2020年届高三数学立体几何专项训练(文科)

1、2020届高三数学立体几何专题(文科)吴丽康2019-11PA1平面ABCD, E为PD的点.1 .如图，四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD为矩形, I证明：PB /平面AEC;n设 AP=1 , AD=目,三棱锥 P-ABD的体积求A点到平面PBD的距离.2 .如图，四棱锥 P-ABCD中，AB/ CD, AB=2CD, E为PB的中点.(1)求证：CE/平面PAD;(2)在线段 AB上是否存在一点 F,使得平面 PAD/平面CEF? 假设存在，证明你的结论，假设不存在，请说明理由.3如图，在四棱锥 P- ABCD中，平面 PACL平面 ABCD，且PA! AC, PA= AD= 2, 四

2、边形 ABCD满足BC/ AD, ABXAD, AB= BC= 1.点E, F分别为侧棱 PB, PC上的点,PE PF且=-=XR 0).PB PC(1)求证：EF/平面PAD;1一(2)当入=2时，求点D到平面AFB的距离.4.如图，四棱柱 ABOAiBGDi的底面ABCD是正方形.证明：平面 AiBD/平面 CDiBi;(2)假设平面 ABCDA平面32心=直线1,证明：BiDi / l.BDM 于 GH.1 .如图，四边形 ABCD是平行四边形，点 P是平面ABCD外一点, M是PC的中点，在 DM上取一点 G,过G和AP作平面交平面 求证：AP/ GH.6 .如图，在四棱锥 P-AB

3、CD 中，PA1底面 ABCD, AB± AD, AC! CD,/ABC= 60° , PA= AB=BC, E是 PC的中点. 证明：(1)CD, AE; (2)PD,平面 ABE.7 .(2018通州三模，18)如图，在四锥 P-ABCD中,平面PABL平面ABCD,四边形ABCD 为正方形,PAB为等边三角形，E是PB中点，平面AED与棱PC交于点F.(1)求证:AD/ EF;(2)求证:PBL平面 AEFD;记四棱锥P-AEFD的体积为V1,四棱锥P-ABCD的体积为V2,直接写出的值.8如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD是/ DAB= 60°且

4、边长为a的菱形， 侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD,假设G为AD的中点.(1)求证：BG，平面PAD;(2)求证：ADLPB;(3)假设E为BC边的中点，能否在棱 PC上找到一点F,使平面DE。平面ABCD? 并证明你的结论.9.(2016高考卷)如图，在四棱锥 P-ABCD中，PC，平面 ABCQ AB / DC, DC± AC (1)求证：DC平面PAC(2)求证：平面 PABL平面PAC;尸(3)设点E为AB的中点.在棱PB上是否存在点F,介、使得PA/平面CEF?说明理由.'W10.如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在PC上(异

5、于点P, C), 平面ABE与棱PD交于点F.(1)求证：AB/ EF;?(2)假设AF± EF,求证：平面 PAD,平面ABCD.代、.11.如图，在四棱锥 P ABCD 中，PAa平面 ABCD, PA= AB= BC= g AD= CD= 1 , 1/ADC= 120 ,点M是AC与BD的交点，点 N在线段PB上，且PN= 4PB.证明：MN /平面PDC;（2）求直线MN与平面PAC所成角的正弦值.12.（2016高考卷）如图，在四棱锥 P ABCD中，PAL CD, AD / BC, ，-。-1Z ADC= Z PAB= 90 , BC= CD= 2AD.在平面PAD找一点

6、M,使得直线 CM/平面PAB,并说明理由；（2）证明：平面 PAB，平面PBD.13. （2016高考卷）如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，D, E分别为 AB, BC 的中点，点F在侧棱B1B上,且B1DXA1F, ACA1B1.求证：（1）直线DE/平面A1C1F;(2)平面 B1DEL平面 A1C1F.14.12014,19如图，三棱柱 LJ 中，侧面三）为菱形，囚的中点为目，且回平面工I .1证明： WJ2假设三,求三棱柱El的高.15.(2017 某，文 17)如图，在四棱锥 P-ABCD中,ADL平面 PDC,AD/ BC, PDL PB, AD=1,BC=3,CD=4,

