第二节数量值函数的曲面积分

1、第二节第二节 数量值函数的曲面积分数量值函数的曲面积分 ( (第一类曲面积分第一类曲面积分) )一、概念的引入一、概念的引入二、第一类曲面积分的定义二、第一类曲面积分的定义三、第一类曲面积分的计算法三、第一类曲面积分的计算法一、概念的引入一、概念的引入 所谓曲面光滑所谓曲面光滑即曲面上各点处都即曲面上各点处都有切平面有切平面, ,且当点在且当点在曲面上连续移动时曲面上连续移动时, ,切平面也连续转动切平面也连续转动. .oxyz引例引例: : 设曲面形构件具有连续面密度设曲面形构件具有连续面密度),(zyx 类似求平面薄板质量的思想类似求平面薄板质量的思想, , 采用采用kkkkS ),( n

2、k 10lim M),(kkk“分割分割, , 近似近似, , 求和求和, , 取极限取极限”的方法的方法, ,可得可得求质量求质量M. .其中其中, , 表示第表示第 i 小块曲面的直径的小块曲面的直径的最大值最大值 ( (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). ). 二、第一类曲面积分的定义二、第一类曲面积分的定义 设曲面设曲面 是光滑的是光滑的, , 函数函数),(zyxf在在 上有界上有界, , 把把 分成分成n小块小块iS （iS 同时也表同时也表示第示第i小块曲面的面积）小块曲面的面积）, ,设点设点),(iii 为为iS 上任意取定的点上

3、任意取定的点, ,作乘积作乘积 ),(iiif iS , , 并并作作和和 niiiif1),( iS , , 如如果果当当各各小小块块曲曲面面的的直直径径的的最最大大值值0 时时, , 这这和和式式的的极极限限存存在在, , 则则称称此此极极限限值值为为数数量量值值函函数数),(zyxf在在曲曲面面 上上对对面面积积的的曲曲面面积积分分或或第第一一类类曲曲面面积积分分. . 1.1.定义定义 Szyxfd),(记为记为 Szyxfd),(iiiniiSf ),(lim10 即即2.2.第一类曲面积分的存在性第一类曲面积分的存在性叫叫被被积积函函数数，其其中中),(zyxf,叫叫积积分分曲曲面

4、面 .d 叫叫曲曲面面面面积积元元素素S.d),(,),(存在存在第一类曲面积分第一类曲面积分上连续时上连续时在光滑曲面在光滑曲面当当 Szyxfzyxf注意：注意：.d),(),()1 Szyxfzyxf曲曲面面积积分分常常记记为为上上第第一一类类在在闭闭曲曲面面函函数数.d,1),()2的的面面积积曲曲面面时时当当 Szyxf3.3.第一类曲面积分的性质第一类曲面积分的性质1) 第一类曲面积分具有线性性质第一类曲面积分具有线性性质, ,.d),(,),(,),()3 SzyxMzyxzyx则物质曲面的质量为则物质曲面的质量为上连续上连续在在若若时时若物质曲面的面密度为若物质曲面的面密度为则

5、则及及可可分分为为分分片片光光滑滑的的曲曲面面若若,)221 .d),(d),(d),(21 SzyxfSzyxfSzyxf三、第一类曲面积分的计算法三、第一类曲面积分的计算法.d)3;),()2;),(,)1,是曲面上的面积元素是曲面上的面积元素上的上的是定义在曲面是定义在曲面上连续上连续在在是光滑或分片光滑的是光滑或分片光滑的但要注意：但要注意：积分计算积分计算在一定条件下化为二重在一定条件下化为二重Szyxfzyxf 按照曲面的不同情况分为以下三种：按照曲面的不同情况分为以下三种：),(. 1yxzz 可可表表示示为为若若曲曲面面 ,面上的投影区域面上的投影区域在在为为有界闭区域有界闭区

