微积分II期末模拟试卷三套及答案

1、微积分II期末模拟试卷1（满分：100分；测试时间：100分钟）一、填空题（3X5=15）n11、哥级数'的收敛区间为n1n22、由曲线y3x及直线y2x所围成平面区域的面积是22xx23、改变dxfdy的积分次序12xJ4、微分方程yy2y0的通解y5、设an（2）求抛物线yx4x3及其在（0,3）和（3,0）处的切线所围成图形的面积。n1xn1&xndx,则极限limnan等于20n二、选择题(3X5=15)6、定积分xxexdx的值是()。2(A)0;(B)2;(C)2e2+2;(D)3e7、一曲线在其上任意一点（x,y）处的切线斜率等于处，这曲线是（）y（A）直线;（B

2、）抛物线;(C)圆;（D）椭圆8、设函数z丫fxy,其中f可微，则()xyxy2,、2(A)2yf'(xy)(B)2yf'(xy)(C)f(xy)(D)-f(xy)xx9、设函数zfx,y的全微分为dzxdxydy,则点0,0（）A不是fx,y的连续点.B不是fx,y的极值点.C是fx,y的极大值点.D是fx,y的极小值点10、设级数nan0,且nanan1收敛，则级数an（）n1n1n1（A）收敛（B）发散（C）不定（D）与an有关三、计算题（5X10=50）11、计算下列定积分，/、23f2（1） xv4xdx；0712、计算下列多元函数微积分g为连续可微函数,uf(x,x

3、y),vg(xxy),求_u,xx(2)设x2Z2yz,其中为可微函数，求一z.yy13、计算下列二重积分(1)计算xydxdy,其中D是由抛物线y2x及直线yx2所围成的闭区域D(2)计算exydxdy,其中D是由x2D14、处理下列级数,11(1) 求sin一的敛放性n1ln(n2)n15、求解下列微分方程(1) (xy2x)dx(yx2y)dy02y4所围成的闭区域(2)求n(n1)xn的和函数n1x(2) xyyxe四、综合题(2X10=20)x2y216、求函数fx,yxe2的极值.17、设y(x),y2(x),y3(x)都是方程yP(x)yQ(x)yf(x)的特解，且Yy2不恒等y

4、2y3于常数，证明y(1G)y1(C2a)y202y3为方程的通解(其中g,c2为任意常数)。微积分II期末模拟试卷2(满分：100分；测试时间：100分钟)一、填空题(3X5=15)101sinxdx2、limlnnj(11).1X24(1二)2(1。)2用积分形式表示为n,nnn123、已知y"*)过(0,-),其上任一点处的切线斜率为xln(1x),则f(x)=4、哥级数(n1)xn的和函数为.n15、设函数zz(x,y)由方程ze2x3z2y确定，则3-z.xy二、选择题(3X5=15)6、设an0(n1,2,),且an收敛，常数(0,-),则级数(1)n(ntan)a2nn

5、12n1n(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性与有关7、曲线yy(x)经过点(0,1),且满足微分方程y2y4x,则当x1时，y()(A)0；(B)1；(C)2；(D)4228、设Dk是圆域D(x,y)|xy1的第k象限的部分，记1k(yx)dxdy,则Dk(A)I10(B)I20(C)I30(D)I409、设函数f(x,y)为可微函数，且对任意的*2都有一(0,4xM0,则使不等式xyf(入，、)f(x2,y2)成立的一个充分条件是(A)XX2,Yiy2(B)x1X2,Yiy2(C)XiX2,Yiy2(D)XiX2，Yiy2“、儿4tanx-4x10、设I14dx,I24dx,

6、则0x0tanx(A)I1I21.(B)1I112.(C) I2I11.(D) 1I2I1.三、计算题(5X10=50)12、计算下列定积分1 一:xarcsinx.21tdx;(2)求ycosxsinx,y0(0x一)绕x轴旋转的旋转体体积12、计算下列多元微积分(1)设zfx2y,(xy),其中f(u,v)具有二阶连续偏导数,(u)二阶可导,求f(xy,yz,zx)0,求dz.(1)试确定n3n(2)把f(x)xln(1x)0xdx展成x的哥级数。13、计算下列二重积分(1)设平面区域D是由曲线x3y,y3x,xy8所围成，求x2dxdy.D一一,一22一(2)求二重积分xydxdy,其中

