理论力学B(1)

1、运动学运动学-从几何角度研究物体的运动规律，如点从几何角度研究物体的运动规律，如点的运动方程（轨迹）、速度、加速度，刚体的转的运动方程（轨迹）、速度、加速度，刚体的转动方程，角速度、角加速度等动方程，角速度、角加速度等一、几个重要概念一、几个重要概念1.参考空间（参照系）参考空间（参照系）参考空间常与某物体（参照物）固连，参考空间常与某物体（参照物）固连，参照物参照物有限大，有限大，参考空间参考空间无限大无限大描述物体的运动必须指明相对于哪个参考空间描述物体的运动必须指明相对于哪个参考空间但但 参考空间参考空间 参照物参照物动系动系svyx定系定系参考系与运动描述参考系与运动描述2.坐标系坐标

2、系 在参考空间中选定，如在参考空间中选定，如直角坐标系直角坐标系、柱坐标系、柱坐标系、 球坐标系、球坐标系、自然轴系自然轴系等。等。3.运动的描述运动的描述运动学运动学-根据已知的运动学量求其他的运动学量根据已知的运动学量求其他的运动学量（1）矢量法矢量法-在参考空间中选定原点，描述物体在参考空间中选定原点，描述物体 任意时刻的矢径任意时刻的矢径 简单、直观，矢量方程，结论只与参考空间有关简单、直观，矢量方程，结论只与参考空间有关（2）分析法）分析法-建立坐标系，描述物体任意时刻的坐标建立坐标系，描述物体任意时刻的坐标 复杂，便于上机，标量方程，结论依赖于坐标系复杂，便于上机，标量方程，结论依

3、赖于坐标系由由运动方程运动方程(含时间含时间)或或运动轨迹运动轨迹(不含时间不含时间)描述。描述。任意时刻物体中任意质点的空间位置任意时刻物体中任意质点的空间位置 1.1 约束约束 1.2 广义坐标与自由度广义坐标与自由度 1.3 点的一般运动及其描述点的一般运动及其描述 1.4 刚体运动的分类刚体运动的分类 1.5 刚体的基本运动及其描述刚体的基本运动及其描述对于一个系统的运动如何描述？对于一个系统的运动如何描述？ 1.1 约束约束 约束是指物体的运动所受到的几何限制条件。约束是指物体的运动所受到的几何限制条件。自由物体自由物体-运动不受其他物体限制运动不受其他物体限制非自由物体非自由物体-

4、运动受到周围物体限制运动受到周围物体限制（1）柔绳约束，）柔绳约束， 刚性杆约束刚性杆约束(2)光滑面约束光滑面约束（3）光滑圆柱铰链约束）光滑圆柱铰链约束(4)光滑球铰链约束光滑球铰链约束BAC（5）固定铰支座）固定铰支座（6）活动铰支座）活动铰支座(7)固定端（固支端）约束固定端（固支端）约束 1.2 广义坐标与自由度广义坐标与自由度自由度自由度 S 广义坐标的个数广义坐标的个数广义坐标广义坐标qi 确定物体在参考空间中位置确定物体在参考空间中位置的一组独立的几何参数的一组独立的几何参数系统中各质点的空间位置是系统中各质点的空间位置是qi的函数，的函数，系统中各质点的速度是系统中各质点的速

5、度是qi和和 的函数，的函数，iq 系统中各质点的加速度是系统中各质点的加速度是qi、 和和 的函数的函数iq iq 空间运动空间运动 平面运动平面运动 质点质点 自由自由 S=3 S=2 非自由非自由 S3 S2 质点系质点系n个质点个质点 自由自由 S=3n S=2n 非自由非自由 S3n S2n刚体刚体无穷多质点无穷多质点 自由自由 S=6 S=3 非自由非自由 S6 S 0 a当当 指向未知时指向未知时假设假设 的指向为的指向为aaaea 0 假设方向对假设方向对a 0，则假方向设正确，若，则假方向设正确，若F0FF0F完全未知完全未知 建立坐标系建立坐标系xyz，分解为，分解为zyx

6、aaaa则则 为已知方位，未知指向和大小为已知方位，未知指向和大小zyxaaa,3.矢量分析矢量分析运动学中，常有矢量函数运动学中，常有矢量函数)(taa(1)矢量的导数矢量的导数ttattadtadt)()(lim0（2）矢量的微分）矢量的微分 ，常矢量常矢量 dtdtadad0ad（3）矢量微分的运算规则，若）矢量微分的运算规则，若)(),(taatmm332211332211332211)()()()()()()()(edaedaedaedaedaedaadtetatetatetataadmadmamd若若则则 1.3 点的一般运动及其描述点的一般运动及其描述一、点的运动的矢量描述，矢量