7、PD=2.(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；(2)求证:PDL平面PBC;(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.16.(2016高考卷)如图，在三棱台 ABC DEF中，平面 BCF日平面 ABC, /ACB= 90° , BE= EF= FC= 1, BC= 2, AC= 3.(1)求证：BF,平面ACFR(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.17.(2018全国出)如图，矩形 ABCD所在平面与半圆弧 CD所在平面垂直,M是CD上异于C, D的点.(1)证明：平面 AMD，平面 BMC.(2)在线段AM上是否存在点 P,使得MC/平面PBD?说明理由.立体几

8、何中的翻折问题一兀- -118如图，在直角梯形 ABCD中，AD/BC, / BAD= -, AB= BC= AD=a,E是AD的中点，O是AC与BE的交点.将 ABE沿BE折起到图(2)中 AiBE的位置，得 到四棱锥Ai- BCDE(1)证明：CD，平面AiOC;(2)当平面AiBE，平面BCDE时，四棱锥 Ai-BCDE的体积为36，2,求a的值.1I9.如图 1,在直角梯形 ABCD中，/ ADC= 90°, AB/ CD, AD= CD= 2AB=2,E为AC的中点，将 ACD沿AC折起，使折起后的平面 ACD与平面ABC垂直, 如图2.在图2所示的几何体 D ABC中：(

9、1)求证：BCL平面ACD;(2)点F在CD上，且满足 AD/平面BEF,求几何体FBCE的体积.20.如图，长方体 ABCDAiBGDi 中，AB=16, BC= 10, AAi = 8.点 E, F 分别在 AiBi, DiCi 上，过点E、F的平面a与此长方体的面相交，交线围成一个正方形EFGH(1)求证：AiE=DiF;(2)判断Ai D与平面a的关系.2020届高三数学立体几何专题(文科)1解析：I设AC的中点为O,连接EO.在三角形PBD中，中位线 且EO在平面 AEC上，所以 PB平面AECnap=i , I x1, 叵,I X I , W ,作AHPB角PB于H,由题意可知 B

10、C,平面PAB,BC± AH,故AH,平面PBC.又 x ,故a点到平面PBC的距离区.2.(1)证明：如下图，取 PA的中点H,连接EH, DH,1因为E为PB的中点，所以 EH/AB, EH=2AB,一 ,1又 AB/ CD, CD= 2AB.所以 EH/ CD, EH= CD,因此四边形DCEH是平行四边形，所以 CE/ DH,又DH?平面PAR CE?平面PAD,所以 CE/平面 PAD.1(2)如下图，取 AB的中点F,连接CF, EF,所以AF= 2AB,EO/ PB,-1又CD= 2AB,所以AF=CD,又AF/ CD,所以四边形 AFCD为平行四边形，所以 CF/ A

11、D,又CF?平面PAD,所以CF/平面 PAD,故存在AB的中点F满足要求.3.(1)证明PE ,PBPFPC=EF/ BC . BC/ AD, . EF/ AD.又 EF?平面 PAD, AD?平面 PAD,EF/ 平面 PAD.1(2)解入=2,F是PC的中点，由可知CE/平面PAD,又CEA CF= C,故平面 CEF/平面 PAD,在 RtPAC中，PA= 2, AC=娘，PC= «PA2+ AC2 =胆i 6_PF= 2PC=彳；.平面 PACL平面 ABCD,且平面 PA6平面 ABCD= AC,PA，AC, PA?平面 PAG . . PA，平面 ABCR，PAL BC

12、又 AB，AD, BC/ AD, . BC AB,又 PAA AB=A, PA, AB?平面 PAB,.BCL平面 PAB,BC± PB, 在 RPBC中，BF= 2PC=乎.连接BD, DF,设点D到平面AFB的距离为d,在等腰三角形,6BAF 中，BF= AF=J2, AB= i ,-5 ' S>AABF=,又S>AABD= i ,点F到平面ABD的距离为i ,4，由 Vf-ABD= VD-AFB,得;X i X i = J* d* 幸，解得 d = , 3345即点4.证明 （i）由题设知 BBi / DDi且BBi=DDi, 所以四边形BBiDiD是平行四