7、Dx,yx1y12,yxD14、处理下列级数n2nx1的收敛半径、收敛区间和收敛区域。15、求解下列微分方程2xyy(y)y;(2)y2yyxeo四、综合题(2X10=20)1x.16、设f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导且f'(x)0,求证：F(x)f(t)dtxaa17、求曲线x3xyy3在(a,b)内也F'(x)0.1(x0,y0)上的点到坐标原点的最长距离和最短距离。微积分II期末模拟试卷3（满分：100分；测试时间：100分钟）、填空题（3X5=15）1、x=1-teu2du曲线0在（0,0）处的切线方程为2、yt2ln(2t2)xyy设zyx(1,2)3、微

8、分方程y2xy一满足初始条件y1xx01,yx03的特解4、sin(nn1）的敛散性为n5、设D是顶点分别为0,0,1,0,1,2,0,1的直边梯形，计算1xyd二、选择题(3X5=15)k2,6、设1koexsinxdx,(k1,2,3)，则有(A)I1I2I3(B)13I2I1(C)I2I3I1(D)I2I1I37、设函数f连续，若F（u,v）f(x2y2)JMdxdy,其中区域y2Duv为图中阴影部分，则一Fuf(u2)Cvf(u)Df(u)uB8、二元函数f（x,y）在点Avf(u2)0,0处可微的一个充要条件是(B)(C)(D)(叫,0f(x,y)f(0,0)0.f(x,0)f(0,

9、0)0,且1ym0f(0,y)f(0,0)0.(x,yl)m0,0f(x,y)_f(0,0)22一xy11m0fx(x,0)fx(0,0)0,且limy0fy(0,y)fy(0,0)9、设函数f(x)在(0,)上具有二阶导数，且f(X)0,令Unf(n),则下列结论正确的是:(A)若UiU2,则Un必收敛.(B)若UiU2,则Un必发散(C)若UiU2,则Un必收敛.(D)若UiU2,则Un必发散.10、微分方程yyx21sinx的特解形式可设为2(A) yaxbxcx(AsinxBcosx).2(B) yx(axbxcAsinxBcosx)./、2(C)yaxbxcAsinx.(D)y2.a

10、xbxcAcosx三、综合题(7X10=70)11、求函数f(x)2X/2(x1t2t)etdt的单调区间与极值。12、222设函数uf(x,y)具有二阶连续偏导数，且满足等式4V12520.xxyy2确定a,b的值，使等式在变换xay,xby下简化0213、求微分方程y(xy)y满足初始条件y(1)y(1)1的特解.14、将函数f1,一一在x1处展开为哥级数，并求xn1(1)n2n15、设函数y(x)由参数方程xx(t)2ln(1u)du确定，其中x(t)是初值问题虫2texdtxt002的解.求2.xy20,当曲线yyx过原点16、设非负函数yyxx0满足微分方程xy时，其与直线x1及y0

11、围成平面区域D的面积为2,求D绕y轴旋转所得旋转体体积。17、求证：若x+y+z=6,则x2y2z212,(x0,y0,z0).微积分II期末模拟试卷1答案12345232T11dyfdx02yx2xyc1ec2e3(1e1)167P89r10CDADA1、解.limnan1anlimn1(n1)2n12、3232x交点为(3,6）,（1,2）,取x微积分变量则3、31(3x2)2xdx3x21132x3万2dx1/2xx22xfdy11y210dy2yfdx0,解得特征根4、该方程为二阶常系数线性齐次微分方程，其特征方程为ri1/22,x2x从而通解为ycec2e。=1(1n可见(1因为3e

12、1)23n2x)2limn6、选（C）7、选亚1【分析】先用换元法计算积分，再求极限ann1,1xndx=2nxnd(11n1，nan=“m122(|x|按题意有x)dydx1(131)万1.|x|edx00dx22xexdx2xex|22ex|22e22xydy2xdx,ii12积分得一y2,可见，该曲线是椭圆。f)2f'(xy)xxf(xy)yf'(xy)2yf'(xy).应该选（A）.9、【答案】D【解析】因dzxdxydy可得-zx,yxy0,C1,又在（0,0）处,0,0y一_2._.一一f（x,y）的一个极小值点ACB10故(0,0)为函数zk10、A解：取