7、法一、点的运动的矢量描述，矢量法研究对象：点研究对象：点M，选定参考空间及一参考点，选定参考空间及一参考点OMr)(trr点的运动方程点的运动方程 （1.1）点的运动轨迹点的运动轨迹 - 的矢端图的矢端图r1.点的运动方程点的运动方程2.点的速度、加速度点的速度、加速度（1.2）rdtrdv速度大小速度大小 ： ，速度方向：沿轨迹切线，速度方向：沿轨迹切线， 指向运动方向指向运动方向dtr dvv1v2v3v （1.3）rdtvda 加速度大小加速度大小 加速度方向：速度矢端图的切线方向加速度方向：速度矢端图的切线方向rva 注意：注意： 都与参考空间有关都与参考空间有关)(),(),(tat

8、vtr二、点的运动的坐标描述，分析法二、点的运动的坐标描述，分析法选定参考空间，建立坐标系（直角坐标系或其他）选定参考空间，建立坐标系（直角坐标系或其他）运动方程运动方程运动轨迹运动轨迹x=x(t)y=y(t) (1.4） z=z(t)平面运动平面运动M为非自由质点，为非自由质点，S=2，可选择广义坐标，可选择广义坐标(t),(t)x=x( (t),(t) )y=y( (t),(t) ) (1.5)z=z( (t),(t) )OAB 速度速度 (1.6) zvyvxvzyx加速度加速度 (1.7)zzyyxxvzavyavxa 矢量法与分析法的关系矢量法与分析法的关系位置位置： （1.8）kt

9、zjtyitxtr)()()()(速度速度：kvjvivkdtdzjdtdyidtdxdtrdtvzyx)(（1.9）加速度加速度：kajaiakzj yi xdtvdtazyx )(（1.10）三、建立点的运动方程的方法三、建立点的运动方程的方法（1）建立坐标系建立坐标系，明确研究对象，自由度，选定广义坐，明确研究对象，自由度，选定广义坐标（多数选题中已给定随时间变化规律的几何参数）。标（多数选题中已给定随时间变化规律的几何参数）。（2）将点的坐标表示为广义坐标的函数，并将广义坐）将点的坐标表示为广义坐标的函数，并将广义坐标随标随 时间变化的规律代入。时间变化的规律代入。（3）进一步，由运动

10、方程求导可求速度、加速度。）进一步，由运动方程求导可求速度、加速度。例例1.2解：研究对象为小环解：研究对象为小环M（质点）（质点）M的自由度为的自由度为1，选广义坐标为，选广义坐标为 （1）将参考空间与大圆环固连，建立）将参考空间与大圆环固连，建立坐标系坐标系Oxy运动方程运动方程xM=OMcos =2Rcos cos =R(1+ cos 2 t ) yM=OMsin =2Rcos sin =Rsin2 t 相对于大圆环的速度相对于大圆环的速度tRyvtRxvMMyMMx2cos22sin2OO1xyxyBM小环小环M同时套在直杆同时套在直杆OB和大圆环（半径为和大圆环（半径为R）上，大圆环

11、固定不动，直杆绕上，大圆环固定不动，直杆绕O轴定轴转动，轴定轴转动， t , 分别求小环相对于大圆环和直杆的速分别求小环相对于大圆环和直杆的速 度、加速度。度、加速度。相对于大圆环相对于大圆环 的加速度的加速度tRvatRvaMyMyMxMx2sin42cos422小环相对于大圆环：小环相对于大圆环：)2sin2(cos4)2cos2(sin22j ti tRaj ti tRvMM22,2tan1tan222ttvvRvvvvMxMyvMyMxMttaaRaaaaMxMyaMyMxM2,2tantan4222相对于大圆环的速度相对于大圆环的速度tRyvtRxvMMyMMx2cos22sin2O

12、O1xyxyBM相对于直杆的加速度相对于直杆的加速度0cos22MyMyMxMxvatRva小环相对于直杆小环相对于直杆：i tRai tRvMMcos2sin22相对于直杆的速度相对于直杆的速度0sin2MMyMMxyvtRxv（2)将参考空间与直杆固连，建立坐标系将参考空间与直杆固连，建立坐标系Oxy运动方程运动方程0cos2MMytROMxOO1xyxyBM小环相对于直杆小环相对于直杆：i tRai tRvMMcos2sin22OO1xyxyMBMvMa2=2tMvMa22,2tan1tan222ttvvRvvvvMxMyvMyMxMttaaRaaaaMxMyaMyMxM2,2tanta

13、n4222小环相对于大圆环小环相对于大圆环绳的一端连在小车的A点上另一端跨过B点的小滑轮绕在鼓轮C上，滑轮离地的高度为h。若小车以匀速度v沿着水平方向向右运动，求当 时B、C之间绳上一点P的速度和加速度。45hPCABxvPvlPalsinxltanxh几何关系：2secv hsincospvvl2sincospvvcoshlcoslvsin2/2pvvv2232cos4vvhhcospav对时间求导hPCABxvPvl1.4 自然轴系（弧坐标系）自然轴系（弧坐标系）当点当点M在一条在一条上运动时，常选择该曲线作为上运动时，常选择该曲线作为自然坐标轴描述自然坐标轴描述M的运动。的运动。一、自然