13、边形，所以 BD/ BiDi.又 BD?平面 CDiBi, BiDi?平面 CDiBi,所以 BD/平面 CDiBi.因为 AiDi/ BiCi/BC且 AiDi= BiCi= BC, 所以四边形 AiBCD是平行四边形，所以 AiB/DiCD到平面AFB的距离为华.又AiB?平面 CDiBi , DiC?平面CDiBi,所以 AiB/平面CDiBi.又因为BDn AiB=B, BD, AiB?平面AiBD,所以平面AiBD/平面 CDiBi.（2）由（i）知平面 AiBD/平面 CDiBi,又平面 ABCDH平面平面ABCDA平面AiBD=直线BD,所以直线I/直线BD,在四柱 ABCD-

14、AiBiCiDi 中， 所以 BiDi / BD,所以 BiDi / I.四边形BDDiBi为平行四边形,5.连接AC交BD于点O,连接MO,因为 PM=MC, AO= OC,所以 PA/ MO,因为PA?平面 MBD, MO?平面 MBD,所以PA/平面 MBD .因为平面 PAHS平面 MBD=GH,所以AP / GH.6 .证明(i)在四棱锥 P-ABCD中，因为 PA1底面 ABCD, CD?平面ABCD, 所以 PAI CD,因为 AC± CD,且 PAA AC= A,所以CD,平面PAG而AE?平面PAC所以CD± AE.(2)由 PA= AB= BC, / A

15、BC= 60° ,可得 AC= PA 因为E是PC的中点，所以 AE± PC由(i)知 AE± CD,且 PCA CD= C,所以 AE,平面 PCD.而PD?平面PCD,所以 A已PD.因为PA1底面 ABCD,所以PA，AB.又因为 AB± AD 且 PAA AD = A,所以AB,平面PAD,而PD?平面PAD,所以 AB± PD.又因为 ABA AE= A,所以PD,平面 ABE7 .(1)证明因为ABCD为正方形，所以AD/ BC.因为 AD?平面PBC,BC?平面PBC所以AD/平面PBC.因为AD?平面AEFD平面 AEFDA平面

16、 PBC=EF以AD/ EF.(2)证明因为四边形 ABCD是正方形，所以AD± AB.因为平面 PAB1平面 ABCD,平面PABA平面 ABCD=AB,AD?平面 ABCD, 所以ADL平面PAB.因为PB?平面PAB所以AD± PB.因为 PAB为等边三角形，£是PB中点，所以PB± AE.因为 AE?平面 AEFD,AD?平面 AEFD,AE1 AD=A,所以 PBL平面 AEFD.(3)解由知，Vi=Vc-aefdVe-abc=Vf-adc=Vc-aefd=Vi, ：Vbc-aef于Vi,那么 Vp-abcc=Vi+Vi=Vi ,.8 .解(1

17、)证明：在菱形 ABCD中，/ DAB= 60° , G为AD的中点，所以又平面 PAD,平面 ABCD,平面 PADA平面 ABCD= AD,所以BGL平面PAD.(2)证明：如图，连接 PG因为 PAD为正三角形，G为AD的中点, 所以PG±AD.由(1)知，BG±AD,又 PGA BG= G,所以 AD,平面 PGB.因为PB?平面PGB,所以 ADXPB.BGXAD.当F为PC的中点时，满足平面 DEFL平面 ABCD.证明如下：取 PC的中点F,连接 DE、EF、DF.在4PBC中，FE/ PB,在菱形 ABCD中，GB/ DE而 FE?平面 DEF,

