxa而言，参数而言，参数 X X 围，求定义域。围，求定义域。设设2( )(1)10g axax 22a , ,那么转化为定义域求参数那么转化为定义域求参数 X X 围。即：围。即：0g(2)0g(-2)1 1、对于不等式、对于不等式(1-m)x(1-m)x2 2+(m-1)x+30+(m-1)x+30当当| | x x | |2，上上式恒成立，式恒成立，XXXX 数数 m m 的取值

47、的取值 X X 围；围；当当| | m m | |2，上上式恒成立，式恒成立，XXXX 数数 x x 的取值的取值 X X 围围. .2 2、假设不等式假设不等式 ax2-2x+20 对对 x x(1,4)(1,4)恒成立，恒成立，XXXX 数数 a a 的取值的取值 X X 围。围。3 3、设不等式22221463xkxkxx对一切实数 x 都成立,那么 k 的 X 围是。可以等价转化为一次型的函数利用单调性直接求解对于一次函数对于一次函数,)(nmxbkxxf有：有：0)(0)(0)(,0)(0)(0)(nfmfxfnfmfxf恒成立恒成立例例 1 1：假设不等式：假设不等式) 1(122

48、xmx对满足对满足22m的所有的所有m都成立，求都成立，求 x x 的的 X X 围。围。解析：解析：我们可以用改变主元的方法，将我们可以用改变主元的方法，将 m m 视为主变元，即将元不等式化为视为主变元，即将元不等式化为： ， ；0) 12 () 1(2xxm令令) 12() 1()(2xxmmf，那么，那么22m时，时，0)(mf恒成立，恒成立，.word.所以只需所以只需0)2(0)2(ff即即0) 12() 1(20) 12() 1(222xxxx，解出即可。，解出即可。三三、数形结合数形结合对于( )( )f xg x型问题，利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理型问题，利用数

49、形结合思想转化为函数图象的关系再处理假设把等式或不等式进展合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，假设把等式或不等式进展合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，那么可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。那么可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。例例 1010(07XX(07XX 理科理科 3)3)假设对任意假设对任意xR, ,不等式不等式|xax恒成立，那么实数恒成立，那么实数a的取值的取值 X X 围是围是(A)(A)1a (B)(B)| 1a (C)(C)| 1a D D1a 解

50、析：对解析：对 xR, ,不等式不等式|xax恒成立恒成立那么由一次函数性质及图像知那么由一次函数性质及图像知11a ，即，即| 1a 。)231,271(x。四四、赋值型赋值型利用特殊值求解利用特殊值求解等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得. .例例 1 1如果函数如果函数 y=f(x)=sin2x+acos2xy=f(x)=sin2x+acos2x 的图象关于直线的图象关于直线 x=x=8对称，那么对称，那么 a=a=. .A A.1 .1B.-1B.-1C C . .2D.D.

51、 - -2.略解略解：取取 x=0 x=0 及及 x=x=4，那么那么 f(0)=f(f(0)=f(4), ),即即 a=-1a=-1，应选，应选 B.B.此法表达了数学中从一般到特殊的转化思想此法表达了数学中从一般到特殊的转化思想. .利利 用用 导导 数数 求求 参参 数数 的的 取取 值值围围一函数单调性，求参数的取值一函数单调性，求参数的取值 X X 围围. .类型类型 1 1参数放在函数表达式上参数放在函数表达式上. .32( )23(1)68f xxaxaxaR例1、设函数其中的取值范围求上为增函数在若的值求常数处得极值在若axfaxxf,)0 ,()()2(.,3)() 1 (略

52、解：由略解：由的极值点为时经检验知解得)(3,3. 30)3(xfxaaf方法：方法：) 1)(66) 1(66)(2xaxaxaxxf21,( )(,1),( ,),.1,( )6(1)0,( )(,).1,( )(, ),(1,),( )(,0),01.0,( )(,0).af xaaf xxf xaf xaf xaaf x 当时在上递增 符合条件当时恒成立在上递增当时在上递增 要保证在上递增 则综上所述时在上递增|yx|yxyaxyaxxyO.word.方法：方法：( )(,0)( )0(,0)(1)(1)(,0)0,100f xfxxx xa xxxxxaa 因为在上递增所以在上恒成立

53、即在上恒成立从而方法方法2( )66(1)6(,01100220(0)00fxxaxaaafa 保证在上最小值大于或等于零故有或可解得解题方法解题方法 总结：求总结：求)(xf后，假设能因式分解那么先因式分解，讨论后，假设能因式分解那么先因式分解，讨论)(xf=0=0 两根的大小判断函数两根的大小判断函数)(xf的的单调性，假设不能因式分解可利用函数单调性的充要条件转化为恒成立问题单调性，假设不能因式分解可利用函数单调性的充要条件转化为恒成立问题. .类型类型 2 2参数放在区间边界上参数放在区间边界上例函数函数)(,0)(23xfyxdcxbxaxxf曲线处取得极值在过原点和点过原点和点(-

54、1,2),(-1,2),假设曲线假设曲线)(xfy 在点在点 P P 处的切线与直线处的切线与直线452 的夹角为xy 且切线的倾斜角为钝角且切线的倾斜角为钝角. .1 1求求)(xf的表达式的表达式2 2假设假设)(xf在区间在区间2m-1,m+12m-1,m+1上递增上递增, ,求求 m m 的取值的取值 X X 围围. .略解略解 (1)(1)233)(xxxf2 ,213,(12101212121), 0()2,( 1, 12)0 , 2(,), 0(),2,()()2(363)()2(2mmmmmmmmmxfxxxxxf解得或所以的一个子区间或是从而只要保证上递减在上递增在可知总结总结: :先判断函数的单调性先判断函数的单调性, ,再保证问题中的区间是函数单调递增再保证问题中的区间是函数单调递增( (递减递减) )区间的一个子区间即可区间的一个子区间即可. ., 1,)(, 73)(. 223的取值范围求上单调递增在若已知函数aaaxfxxxf二不等式在某区间上恒成立，求参数的取值不等式在某区间上恒成立，求参数的取值 X X 围围类型类型参数放在不等式上参数放在不等式上例 3.时都取得极值与在132)(23xxcbxaxxxf1 1求