14、轴系的建立，运动方程，运动轨迹一、自然轴系的建立，运动方程，运动轨迹设已知点设已知点M的运动轨迹为空间曲线的运动轨迹为空间曲线 ，其，其方程为方程为f1(x,y,z)=0f2(x,y,z)=0 (1.11）选择曲线上的弧长选择曲线上的弧长S为广义为广义坐标：任选曲线上一点坐标：任选曲线上一点，。O1S(+)S(-)MS S=S(t) (1.12)空间曲线的密切面空间曲线的密切面二、关于曲线几何性质的预备知识二、关于曲线几何性质的预备知识设空间曲线上任意一点设空间曲线上任意一点P1.切线切线PT: 单位矢单位矢 ，正向为，正向为S正向正向tedsrdet（1.13）2. 法平面：过法平面：过P点

15、垂直于切线的平面点垂直于切线的平面3. 密切面：过密切面：过P点的切线点的切线PT，且与法平面垂直，且与法平面垂直4. 主法线主法线PN：密切面与法平：密切面与法平 面的交线，单位矢面的交线，单位矢 ，正，正 向为指向曲线曲率中心向为指向曲线曲率中心ne 即即P点的弧段点的弧段ds所在平面，对平面曲线，密切面就是曲线所在平面，对平面曲线，密切面就是曲线ds所在的平面。所在的平面。构成构成P点的自然轴系基矢点的自然轴系基矢bneee,从切面从切面5.副法线副法线PB：垂直于：垂直于PT与与PN，单位矢为单位矢为 ， bentbeee(1.14)注意：自然轴系基矢量注意：自然轴系基矢量 ，但但bn

16、eee,可视为切线可视为切线 绕副法线绕副法线 的转角的转角tebe6. 曲率曲率曲率曲率-曲线在曲线在P点处无限小弧段点处无限小弧段ds(位于密切面内位于密切面内)的弯的弯曲程度曲程度dSdSkslim0(1.15)曲率半径曲率半径ddSk1（1.16） tenenete1sset(1.18)三、点的速度、加速度在自然轴系中的投影三、点的速度、加速度在自然轴系中的投影点的运动方程点的运动方程 S=S(t)点的速度点的速度 (1.19)te sdtdsdsrddtrdv00bntvvsv(1.20) tenenetete点的加速度点的加速度ntntnttttttaaesesse sesdtds

17、dsedsesdtedsese sdtddtvda 21)(1.21)ntedsed1(1.18)曲率半径曲率半径ddSk1（1.16）点的加速度点的加速度ntntnttttttaaesesse sesdtdsdsedsesdtedsese sdtddtvda 21)(1.21)022bntavsasa (1.22)沿该点切线沿该点切线方向方向沿该点主法线沿该点主法线方向方向位于该点位于该点密切面内密切面内切向加速度切向加速度全加速度全加速度ta法向加速度法向加速度ana22vsavsant anatavssv若已知若已知v(t), a(t),则则22tntaaava 四、其他坐标系四、其他坐

18、标系 柱坐标、球坐标、极坐标（参见教科书）柱坐标、球坐标、极坐标（参见教科书）全加速度的大小全加速度的大小222222tan)(ssaassaaantnt 方向方向 为全加速度矢量为全加速度矢量与主法向的夹角与主法向的夹角anatavs例例1.3 同例同例1.2，试求小环的速度、加速度在自然轴，试求小环的速度、加速度在自然轴系中的投影。系中的投影。 已知已知 （1）t (2) A sin t 1）当）当t 运动方程运动方程S(t)=M0M=2R= 2Rt 方向如图方向如图tteRvRsvv22 方向如图方向如图22222440RRRvsavsant nneRaa24OO1xyB 解：小环相对于

19、固定参考空解：小环相对于固定参考空间的轨迹为大圆环，取间的轨迹为大圆环，取t=0时时小环的位置小环的位置M0为原点，逆时为原点，逆时针方向针方向S为正。为正。vaOO1xyB 2)当当A sin t S(t)=2R2RA sin t tARtRARvatARsvatARsvvntt222222222cos4cos4sin2cos2 nttaaae tARvcos2vatana需要注意的几个问题需要注意的几个问题3、解题过程一定要、解题过程一定要速度、加速度方向和符速度、加速度方向和符 号。号。2、速度、加速度均为矢量，一定要表、速度、加速度均为矢量，一定要表 示清楚其示清楚其和和。 1.4 刚体运动的分类刚体运动的分类1. 平移平移(平动平动)刚体上任意一条直线在运动中始终平行。各点的刚体上任意一条直线在运动中始终平行。各点的轨迹都相同（各点的速度、加速度都相同）。轨迹都相同