13、Sknanan1n1Sk2a2a13a3a24a4a3kakak1a°Sk1kakak1kakkSkakn1SkkSk1akn1a°S11、(1)解:2,xdx令x0%sin3t2cost2costdt32°2(cos2x2.1)costdcost则命题（A正确。2sint得”.1513iX26432(-cosx-cost)25315解：切线方程分别为y4x3和y_3_2x6,其交点坐标是(士,3),302(4x3)dx23,八t2c、,93(2x6)dx(x24x3)dx。20412、(1)解.f1'f2'y,g'(1y).所以xx-(1

14、y)g'(f1'f2'y)xv(2)解.原式两边对y求导.z一yz2z二二y一.所以yyyyy2yzi13、（1）计算xydxdy,其中D是由抛物线x及直线x2所围成的闭区域。解：xydxdyD2y21y2xydxdy2dy43Q2y36y651(2)计算Ddxdy,其中D是由4所围成的闭区域。解：ex2Dydxdy2er2rdr014、(1)解.因为limnln(n2).1sin一n1nlnn1,所以n11«sin和1ln(n2)n有相同的n1nlnn敛散性.又因为21.dx发放,xlnx由积分判别法知1n1nln-发散.所以原级数发散.n(2)解.limn

15、(n1)|x|n|x|1收敛.当n(n1)及1(1)nn(n1)n1都发散.所以收敛区域为（一1,1）.n(nn11)xnxn(nn11)xn1积分二次2x(1x)3,X(-1,1)15、（1）解：变量分离得,ydyxdx一2)1x119两边积分得，31n（y1)1231n(x21)从而方程通解为（2）解：整理得,1一yxex,可见该方程是一阶线性方程,利用公式得通解为2dxyex(1dxxdxc)1(xxexdxc)1(xexexc)。x16、【解析】：fx,y、,2.2xyxe2先求函数的驻点：令fxx,yfyx,yxyefxx2x3e-y2解得驻点为1,0,1.0.又fxy对点1,0，有

16、A1fxx1,0fyy12e±,B11,00,Gfyy1,01所以，ACB120,A0,故fx,y在点1,0处取得极大值f1,0e.11对点1Q,有A2fxx1,02e,B2fxy1,00,C2fyy1,01所以，A2c2B220,A20,故fx,y在点1,0处取得极小值f1,0e.P(x)yQ(x)yf(x)的特解,17、证明：因为y(x),y2(x),y3(x)都是方程y所以yy2和丫2y3都是方程yP(x)yQ(x)yf(x)对应齐次方程的解,又因Yy2不恒等于常数，所以y1y2和y2'3线性无关，y2y从而对应齐次方程的通解为YC|(y1y2)c2(y2y3),所以原

17、方程的通解为yYy1ci(y1y2)c2(y2y3)y1,即y(1G)y1(c2G)y2c2y3。微积分II期末模拟试卷2答案123454(亚1)22lnxdx1122y-(1x)ln(1x)1222x1,11x2678910ABBDB1、4(<21)原式/xx2xx.(sincos)dx|sincos-|dx0.220222xx0(cos-sin-)dxxx22(sin-cos-)|022xx2(sin-cos-)dx(cos：sin：)24(.21)222、212lnxdx【详解】limnn1222lnn(1)(1)(1limnln(1-)(1nn).(12口)nnlimnln(11

18、)nln(12)n一(1n)nlimnn2ln(1i1A1101n(1x)dx1x2lntdt221lnxdx3、解.由题设得微分方程dydxxln(1x2)x2)d(12、.x).所以12y2(1x)1n(1212x)2(1x)c.代入初始条件，得y(0)是c=0.得特解y2(1)ln(114、解.(nn11)xnn22(n1)xx22x2.该等式(1x)2在（一1,1）中成立.当x=1时，得到的数项级数的通项不趋于0.所以11(n1)xnn12x2，x(1x)2属于(一1,1).【解析】利用全微分公式，得dze2x3z(2dx3dz)2dy2x3z,2edx2dy3e2x3zdz(13e2