18、DE?平面 DEF, EFA DE= E, PB?平面 PGB, GB?平面 PGRPBA GB= B,所以平面 DEF/平面 PGB.因为BG,平面 PAD, PG?平面PAD,所以BG± PGi 又因为 PG± AD, ADA BG=G,所以 PG,平面 ABCD. 又PG?平面PGB,所以平面 PGB,平面 ABCD, 所以平面DEFL平面ABCD.9 .【解】(1)证明：因为 PC平面ABCD,所以PCX DC又因为DC AC,且PCA AC= C,所以DC平面PAC(2)证明：因为 AB/DC, DC± AC,所以 AB± AC因为PC1平面A

19、BCD,所以PCX AB.又因为PCA AC= C, 所以AB,平面 PAC又AB?平面PAB,所以平面 PAB1平面 PAC (3)棱PB上存在点F,使得PA/平面CEF 理由如下：EF/ PA如图，取PB中点F,连接EF, CE, CE又因为E为AB的中点，所.又因为PA?平面CEF，且EF?平面CER所以PA/平面 CEF10 .证明 因为四边形 ABCD是矩形，所以 AB/CD. 又AB?平面PDQ CD?平面PDQ 所以 AB /平面PDC,又因为 AB?平面 ABE,平面 ABEA平面 PDC= EF,所以AB/ EF.(2)因为四边形 ABCD是矩形，所以 ABXAD. 因为 A

20、F± EF, (1)中已证 AB/ EF,所以 AB± AF.又ABLAD,由点E在PC上(异于点Q,所以点F异于点D,所以 AFn AD=A, AF, AD?平面 PAD, 所以AB,平面PAD,又AB?平面ABCD,所以平面 PAD_1平面 ABCD 11.(1)证明 因为AB=BC, AD=CD,所以BD垂直平分线段 AC 113又/ADC= 120。，所以 MD = 2AD = 5，AM=-.所以 AC= V3.又AB=BC= 4 所以 ABC是等边三角形，3 BM1BM BNMN / PD.所以BM = 2,所以而=3,又因为pn=pb,所以而=NP=3,所以 又

21、MN?平面PDC, PD?平面PDC,所以MN /平面PDC(2)解 因为PA1平面 ABCQ BD?平面ABCD,所以BD)1 PA, 又 BD, AC, PAA AC= A, PA, AC?平面 PAG 所以 BD,平面 PAC 由知MN/PD,所以直线MN与平面PAC所成的角即直线 PD与平面PAC所成的角, 故/ DPM即为所求的角.在 RtPAD中，PD= 2,1所以sin/DPM = Dp=| = ：,所以直线MN与平面PAC所成角的正弦值为1.12.【解】(1)取棱AD的中点M(MC平面PAD),点M即为所求的一个点.理由如下:1 一因为 AD/ BC, BC= 2AD,所以 B

22、C/ AM,且 BC= AM,所以四边形 AMCB是平行四边形，从而 CM/ AB.又AB?平面PAB, CM?平面PAB,所以CM /平面 PAB(说明：取棱PD的中点N,那么所找的点可以是直线MN上任意一点)1(2)证明：由，PAI AB, PAX CD,因为 AD/ BC, BC= 2AD,所以直线 AB与CD相交.所以PA1平面 ABCD,从而PAL BD,连接BM,1因为 AD/ BC, BC= £AD,所以 BC/ MD,且 BC= MD.1所以四边形BCDM是平行四边形.所以 BM = CD= ,AD,所以BDXAB.又ABAAP= A,所以BDL平面 PAB.又BD?

