第六章控制系统设计

1、201326.1 概述 Introduction 6.2 常用校正环节 Compensation Networks 6.3 基于频域法的串联校正 Cascade Compensation Using the Bode Diagram 6.4 基于根轨迹法的串联校正 Cascade Compensation Using the Root Locus36.1 概述概述1)分析性能指标性能指标时域：ess ；% , Ts , Tr 等等频域：ess ； g , gm , wc , wg , Mr , wr 等等按照某一类设计准则，给出积分型性能指标,如: 等等。根据控制对象、过程的性质及生产工艺要求

2、等，审查、分析给定的性能指标，确定是否合理，提出修改意见。min)(min,)(002dttetITAEdtteISETT 确切地制定出性能指标，是控制系统设计中的一项确切地制定出性能指标，是控制系统设计中的一项最重要的工作。最重要的工作。42)建立系统数学模型数学模型(系统的结构图)已知：对象，执行元件，反馈检测元件等确定各环节传递函数及相应的参数(分析法，试验测量法)3)检查稳态精度稳态精度和动态响应指标动态响应指标(分析哪些指标不合要求)4) 对系统进行校正对系统进行校正(补偿补偿)：加校正环节确定校正环节的形式和参数5)检查校正后的各项指标 如不满足，再调整校正环节，直到满意为止。经典

3、控制理论的设计，校正方法是试探法试探法。可应用计算机仿真进行辅助设计。5加入，使系统达到要求的性能指标。1) 校正方式校正方式串联校正局部反馈校正6前馈校正复合校正7输出校正输入校正c82) 校正方法校正方法a) 满足稳态精度稳态精度(静态指标)提高开环增益(增大K)；加入积分环节 1/s (会影响稳定性)；b) 满足动态指标动态指标频率法频率法: 调整g , gm , wc 等(修正静态指标也很方便)根轨迹法根轨迹法: 调整闭环极点位置一般，给出频域指标，常用频率法； 给出时域指标，常用根轨迹法；(也可将时域指标转换为频域指标，而采用频率法)9由低频低频段段: 反映系统的稳态特性(希“高”“

4、陡”)；中频段中频段(幅穿频率wc附近): 反映系统的相对稳定性，动态指标(要求的稳定裕量等)；高频段高频段: 反映系统的滤波特性(系统阶次)；低频段低频段：40dB/dec中频段中频段：20dB/dec高频段高频段：60dB/dec工程上的一种希望，“2/ 1/ 3”特性：-60dB/dec10考察增加开环零点、极点对原根轨迹的影响：增加开环零点、极点改变根轨迹改变闭环极点位置改变系统指标11传递函数(根据无源网络)CsRRRRCsRRRRCsRRRRCsRRCsRRRRZZZsUsUsGRZCsRRCsRCsRZioc212112122121121122212221111111)1 (1)

5、()()(,1/1/12CRRRRTRRRd2121221, 1零点： 极点：ddTz1ddTp1ddddcpszssTsTsG111)(6.1)ddpz ：wwwddcjTTjjG111)(转折频率：ddddpTzT1,121ww1)(,1)(0wwwwjGjGcc其中-13dddmTTTw111(6.2)1211ddTTww和ddmTT1lg1lg21lgw(6.3)11sin1m(6.4)mmsin1sin1(6.5)容易证明， wm是 的几何中点：或或14超前校正，要确定 和 Td：dmmTwwm处的对数幅值Lc(wm)为：wwlg10lg201lg20)(lg20)(mcmcjGL(

6、6.6)超前校正主要是利用超前校正环节的。15传递函数(根据无源网络)1)(1)()()(11,21221222211CsRRCsRZZZsUsUsGCsCsRCsRZRZioc16(6.7)CRRTRRRi21212, 1零点： 极点：iiTz1iiTp1iipz ：wwwiicjTTjjG11)(转折频率：iiiizTpTww1,121iiimTTTw111)(11sin1为负角mm(6.8)其中-iiiicpszssTsTsG11)(17采用滞后校正，是其，而它的。传递函数(根据无源网络)sCsCRsCRZsCRRsCRsCRZ2222221111111111,111181)() 1)(