19、x3z)dz2e2x3z,dx2dyc2x3z,2edzxwdx13e2_13e2x2e2x3z13e2x3z213e2x3z从而3x6、A解.因为an收敛，所以n1a2n收敛.n1limnn(tan-)a2nna2n.所以(ntan-)a2n和a2n有相同的敛散性.所以原级数绝对收敛.7、选殴；方程y2y4x为一阶线性微分方程，其通解2dx2dxye(4xedxc)2x1ce2x0,所以曲线为y2x1,由此，当x1时y1。8、B【详解】由极坐标系卜二重积分的计算可知Ik(yx)dxdyDksincosk2(k1)2k|2|k121(sincos0)r2drki21(sinsin)dT所以Ii

20、I30,I2,I42,应该选(B).3f(x,y)x量y是单调递减的。因此,：(D)fS0表示函数f(x,y)关于变量x是单调递增的，关于变yxx2,yy2时，必有f(x1,y1)f(x2,y?),故选D.10、B【分析】直接计算I1,I2是困难的，可应用不等式tanx>x,x>0.12【详解】因为当x>0时，有tanx>x,于是tanxtanxtanxI14dx0x4dx0tanxI1I2且I2,可排除4【评注】本题没有必要去证明1,因为用排除法，(A),(C),(D)均不正确，剩下的(B)定为正确选项11、解:12xarcsinx2-jdx1arcsinxd,1x2

21、2V1x2arcsinx12121212(2)解:12、,J362.(cosxsinx)dx(12sinxcosx)dx解.2xf1'x2y，(xy)yf2x2y.(xy)'(xy)2xf11xf12'f2y'f12''xf22'''xyf2''f1f1所以dz(xy'')f2'2xfn''(2x2y)f12''xy()2f22''13、(1)【详解】f3'(1f2'(1-dyy2,2,dxdyxdxdyD1(2)【解析

22、】由(x1)2(xy)dxdy所以xf1'f3'f2'f3')0，所以yf1'f2'f2'f3'(f1f3')dx(f12.xdxdyD2(y1)2d2(sinf2')dyf2'f3'cos3xdxxdy32(sin)(rcoscos2dx8x416)dy33rsin)rdr工(cos3sin2(sin0cos)8(cos3sin(sincos)(sincos)2d8(cos3sin(sincos)3d4(sincos)3d(sincos)1(sin4cos14、(1)解：令n_n3n2收敛半径:收

23、敛区间:收敛区域:anlimnann令n2k3nnimnnn3n2nim2k132k4k收敛;故收敛区域为(2)解.见1n3n243,3n1)n1)n1,1f(x)xln(1x),dx0xn1n1x(1)dxnnn1)n13n由于n1一人，收敛，所以当1n1时上述级数都收敛所以f(x)xln(1x),dx0x1)n1x,-1,1n15、(1)解：方程中不显含自变量p(y)，dD、一1则yp上，代入方程得，dydp2dpdyyppp,整理得一,dyp1y积分得p-，即yyy变量分离并积分得ycjn(yG)xc2,此即为原方程的通解。(2)解：由特征方程r22r10解得特征根r1r21,xy(ax

24、b)e,所以对应齐次方程的通解为Y(gxc2)ex°又因为xex中1不是特征根，所以可设原方程的特解为代入原方程并整理得，4ax4a4bx,1.1.1.x从而a,b,即y(x1)e°4441v所以原方程的通解为y(c1xc2)e(x1)e416、证明：因为f'(x)0,所以f(x)单减.F,(x)1(xa)2af(t)dtaf(x)=2(xa)f(t)dt+-j(xa)f(x)dt1(xa)2xaf(x)af(t)dt1517、【分析】考查的二元函数的条件极值的拉格朗日乘子法.【详解】构造函数L(x,y)x2y2(x3xyy31)00,得唯一驻点x1,y1,即Mi(