6、域xoyDxy ,),(上连续上连续在在 zyxf,d),(存在存在则则 Szyxf;dd1),(,22yxzzyxzyxfxyDyx Szyxfd),(且有且有, ),(yxzz 的的方方程程可可以以化化为为曲曲面面 :二重积分二重积分上计算上计算面上的投影区域面上的投影区域在在在在xyDxoy ,d),(时时计算计算 Szyxf.dd1),(,22即可即可yxzzyxzyxfxyDyx ：换换为为只只要要把把Sd221xyzzdxdy,),(代入代入的方程的方程用用yxzzz 当当 为为 xoy 平面上的区域平面上的区域 D 时，时， 即是即是 D 上的二重积分，上的二重积分， Szyxf

7、d),( Szyxfd),( Dyxyxfdd)0 ,(.1432,d)342(位位于于第第一一卦卦限限部部分分为为平平面面计计算算 zyxSzyxI 例例1 1.1432,d)342(位位于于第第一一卦卦限限部部分分为为平平面面计计算算 zyxSzyxI 例例1 1221, ,0234424(1) 12( )3233xyx yxyIxydxdy.1,)d(2222的的边边界界曲曲面面为为立立体体其其中中计计算算 zyxSyxI 例例2 2.1,)d(2222的的边边界界曲曲面面为为立立体体其其中中计计算算 zyxSyxI 例例2 21222222212222222222211:1,1;:1(

8、)()()() 2xyxyzxyxyzIxy dSxy dSxy dxdyxydxdy.,d22222所所围围立立体体的的表表面面和和锥锥面面为为球球面面计计算算yxzyxRzSzI 例例3 3122222222122222222222222/ 222/ 2:,/2;:,/2.2xyRxyRzRxyzRzxyzRIRxy dSxy dSRRxydxdyRxyxydxdy;dd1),(,22zxyyzzxyxfxzDzx Szyxfd),(则则.dd1,),(22zyxxzyzyxfyzDzy Szyxfd),(),(. 3zyxx 可可表表示示为为若若曲曲面面 则则2. 若曲面若曲面 可表示成

9、可表示成 y = y(x,z)说明：说明：.,的方程的表达式的方程的表达式影取决于影取决于向哪个坐标面投向哪个坐标面投但把但把化为二重积分来计算化为二重积分来计算投影到坐标面上投影到坐标面上是将是将计算第一类曲面积分计算第一类曲面积分 .),(,的的形形式式的的方方程程可可以以表表示示为为则则要要求求面面投投影影若若向向yxzzxoy .),(,.),(,的形式的形式的方程可以表示为的方程可以表示为则要求则要求面投影面投影若向若向的形式的形式的方程可以表示为的方程可以表示为则要求则要求面投影面投影若向若向zyxxyozzxyyxoz 1zyx11o0,0,0,1 zyxzyx的表面的表面, ,

10、 计算计算(1)(1).d)1(12 SyxI例例4 4 设设 是四面体是四面体(2) 计算计算.d SxyzI1zyx11o.d)1(12 SyxI(1)(1)1234221,1,0,00,0221,1,0,00,0:1,0,0,0;:0,1,0,0;:0,1,0,0;:0,1,0,0.1131(1)(1)11(1)(1)xyxyxyxyyzzxyzzxxyzxyzzxyxyxyzyzyzxzxIdxdydxdyxyxydydzdyx zdx1zyx11o(2) 计算计算.d SxyzI12341,0,0:1,0,0,0;:0,1,0,0;:0,1,0,0;:0,1,0,0.(1)30 x

11、yxyxyzxyzzxyxyxyzyzyzxzxIxyxydxdy .0,d1222222之间的部分之间的部分与与介于介于为圆柱面为圆柱面计算计算RzzRyxSzyxI 例例5 5注：注：.,),(222面作投影面作投影向向故不能将故不能将的形式的形式不能表示为不能表示为因圆柱面因圆柱面xoyyxzzRyx .0,d1222222之间的部分之间的部分与与介于介于为圆柱面为圆柱面计算计算RzzRyxSzyxI 例例5 52222122222,02222,02222,0:,0;:,0.1112RxRzRRxRzRRxRzRyRxyyRxyRIdxdzRzRxRdxdzRzRxRdxdzRzRx 4