7、1()()()(212211222112211212sCRCRCRsCRCRsCRsCRZZZsUsUsGioc其中;/,;/,22221111CRTCRTCRTCRTddii由12211didiTTCRCRTT注意：11,1;idTT ddiiddiicpszspszssTsTsTsTsG1111)(6.9)1912341111;iiddiidiiddpzzpTTTTdpzzpwwww-dp- - - -ddiipzzp20比例增益比例增益KP积分增益积分增益KI微分增益微分增益KDPID控制器是工业过程中广泛采用的一种控制器，也称为三项控制器控制器传函：sKsKKsGDIPc)(6.10)

8、21给出KP=2, =10时，以wt 为自变量的Bode图：sssKssKKsKKKsGIIPIDIc111)(2tt22(6.10)中，当KD = 0, 或KI = 0 时，可分别得到： ： sKKsGIPc)(sKKsGDPc)(6.12)(6.13)PID控制器传函中的微分项实际上多为：其中tD 远小于受控对象的时间常数。1)(ssKsGDDdt(6.11)231)(ssKsGDDdt相当于PD控制器中的微分环节采用 , 为带有滤波环节的PD控制器。的极点和零点一般为一对偶极子且紧靠坐标原点(这时, Ti1, 很小), 滞后校正环节近似为PI控制器。：系统中相距很近(相对于其他极点、零点

9、)的一对极点和零点。这时零、极点到离它们较远的点的矢量近似相等。24性能指标以频域指标给出，如相角裕量、增益裕量、幅穿频率、相穿频率等，宜采用频率法校正。有时，给出的时域指标，也可转换为频域指标，而采用频率法校正。改善静态特性：增大开环增益改善动态特性：超前校正环节转折频率1/Td和 1/Td 选择在预定的幅穿频率wc 的两边，使wm = wc ，提高相角裕量。25)2(4)(sssGo解：1) 考虑稳态误差，加入Kc1 20224lim)(lim11010ccsocsvKsKsGKsK101cK取 设计校正环节 Gc(s) 使系统满足： Kv 20s-1 , 相角裕量 g 50, 增益裕量

10、gm 10dB.被控对象 控制系统如图所示。26相频特性修正：dBjjjjjGKoc2620lg20) 12(20)2(40)(1wwwww2) 画出Kc1Go(jw)的Bode图：220.8 1251012.620100-180-135-90Frequency (rad/sec)Phase (deg)40 46-2002026Magnitude (dB)-40dB/dec-20dB/dec280.11210100-180-90Frequency (rad/sec)Phase (deg)-20020 2640 46Magnitude (dB)6.3-162w wcog gc

11、o18-40dB/dec-20dB/dec29由Bode图读出：wc0 = 6.3 rad/sec g0 = 18, gm =要使g 50，应该加入超前校正环节：所缺相角： g g0 = 5018= 3211111)(2121sTsTKKTsTsKKpszsKsGddccddccddcc303) 确定校正环节的参数： 考虑到，加超前校正环节会使(wc右移)，g 因此，计算 m 时应预留一个相角e (e 的取值可视wc 附近相频特性下降的快慢而定，可参考幅频特性在wc 附近的斜率；40dB/dec 时可取e =5 10，60dB/dec 时可取e =15 20)310.11210100-180-

12、90Frequency (rad/sec)Phase (deg)-20020 2640 46Magnitude (dB)6.3-162w wcog gco18-40dB/dec-20dB/dec323) 确定校正环节的参数： 考虑到，加超前校正环节会使(wc右移)，g 因此，计算 m 时应预留一个相角e (e 的取值可视wc 附近相频特性下降的快慢而定，可参考幅频特性在wc 附近的斜率；40dB/dec 时可取e =5 10，60dB/dec 时可取e =15 20)取 m 5018 e 37 249. 01,023. 4sin1sin1mm33023. 4122ccKKdmcTww1wwww