25、1,1).一2x(3x2y)x-L_2令一2y(3yx)y33(xxyy1考虑边界上的点，M2(0,1),M3(1,0)；距离函数f(x,y)<x2y2在三点的取值分别为f(1,1)寸2f(0,1)1,f(1,0)1,所以最长距离为<2,最短距离为1.所以zx(1,2)(in221)1inx微积分II期末模拟试卷3答案12345y2x(in21)23y=x3x1条件收敛73678910DACDA1、【答案】y2x【解析】曳2tln(2t2)t2-2ti2出2t2dXe(1t)2(1)ti1dt所以曳2dx所以切线方程为y2x.2、【答案】-l(ln21)【详解】设uy,v二，则zu

26、vyinu2uxyxyv1y所以vu(2)x2xy3、万程y，中不显含未知函数y,因此作变重代换令yp(x),则yp(x),1x代入方程得p2xp2一2、2,变重分离法解此方程得pC1(1x),即yc(1x),代入初1x3_x3xC2,代入初始条，-2始条件yx03得C13,于是y3(1x),两边积分得y件yx01得C1,所以所求特解为yx33x1。4、【答案】条件收敛17【解析】解.nsin(n)n(1)nsin-.n因为limnsinn1)n-所以原级数条件收敛.5、分析:ydydydx2.xdx2xdx-36、(D)由于当,2)时sinx0,可知sinxdx0,也即I1可知I1。又由于x

27、2sinxdx2ex2sinxdx3x2esinxdx，对2x2esinxdx做变量代换txsinxdx2sintdt2t2esintdt2sinxdx,*esinxdxx2xeesinxdx由于当x(,2)时x2xsinx0,eex2esinxdx0,也即I3Ii可知I3综上所述有I2I1I3,故选(D).7、【答案】A【详解】用极坐标得fu22vv一dudvdv20vfprdr1rFvfu8、C【分析】本题考查二元函数可微的充分条件的关系.利用可微的判定条件及可微与连续，偏导【详解】本题也可用排除法，(A)是函数在0,0连续的定义；(B)是函数在0,0处偏导数存在的条件；(D)说明一阶偏导

28、数fx(0,0),fy(0,0)存在，但不能推导出两个一阶偏导函数fx(x,y),fy(x,y)在点(0,0)处连续，所以(A)(B)(D)均不能保证f(x,y)在点0,0处可微.故应选(C).事实上，由limf(x,y)f(0,0)0可得(x,y)0,0、x2y2limf(x,0)f(0,0)limf(x,0)f(0,0)夕°,即幻(0,0)0,同理有x0xx0,X202xfy(0,0)0.从而limof(2t2f(x)2x1edt,所以驻点为x0,1.，y)f(0,0)(fx(0,0)xfy(0,0)y)limf(x,y)f(0,0)00.根据可微的判定条件可知函数f(x,y)在

29、点0,0处可微，故应选(C)f(X,y)f(0,0).(x)2(y)29、D【分析】本题依据函数f(x)的性质，判断数列unf(n).由于含有抽象函数，禾I用赋值法举反例更易得出结果.1【详斛】选(D).取f(x)Inx,f(x)0,u1ln10In2u2，而x1-、6八，1一f(n)Inn发散，则可排除(A)；取f(x),f(x)0,u11四，而xx4一.122f(n)=收敛，则可排除(B)；取f(x)x,f(x)20,Ui14止，而f(n)nn发散，则可排除(C);故选(D).事实上，若UiU2,则也一u1f(2)f(1)f(1)0.2121对任意x1,，因为f(x)0,所以f(x)f(1

30、)c0,对任意21,f(x)f(1)f(2)x1(x).故选(D).10、 A【详解】对应齐次方程yy0的特征方程为210,特征根为i,-2,0,2对yyx1e(x1)而言，因0不是特征根，从而其特解形式可设为y1ax2bxc对yysinx1mgix),因i为特征根，从而其特解形式可设为y2x(AsinxBcosx)从而yyx21sinx的特解形式可设为2yaxbxcx(AsinxBcosx)11、x2x2斛：f(x)的je义域(，)，由于f(x)x1edt1tedt,x(,1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+)f(x)-0+0-0+f(x)极小极大极小列表讨论如下:因此，f(x)的单调增加区间为(-1,0),单调递减区间为及(1,-1)及(0,1)f(1)0,极大值为f(0)1t2tedt0e1).2u2x12、ux解：y将以上