同济版高数试卷与答案

1、模拟试卷一一、填空题（每小题3分，满分18分）1、若函数 f（x y, ） x f （x, y）dxdy成立的充分条件是（）. y2,则 f（x,y）=.x12、设函数 u （j）z,贝Udu（i,i,i）=.、r 乙 _一 一 ,eIn x3、交换积分次序 :1 dx 0 f（x,y）dy=.4、曲面z xy包含在柱面x2 y2 1的面积可用二次积分表示为（不必具体计算）.5、已知 （1）n1an 2,a2n 1 5,则 an =.n 1n 1n 16、母线平行于z轴，准线为两曲面x2 9y2 1 z2与x2 y2 z2 x的交线的柱面方程为二、单项选择题（每小题3分，满分12分）1、z f

2、（x, y）在点（x, y）的偏导数-z及-z存在是f（x,y）在该点可微的 x y（）.A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件2、函数z x2 y2在点（1,2）处沿从点（1,2）到点（2,2 J3）的方向的方向导数为（）.A. 1 2,3B. 1 2 3C. 2 4 . 3D. 2 4 . 33、若 an（x 1）n在x1处收敛，则此级数在x 2处（）.n 1A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.收敛性不能确定4、设 D 为 x2 y2 1 ； D1 为 x2 y2 1 且 x 0 ,则使 f （x, y）dxdyD(A) f( x, y) f (x, y)(B)

3、f (x, y)f(x, y)(C) f( x, y) f (x,y)(D) f (x, y) f (x,y)三、计算下列各题(每小题7分，满分49分)21、设z f(3x 2y,xy2),其中f具有二阶连续偏导数，求二，二，. x y x y2、求曲面z y In二在点Mo(1,1,1)处的法线方程. zx ,113、计算 dx _eydy. 0-x4、计算三重积分zdv ,其中 是由曲面z2 x2 y2与z x2 y2所围成的闭区域.n5、求幕级数的收敛半径、收敛域及和函数. non 16、将函数f(x)工展开为(x 3)的幕级数. x7 、过点(1,2,1)且与直线L" U 二

4、，L2：以y z 0平行123x y z 0的平面方程。四、应用题(每小题8分，满分16分)21、求旋转椭球面x2 y2 1在第一卦限的一点，使该点处的切平面在三 /4个坐标轴上的截距平方和最小.2、设球体占有闭区域(x,y,z)x2 y2 z2 2Rz,它在部各点处的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方，试求这球体的质量.五、证明题(5分)若| an |收敛,试证a；也收敛.n 1n 1模拟试卷一答案(6分)、1、X2(1 y).1 y '2、dx dy; 3、1 e0dy ey f (x, y)dx ;4、11 X222 r 21dx G1 x ydy(或 0 d1 ；20n

5、r rdr)；5、8; 6、2x2 8y2 x 1.、1、B ; 2、B ; 3、1、解=f1 3 f2 y2 3fl x=f1 ( 2)f2 x 2yy2R =3fn ( 2) f12 xy2f2,(2 分)2f1 2xyf2.(4 分)一 一- 22y 2yf2 y f21 ( 2) f22 x 2yln z, （1分）则曲面在M 0点所以，所求法线方程为1 y2 x3、斛原式=0dy 0 e dx =2 x1 y y x0dy 0 ye d(7)1 y y .1 z y=0ye 0 dy = 0y(e1)dy（7分）（3分）（5分）、，12 11八=(y 1)ey 2y3 -6 f 11

6、 (6xy 2 y ) f12 2yf2 2xy f22(7分)2、解设 F(x,y,z) z y In z y In x 的法向量为一一一.11一一， ，一八n Fx,Fy,FzM0 -, 1,1 -M0 1，1,2,(5 3|° 万.(7 分)4、解 由z V2 x2y2及z x2y2中消去z得x2y21 ,因而 在xOy面上的投影区域为：x2 y2 1.，、212 r2原式二 d rdr 2 zdz00r2-11 21 2 r2 ,1 _24=2 r z L dr =r(2 r r )dr0 2 1r202 21 41 6、17=(r 7r 6r 比也.5、解 收敛半径 R l

7、im l-an-l lim n2 1 .n |an 1 n n 1当x 1时,原级数为(?，收敛；n 0 n 当X 1时，原级数为工，发散.n 0 n 1所以，原级数的收敛域为：1x1.n设 S(x) -,1 x 1.则n 0n 10时,S(x)=xxxndxxdxxx1=ln(1 x) = ln(1 x). x“x当x 0时，S(0) 1.S(x)1ln(1 x), x 1,0) (0,1) x1,x 06、解f(x)=- 3(x3)（2分）（4分）（6分）（7分）（1分）（3分）（6分）（7分）（3分）八n,x 3、n (式，1) (-) = t/T (x3n 0 33)n .（5分）展开

8、域为1 即 0 x 6.(7分)7、解L1的方向向量li 1, 2,3,(1分)L2的方向向量可取l20,1,1(3分)所求平面的法向量可取1, 1,1 , (5 分)故的方程为1（x1) 1(y 2) 1(z 1) 0或 x y1 0 (6 分)(7分)四、1、解曲面位于第一挂限部分上任一点（x, y ,z）处的切平面方程为xX yY4 Z 1,（2分）则它在三个坐标轴上的截距分别为；(3分）所以设F(x,y,z,)16 z(x21).(5分）FxFyFz2-3 x23y32z(7分）分）2、解密度函数为近.因为驻点惟,所以（,2,<2）即为所求的点(8(x , y, z) x2z2,（1分）则球体的质量为2M = (x , y, z)dv = (xz2)dv(2分)五、证22 Rcos 22d d r r sin dr000=202Sin1 c 2Rcos5r Io d64"5R5sin5,cos d6405