13、mdmdcmdmdjTTjKjTTj1111112dBjTTjKmdmdc6lg2011lg202ww 为了使Kv不下降， 应使 选择 wm: 使wm = wc (校正后) 以充分利用超前相角当 时上升了34处，就可以使新的幅穿频率wc = wm 由Bode图上读出 wc = wm 9 rad/secdBjGKoc6)(lg201w因此，将wm选在原Kc1Go(jw)的幅频特性 35 -60.11210100-180-90Frequency (rad/sec)Phase (deg)-20020 2640 46Magnitude (dB)6.3-162-130w wcog gcow wm= w

14、wc918-40dB/dec-20dB/dec36确定超前校正环节：sssspszsKsGKKKKKTTTTddcccccccdddmd055. 01223. 011005.18487. 42 .40)(10, 2 .40487. 41,223. 005.181,0554. 005.1811121w37 -60.11210100-180-90Frequency (rad/sec)Phase (deg)-20020 2640 46Magnitude (dB)6.3-162-130w wcog gcow wm= w wc94.4918.051/ Td1/Td 040 m m18g g50w=Kv=

15、20 -40dB/dec-20dB/dec384) 由校正后系统的Bode图，检验性能指标：sec/9,50,201radgsKcmvwg频带加宽了，响应速度(略为)变快些012345600.81.8Step ResponseTime (sec)Amplitude391) 根据静态误差系数，确定附加增益Kc1；2) 画出Kc1Go(jw)的Bode图，得到go 和 gmo；并根据wc附近频率特性下降的情况取相角预留量e ；于是，超前环节的最大超前相角m取为： m g go e3) 由 计算系数 1/4) 选取wm 位于校正后的wc 处: wm =wcmms

16、in1sin1405) 由 , 计算Td 于是可得出超前校正环节的转折频率6) 确定补偿超前环节增益衰减应附加的增益，即 , 则超前环节总的附加增益Kc=Kc1Kc27) 作出校正后系统的Bode图，检查多项性能指标是否满足要求。dmTw1ddTT1,112cK411) 若需要m 太大时( 60),串联一个超前环节难以满足要求。2) 若原系统 Go(jw) 的相频特性 o(w) 在wc 附近下降太快时，超前校正往往无效. o(w) 在wc 附近下降太快预留量e m 原 wco 距 wm 越远所需要预留量 e 越大。42校正前系统在幅穿频率wc 附近相频特性下降很快，一般采用超前校正往往无效。此

17、时，若对校正后系统的幅穿频率要求不高时，可考虑采用滞后校正滞后校正。利用滞后环节中、高频段的幅值衰减特性，使校正后的幅穿频率wc下降(左移)，以获得要求的相角余量；避免滞后相角：使最大滞后相移角处的频率wm 远离幅穿频率 wc ，即wm 3.5600635) 为使校正后幅穿频率 wc = 4 ，加入Kc2 考虑直线方程 yc = k ( xc - x0 ) = 20( lgwc lgw0 ) = 20 lg(wc/w0 ) 令 由图中读出0)(lg20lg201cococjGKwww00. 211lg20)lg1(lg20lg2022odcododcTKTTKwww于是，3621821cccK

18、KKdBjGKcoc44. 5)(lg201w48. 71048.1704.1244. 5lg20)(lg20lg202048.171occocodBjGKwwww64023.5Magnitude (dB)Frequency (rad/sec)-5.445.4420lg|Kc1Go(jw w)|20lg|Kc2Gc1(jw w)|1/ Td1/Td20lg|Kc2|yc = 20lg(w wc / /w wo )w wo4w wc656) 确定滞后部分: 60m57)(ccw由知滞后部分在wc=4rad/sec 处的滞后相角 ci(wc) 应有：| ci(wc) | 3取 或464. 78di

19、TT134. 01811diTT96.103,01. 00096. 011iiiiTTTT滞后超前校正环节：93.1407. 101. 013. 0361067. 01933. 0196.103146. 736)()(1sssssssssGKsGccc6610-210-1100023.5Magnitude (dB)Frequency (rad/sec)Phase (deg)10-230-180-90600w wc=4677) 画出校正后系统的Bode图，检验性能指标:dBgradKmcv13,51sec,/4sec302151gw681) 根据稳态指标，确定附加增益Kc；2) 绘制Kc1Go(