23、平面PBD,所以平面 PABL平面 PBD.13 .证明(1)在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，A1C1/AC在 ABC中，因为D, E分别为AB, BC的中点，所以 DE/ AC,于是 DE/ A1C1.又 DE?平面 A1C1F, A1C1?平面 A1C1F,所以直线DE/平面A1C1F.在直三棱柱 ABC A1B1C1中，A1AL平面 A1B1C1. 因为 A1C1?平面 A1B1C1,所以 A1A± A1C1.又 A1CA1B1, A1A?平面 ABB1A1, A1B1?平面 ABB1A1, AAnA1B1 = A1,所以Aoa平面 ABB1A1.因为B1D?平面 ABB

24、1A1,所以 A1C11 B1D.又 B1DXA1F, A1C1?平面 A1C1F, A1F?平面 A1C1F, A1C1nA1F= A1, 所以BDL平面A1C1F.因为直线 B1D?平面B1DE,所以平面 B1DEL平面 A1C1F14 .证明：(I)连接BC,那么。为B1C与BG的交点，. AO,平面 BB1C1C. /.AOIBC,2分因为侧面BB1C1C为菱形，；BCXB1C,分 BG，平面 ABC, v AB 平面 ABC, 故B1C± AB.份(H)作 ODL BC,垂足为 D,连结 AD, AO, BC, BC 平面 AOD, 又BC平面ABC,.平面 ABC1平面A

25、OD,交线为AD,作OH,AD,垂足为H,.OHL面ABC9分./CBB=60°,所以ACBB为等边三角形，又BC=1,可得O由于 AC，ABi,L3sJ , I x 1,由OHAD=ODOA,可得OH= * ,又。为BiC的中点，所以点Bi到平面ABC的距离为EJ ,所以三棱柱ABC-ABiCi的高高为 日。1力另解(等体积法)：./CBB=60°,所以ACBB为等边三角形，又BC=i,可得 BO= H ,由于 AC±ABi,； 日 ,AB=i, AC=H ,9分那么等腰三角形ABC的面积为3aM= I ,设点Bi到平面ABC的距离为d,由Vbi-abc=Va-

26、bbic得所以三棱柱ABC-ABiCi的高高为 日。i2分15 .(i)解如图，由AD/ BC,故/ DAP或其补角即为异面直线 AP与BC所成的角 因为ADL平面PDC,所以ADXPD.在RtPDA中，由，得AP=,故cos/ DAP=.所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为.(2)证明因为 ADL平面PDC直线PD?平面PDC,所以AD± PD.又因为BC/ AD,所以PD± BC又PD± PB,所以PDL平面PBC.(3)解过点D作AB的平行线交BC于点F,连接PF, 那么DF与平面PBC所成的角等于 AB与平面PBC所成的角.因为PDL平面PBC故PF为

27、DF在平面PBC上的射影,所以/ DFP为直线 DF和平面PBC所成的角.由于AD/ BC,DF/ AB,故BF=AD=i, 由，得 CF=BC-BF=2 AD± DC,故 BOX DC,在 Rt DCF 中，可得 DF=2,在 RtDPF 中，可得 sin/DFP=.所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为16 .【解】证明：延长AD, BE, CF相交于一点K,如下图.因为平面 BCFE1平面 ABC,且AC, BC,所以AC平面BCK因此 BF± AC.又因为 EF/ BC, BE= EF= FC= i , BC= 2,所以 BCK为等边三角形，且 F为CK的中点，

28、那么BF± CK所以BF，平面ACFD（2）因为BFL平面ACK,所以/ BDF是直线BD与平面ACFD所成的角.在 RtBFD 中，BF= g DF= |,得 cos/BDF=卑，所以直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为 手.17 .（1）证明由题设知，平面 CMD，平面ABCD,交线为CD.D因为BC± CD, BC?平面ABCD,所以BC,平面CMD,又 DM?平面 CMD,故 BC± DM.因为M为CD上异于C, D的点，且DC为直径，所以 DM，CM.又 BCA CM=C, BC, CM?平面 BMC,所以DM，平面 BMC.又DM?平面 AMD,故平面 AMD，平面BMC.（2）解当P为AM的中点时,MC/平面 PBD.证明如下：连接 AC, BD,交于点O.因为ABCD为矩形,所以。为AC的中点.连接OP,因为P为AM的中点,所以MC/OP.又MC?平面PBD, OP?平面PBD,所以 MC/平面 PBD.i18 .（i）证明：在题图（i）中，因为 AB=BC= 2AD= a,兀一一一.,E是AD的中点，/ BAD= ",所以BEX A