12、. 4. 利用对称性简化计算：利用对称性简化计算：则则上的连续函数上的连续函数为为对称对称关于平面关于平面与与其中其中设曲面设曲面,),(,0,2121 zyxfz ;0d),(,),( Szyxfzyxf为奇函数时为奇函数时关于关于当当z2;d),(d),(d),(,),(21 SzyxfSzyxfSzyxfzyxf为偶函数时为偶函数时关于关于当当z2例例 1 1 计计算算Szyxd22 ,其其中中 为为球球面面2222azyx . 四、几何与四、几何与物理意义物理意义,),()1(的面密度时的面密度时表示表示当当 zyx;d),( SzyxM;d,1),()2(Szyx的面积时当,)3(轴

13、及原点的转动惯量轴及原点的转动惯量、轴轴轴、轴、曲面块对曲面块对zyx,d),()(22 SzyxzyIx曲面块的重心坐标曲面块的重心坐标)4(.dd,dd,dd SSzzSSyySSxx,d),()(22 SzyxxzIy,d),()(22 SzyxyxIz,d),()(222 SzyxzyxIO其中其中的引力为的引力为处的单位质点处的单位质点外的点外的点对位于对位于, ),(),()5(0000zyxFFFFzyxM ,d),()(30 SrzyxxxkFx,d),()(30 SrzyxyykFy,d),()(30 SrzyxzzkFz,为引力系数为引力系数式中式中 k,)()()(202

14、020zzyyxxr 补充补充: :,有轮换对称性有轮换对称性若曲面若曲面 Szyxfd),( Syxzfd),( Sxzyfd),(.轮换对称性轮换对称性即第一类曲面积分也有即第一类曲面积分也有).0,0,0( ,1:,dd)(zyxzyxSxSyx其中及计算例则有：则有：P225. 1(10) 设设),0(:2222 zazyx 为1在第一卦限中的部分在第一卦限中的部分, , 则有则有( ).;d4d)(1 SxSxA;d4d)(1 SxSyB;d4d)(1 SxSzC.d4d)(1 SzyxSzyxDC( 2000 考研考研 )五、小结五、小结2、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影、对

15、面积的曲面积分的解法是将其化为投影域上的二重积分计算域上的二重积分计算.1、 对面积的曲面积分的概念对面积的曲面积分的概念; dSzyxf),(iiiniiSf ),(lim10 （按照曲面的不同情况分为三种）（按照曲面的不同情况分为三种）思考题思考题 在对面积的曲面积分化为二重积分在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中的公式中, 有因子有因子 , 试说明试说明这个因子的几何意义这个因子的几何意义.221yxzz 思考题解答思考题解答是曲面元的面积是曲面元的面积,dS2211),cos(yxzzzn 221yxzz 故故 是曲面法线与是曲面法线与 轴夹角的余弦轴夹角的余弦的倒数的倒数.z一、一

16、、 填空题填空题: :1 1、 已知曲面已知曲面 的面的面a积为积为, , 则则 ds10_；2 2、 dszyxf),(= = yzDzyzyxf),),(_dydz；3 3、 设设 为球面为球面2222azyx 在在xoy平面的上方部平面的上方部分分, ,则则 dszyx)(222_；4 4、 zds3_, ,其中其中 为抛物面为抛物面)(222yxz 在在xoy面上方的部分；面上方的部分；5 5、 dsyx)(22_, ,其中其中 为锥面为锥面22yxz 及平面及平面1 z所围成的区域的整个边界曲面所围成的区域的整个边界曲面. .练练 习习 题题二、计算下列对面积的曲面积分二、计算下列对面积的曲面积分: :1 1、 dszxxxy)22(2, ,其中其中 为平面为平面 622 zyx在第一卦限中的部分；在第一卦限中的部分；2 2、 dszxyzxy)(, ,其中其中 为锥面为锥面22yxz 被被 柱面柱面axyx222 所截得的有限部分所截得的有限