20、jw)的Bode图，得go 和gmo ；3) 由该Bode图和指标要求，确定新的幅穿频率wc ;并参考超前校正环节的设计，确定超前部分的 和Td ；4) 根据幅频特性，加Kc2(Kc21), 以使校正后系统的幅穿频率为wc ，即:dBjGjGcocc0| )()(|lg20ww695) 确定滞后部分的参数Ti 和 1/，使得在wc处的滞后相角不大于超前部分在wc 处预留的相角滞后量；6) 绘制校正后系统 Gc(jw)Go(jw) 的Bode图，检验系统的性能指标是否满足要求。70性能指标以时域指标给出，如超调量、调整时间、上升时间等，以及希望的闭环主导极点的阻尼比、无阻尼自然振荡频率等，常采用

21、校正。：根据性能指标，通过在s平面上恰当安置校正环节的零点和极点位置，使系统根轨迹朝着要求的性能指标的方向变化。根据s平面上闭环极点和零点的位置，直接估算性能指标。往往通过选择一对闭环主导极点，使校正后的系统满足性能指标。71：通过合理配置超前校正环节的一对零、极点，改变根轨迹的形状，以获得希望的系统根轨迹。主要用于改善动态指标。72 控制系统如图所示:被控对象 设计校正环节 Gc(s) 使系统满足：1. 超调量 s% 17%，2. 调整时间 Ts 2 s，3. 静态速度误差系数 Kv 5s-1 。)2(4)(sssGo73解：1. 分析分析：校正前原系统 的根轨迹)2()(ssKsGoK=4

22、时,原系统特征方程3104)2(0jsss2, 5 . 0,60000nw52)(lim244%17%3 .16%100%000012ssGKTesvnswss-1-20wjs-1-2021wnj60nw5 . 0nw0s74仅增大增益K:%,swwnsnvTKK不变不变s% 已经接近指标,因此保持 0.5 不变；, 24, 5 . 0nsTw由考虑4nwwjs-1-2021wnj60nw5 . 0nw0s将闭环极点s0沿射线0.5 移动到s1, 不变, wn 增大： 0.5 , wn 4wjs-1-2060nw5 . 0nw0s1s75wjs-1-2060nw5 . 0nw0s1s1coss

23、in22 323.46nnsjjjww 串联校正环节在 s1 点应有的相角，由：wjs-1-2060nw5 . 0nw0s1s)(180)() 12(180)()(101110sGsGksGsGccc30210180)(18010sGc2109012032)322()2()(110jjsssGss 超前相角)762. 校正方法校正方法：串联一个超前校正环节11)(sTsTKpszsKsGddcddcc30)(1sGcc1) 确定Td 和 作图法计算法77作图法As1a) 过s1 点, 作 平行于负实轴;Bs1b) 作 的角平分线 ;AOs1Cs1c) 用 分别做出 和 ;2cDs1Cs1d)

24、和 与负实轴的交点即为 的零点 和极点 ;)(sGcDs1dpdz由图上读出：4 . 514 . 59 . 219 . 2ddddddpTpzTzwjs-2Oj2j41swjs-2Oj2j41sAwjs-2Oj2j41sAB6060wjs-2Oj2j41sACDBcwjs-2O-5.4j2j41sA-2.9CDBcwjs-2O-5.4j2j41s-2.978计算法( 根据作图法 ),sin)sin(,sinsinwwncdndpz于是, 可得计算公式：ncdncndpzwwwsin)sin()sin(sinsinsin(6.18)(6.19)c18021(6.17)wjs1scdzdp79容易

25、证明，实际上, 超前环节只要提供 c =30的超前相角即可，给出的作图法及计算法，是以1/ 为最大(为最小)为条件给出的。为最大 (即 最小),111ddddTTpzc18021相当于利用了最大超前相角。当 时,80本例中,由计算法:464. 5445sin75sinsin)sin(928. 2475sin45sin)sin(sin4530601802118021ncdncdcpzww2) 确定s = s1时的K值(即Kc):)2(44 . 59 . 2)()(ssssKsGsGcoc根据幅值条件1)()(11sGsGoc698. 4479.18329 . 0432322324 . 3jjjj

