【课件】必修4第二章《2.5.1向量在平面几何中的应用》课件

1、2.5.1 向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用平面几何中的向量方法平面几何中的向量方法 向量的概念和运算，都有明确的物理背景和向量的概念和运算，都有明确的物理背景和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为量的运算就可以完全转化为“代数代数”的计算，的计算，这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。的方便。 由于向量的线性运算和数量积运算具有由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹

2、角都可以由向量的移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。方法可以解决平面几何中的一些问题。例例1.如图，已知平行四边形如图，已知平行四边形ABCD中，中，E、F在在对角线对角线BD上，并且上，并且BE=FD，求证，求证AECF是平是平行四边形。行四边形。 证明：由已知设证明：由已知设,ABDCa BEFDb AEABBEab FCFDDCba AEFC 即边即边AE、FC平行且相等，平行且相等，AECF是平行四边形是平行四边形（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表）建立平面几何与

3、向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果）把运算结果“翻译翻译”成几何元素。成几何元素。用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步三步曲曲”：简述：简述：形到向量形到向量 向量的运算向量的运算 向量和数到形向量和数到形练练1. 求证平行四边形对角线互相平分求证平行四边形对角线互相平分 M D C B A证明：如图，已知平行四边形证明：如图，已知平行四

4、边形ABCD的两条的两条对角线相交于对角线相交于M，设，设,AMxAC BMyBD 则则,AMxACxAB xAD () (1)AMABBMAByBDABy ADABy AByAD 根据平面向量基本定理知，这两个分解根据平面向量基本定理知，这两个分解式是相同的，所以式是相同的，所以1xyxy 解得解得1212xy 所以点所以点M是是AC、BD的中点，即两条对的中点，即两条对角线互相平分角线互相平分.练练2.2. 已知非零向量已知非零向量 , , 和和 满足满足 则则ABCABC为（为（ ）（A A）等边三角形）等边三角形 （B B）等腰非直角三角形）等腰非直角三角形（C C）非等腰三角形）非等

5、腰三角形 （D D）等腰直角三角形）等腰直角三角形BC AC AB 练习练习1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和ABDC已知：平行四边形ABCD。求证：222222BDACDACDBCABbADaAB ,解：解：设 ，则 baDBbaACaDAbBC;,分析：分析：因为平行四边形对边平行且相等，故设 其它线段对应向量用它们表示。bADaAB ,)( 2222222baDACDBCAB2222babaBDAC222222222222bababbaabbaa222222BDACDACDBCABOAOC OB OC OB 3 3. .若若O O为

6、为ABCABC所在平面内一点，且满足所在平面内一点，且满足( - )( ( - )( + -2 )=0,+ -2 )=0,则则ABCABC的形状为的形状为_._.【解析】【解析】由已知由已知ABCABC为等腰三角形为等腰三角形. .答案答案: :等腰三角形等腰三角形练习练习1.已知正方形已知正方形ABCD，P为对角线为对角线AC上任上任意一点，意一点，PEAB于点于点E，PFBC于点于点F，连，连接接DP、EF，求证，求证DP EF。 PFEDCBA证明：选择正交基底证明：选择正交基底 ,AB AD 在这个基底下在这个基底下(1,0),(0,1)ABAD 设设( , )APa a (1,0),(0, )EBaBFa P