26、Kc813) 检验性能指标:a) 检查s1 是否为主导极点)9 . 2(79.18)4 . 5)(2()9 . 2(79.18)()(ssssssRsY特征多项式：)4 . 3)(322)(322(49.5459.294 . 7)(23sjsjsssssd第三个闭环极点 , 与闭环零点 很靠近, 作用相消, 对瞬态响应影响很小可以认为 为主导极点。4 . 33 p9 . 2 z1,2-22 3pj823) 检验性能指标:b) 只考虑主导极点, 按二阶无零点系统近似估算：满足性能指标要求。045. 5)4 . 5)(2()9 . 2(79.18lim)()(lim24%3 .16%00ssssH

27、ssGKTssvnsws831) 根据动态性能指标动态性能指标，确定希望的闭环主导极点闭环主导极点的预期位置；2) 绘制原系统的根轨迹图根轨迹图，验证未校正系统能否具有预期主导极点。如有，则只需调整增益值；若无，则计算要通过预期闭环极点未校正系统所需的相角缺额，即为超前校正环节应提供的超前相角c；843) 根据c , 确定超前校正环节的零点零点和极点极点；4) 根据幅值条件，确定校正环节附加增益增益Kc ；5) 检验校正后系统的性能指标：检查预期的闭环极点是否为主导极点；如是，按无零点二阶系统估算性能指标。如不能满足性能指标，则需要修正参数，直到满足要求。(最好辅以计算机仿真)。85当动态性能

28、指标满足要求，稳态误差不满足要求时，考虑采用串联滞后校正滞后校正。加滞后校正滞后校正环节：iiciiccTsTsKsTsTKsG1111)(保持动态性能闭环主导极点附近的根轨迹不应有明显的变化滞后环节在闭环主导极点处产生的相移角尽量小滞后校正环节的零、极点尽量靠近原点(“偶极子”)。86设原系统开环传函Go(s)为 “1”型系统，静态速度误差系数为： 加串联滞后校正后，静态速度误差系数提高了Kc倍。而在主导极点 s1 处，使得对 s1 附近的根轨迹影响较小(滞后校正环节为“偶极子”)。)(lim0ssGKosvovococsvKKsGssGK)()(lim0111)(111cKcssiicss

29、cKTsTsKsG87 控制系统如图所示:被控对象 设计校正环节 Gc(s) 使系统满足：1. Kv 5sec-1 ；2. 动态性能指标基本不变。)2)(1(05. 1)(ssssGo88解：校正前原系统 的根轨迹K=1.05时,原系统特征多项式特征多项式)34. 2()58. 033. 0()58. 033. 0()34. 2()445. 066. 0(05. 1)2)(1()(20sjsjssssssssD)2)(1()(sssKsGo主导极点主导极点：58. 033. 002,01jpwjs-2-10j1-j1-p01-p028910sec525. 0)2)(1(05. 1limssss

30、Ksvo667. 0445. 05 . 0noow根据要求：动态性能保持不变5525. 0vvoKKa) 加Kc ，使K;b) 在中频段要用滞后环节将Kc衰减，使Kc 1, 以保持原动态性能;wjs-2-10j1-j1-p01-p0290选取参数 Ti , , 要求:Kc10, 取 1/ 10 , 0.1iiccTsTsKsG11)(Go(s)的最大时间常数为1秒, 取Ti 20, Ti 200则:005. 005. 0101200120)(ssKssKsGcccwjs-2-10j1-j1-p01-p029158. 033. 001jp49. 325.11977.115)005. 058. 0

31、33. 0()05. 058. 033. 0()005. 0()05. 0()(58. 033. 001jjsssGjspscc 在p01处, 根轨迹变化不太大在 点处的相移角:wjs-2-10j1-j1-p01-p0292)005. 0)(2)(1()05. 0()2)(1(05. 1005. 005. 010)()()(sssssKsssssKsGsGsGcoc1005. 1cKK 取该根轨迹与 0.5 的射线的交点为新的闭环极点： p1,2 = 0.31j0.54wjs-2-10j1-j1wjs-2-10j1-j1-p1-p2wjs-2-10j1-j1-p1-p2wjs-2-10j1-j1-p1-p2wjs-0.05093wjs-2-10j1-j1-p1-p262. 905.